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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 10-5 古典概型與幾何概型但因?yàn)闇y(cè)試 新人教B版 1.(20xx浙江文，8)從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是(　　) A.　　 　 B.　　 　 C.　　 　 D. [答案]　D [解析]　3個(gè)紅球記為a，b，c,2個(gè)白球記為1,2.則從袋中取3個(gè)球的所有方法是abc，ab1，ab2，ac1，ac2，a12，bc1，bc2，b12，c12.共10個(gè)基本事件，則至少有一個(gè)白球的基本事件是ab1，ab2，ac1，ac

2、2，a12，bc1，bc2，b12，c12共9個(gè)．[來源:Z|xx|k.Com] ∴至少有一個(gè)白球的概率為.故選D. [點(diǎn)評(píng)]　(1)A＝“至少有一個(gè)白球”的對(duì)立事件是B＝“全是紅球”，故所求概率為P(A)＝1－P(B)＝1－＝. (2)解決這類問題的基本方法就是給小球編號(hào)，用列舉法寫出基本事件空間(或用計(jì)數(shù)原理計(jì)算基本事件空間中基本事件的個(gè)數(shù))，然后數(shù)(或求)出所求事件中含的基本事件的個(gè)數(shù)，再求概率，請(qǐng)?jiān)倬毩?xí)下題： (20xx德州模擬)一個(gè)袋子中有5個(gè)大小相同的球，其中有3個(gè)黑球與2個(gè)紅球，如果從中任取兩個(gè)球，則恰好取到兩個(gè)同色球的概率是(　　) A. B. C. D

3、. [答案]　C [解析]　從5個(gè)球中任取兩個(gè)，有C＝10種不同取法，其中兩球同色的取法有C＋1＝4種，∴P＝＝. 2．(文)(20xx福建文，7)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　本題屬于幾何概型求概率問題，設(shè)矩形長為a，寬為b，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率為 P＝＝＝. (理)(20xx膠州三中)已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c，其中0≤b≤4,0≤c≤4，記函數(shù)f(x)滿足條件的事件為A，則事件A發(fā)生的概率為(　　) A.

4、 B. C. D. [答案]　C [解析]　由得，，畫出0≤b≤4,0≤c≤4表示的平面區(qū)域和事件A所表示的平面區(qū)域，由幾何概型易知，所求概率P＝. 3．(文)有5條長度分別為1、3、5、7、9的線段，從中任意取出3條，則所取3條線段可構(gòu)成三角形的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　B [解析]　構(gòu)不成三角形的為(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(3,5,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，能構(gòu)成三角形的有(3,5,7)，(3,7,9)，(5,7,9)， ∴所求概率為. (理)在圓周上有10個(gè)等分點(diǎn)，

5、以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，每3個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，如果隨機(jī)選擇3個(gè)點(diǎn)，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　從10個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)有C種方法，能構(gòu)成直角三角形時(shí)，必須有兩點(diǎn)連線為直徑，這樣的直徑有5條，∴能構(gòu)成直角三角形58＝40個(gè)， ∴概率P＝＝. 4．(文)(20xx北京學(xué)普教育中心聯(lián)考版)在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為(　　) A. B．1－ C. D．1－ [答案]　B [解析

6、]　以點(diǎn)O為圓心，半徑為1的半球的體積為V＝πR3＝，正方體的體積為23＝8，由幾何概型知：點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 P(A)＝1－＝1－，故選B. (理)已知正三棱錐S－ABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC

7、A [解析]　當(dāng)－≤x≤時(shí)，由0≤cosx≤，得－≤x≤－或≤x≤，根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率P＝＝. 6．(20xx山東臨沂)連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為α，則α∈(0，]的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　∵θ∈，∴cosθ＝≥0， ∴m≥n，滿足條件m＝n的概率為＝， m>n的概率與mn的概率為＝， ∴滿足m≥n的概率為P＝＋＝. 7．(20xx浙江寧波八校聯(lián)考)已知k∈Z，＝(k,1)，＝(2,4)，若||≤4，則△ABC是直角三角

8、形的概率是________． [答案]　 [解析]　∵||＝≤4，∴－≤k≤， ∵k∈Z，∴k＝－3，－2，－1,0,1,2,3， 當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，應(yīng)有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由＝0得2k＋4＝0，∴k＝－2， ∵＝－＝(2－k,3)，由＝0得k(2－k)＋3＝0，∴k＝－1或3， 由＝0得2(2－k)＋12＝0，∴k＝8(舍去)，故使△ABC為直角三角形的k值為－2，－1或3， ∴所求概率p＝. 8．(文)(20xx如皋模擬)連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記“兩次向上的數(shù)字之和等于m”為事件A，則P(A)最大時(shí)，

9、m＝________. [答案]　7 [解析]　連續(xù)拋擲一枚骰子2次，共有36個(gè)基本事件，兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和及次數(shù)如表： 和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 次數(shù) 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 顯然當(dāng)兩次向上的點(diǎn)數(shù)之和為7時(shí)概率P(A)最大． (理)(20xx江蘇金陵中學(xué))先后兩次拋擲同一枚骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b.將a，b,5分別作為三條線段的長，則這三條線段能構(gòu)成等腰三角形的概率是________． [答案]　 [分析]　本題有兩點(diǎn)要點(diǎn)：一是構(gòu)成三角形，須滿足較小的兩個(gè)數(shù)的和大于第三個(gè)數(shù)；二

10、是構(gòu)成等腰三角形，須有兩個(gè)數(shù)相等． [解析]　基本事件的總數(shù)為66＝36. ∵三角形的一邊長為5， ∴當(dāng)a＝1時(shí)，b＝5符合題意，有1種情況； 當(dāng)a＝2時(shí)，b＝5符合題意，有1種情況； 當(dāng)a＝3時(shí)，b＝3或5符合題意，即有2種情況； 當(dāng)a＝4時(shí)，b＝4或5符合題意，有2種情況； 當(dāng)a＝5時(shí)，b∈{1,2,3,4,5,6}符合題意，即有6種情況； 當(dāng)a＝6時(shí)，b＝5或6符合題意，即有2種情況． 故滿足條件的不同情況共有14種，所求概率為 P＝＝. 9．(文)從集合{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈R，y∈R}內(nèi)任選一個(gè)元素(x，y)，則x、y滿足x＋y≥2的概率為_____

11、___． [答案]　 [解析]　即圖中弓形面積占圓面積的比例，屬面積型幾何概型，概率為. (理)(20xx黑龍江五校聯(lián)考)在體積為V的三棱錐S－ABC的棱AB上任取一點(diǎn)P，則三棱錐S－APC的體積大于的概率是_____ ___． [答案]　 [解析]　由題意可知>，三棱錐S－ABC的高與三棱錐S－APC的高相同．作PM⊥AC于M，BN⊥AC于N，則PM、BN分別為△APC與△ABC的高，所以＝＝>，又＝，所以>，故所求的概率為(即為長度之比)． 10．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax－b. (1)若a，b都是從0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述函數(shù)有零點(diǎn)的概率；

12、 (2)若a，b都是從區(qū)間[0,4]上任取的一個(gè)數(shù)，求f(1)>0成立的概率． [解析]　(1)a，b都是從0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則基本事件總數(shù)為N＝55＝25個(gè)． 函數(shù)有零點(diǎn)的條件為Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b. 因?yàn)槭录癮2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)， 所以事件“a2≥4b”的概率為P＝， 即函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的概率為. (2)a，b都是從區(qū)間[0,4]上任取的一個(gè)數(shù)， f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1， 此為幾何

13、概型．如圖可知， 事件“f(1)>0”的概率為P＝＝. 11.(文)(20xx金華十校聯(lián)考)在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注1,2,3,4,5的5個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注的數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)小球，則取出小球標(biāo)注的數(shù)字之差的絕對(duì)值為2或4的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　從5個(gè)小球中隨機(jī)取出兩個(gè)小球，基本事件共10個(gè)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中數(shù)字之差的絕對(duì)值為2的有：(1,3)，(2,4)，(3,5)，數(shù)字之差的絕對(duì)值為4的有：

14、(1,5)， 故所求概率P＝＝. (理)(20xx威海模擬)某同學(xué)同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為a、b，則橢圓＋＝1的離心率e>的概率是(　　) A. B. C. D. [答案]　D [解析]　當(dāng)a>b時(shí)，e＝>?2b，符合a>2b的情況有：當(dāng)b＝1時(shí)，有a＝3,4,5,6四種情況； 當(dāng)b＝2時(shí)，有a＝5,6兩種情況，總共有6種情況，則概率是＝. 同理當(dāng)a的概率也為， 綜上可知e>的概率為. 12．(文)m∈{－2，－1,0,1,2,3}，n∈{－3，－2，－1,0,1,2}，且方程＋＝1有意義，則方程＋＝1可表示不同的雙曲線的概率為(　　)

15、 A. B．1 C. D. [答案]　D [解析]　由題設(shè)知或， 1時(shí)有不同取法33＝9種． 2時(shí)有不同取法22＝4種， ∴所求概率P＝＝. (理)從－1、0、1、2這四個(gè)數(shù)中選出三個(gè)不同的數(shù)作為二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的系數(shù)組成不同的二次函數(shù)，其中使二次函數(shù)有變號(hào)零點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D. [答案]　A [解析]　首先取a，∵a≠0，∴a的取法有3種，再取b，b的取法有3種，最后取c，c的取法有2種， ∴共組成不同的二次函數(shù)332＝18個(gè)． f(x)若有變號(hào)零點(diǎn)，不論a>0還是a<0，均應(yīng)有Δ>0，即b2－4ac

16、>0，∴b2>4ac. ①首先b取0時(shí)，a、c須異號(hào)，a＝－1，則c有2種，a取1或2，則c只能?。?，∴共有4種． ②b＝1時(shí)，若c＝0，則a有2種，若c＝－1，a只能取2. 若c＝2，則a＝－1，共有4種． ③若b＝－1，則c只能取0，有2種． ④若b＝2，取a有2種，取c有2種，共有22＝4種． 綜上所述，滿足b2>4ac的取法有4＋4＋2＋4＝14種， ∴所求概率P＝＝. 13．(文)在區(qū)間[1,5]和[2,4]分別各取一個(gè)數(shù)，記為m和n，則方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的概率是________． [答案]　 [解析]　∵方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，∴m>n

17、. 由題意知，在矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P(m，n)，求P點(diǎn)落在陰影部分的概率，易知直線m＝n恰好將矩形平分， ∴p＝. (理)設(shè)集合A＝{x|x2－3x－10<0，x∈Z}，從集合A中任取兩個(gè)元素a，b且ab≠0，則方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的概率為________． [答案]　 [解析]　A＝{x|－2

18、)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共20種，方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，應(yīng)有a>0，b<0，滿足條件的有：(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，(4，－1)共4種，∴所求概率P＝＝. 14．(20xx淄博模擬)對(duì)某校高三年級(jí)學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下： 分組 頻數(shù) 頻率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 24 n [20,25) m p [25,30) 2 0.05 合計(jì)

19、 M 1 (1)求出表中M，p及圖中a的值； (2)若該校高三學(xué)生有240人，試估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10,15)內(nèi)的人數(shù)； (3)在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的概率． [解析]　(1)由分組[10,15)內(nèi)的頻數(shù)是10，頻率是0.25知，＝0.25， 所以M＝40. 因?yàn)轭l數(shù)之和為40，所以10＋24＋m＋2＝40，m＝4. p＝＝＝0.10. 因?yàn)閍是對(duì)應(yīng)分組[15,20)的頻率與組距的商，所以a＝＝0.12. (2)因?yàn)樵撔８呷龑W(xué)生有240人，分組[10,15

20、)內(nèi)的頻率是0.25， 所以估計(jì)該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為60人． (3)參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生共有m＋2＝4＋2＝6人， 設(shè)在區(qū)間[20,25)內(nèi)的人為{a1，a2，a3，a4}，在區(qū)間[25,30)內(nèi)的人為{b1，b2}． 則任選2人有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)共15種情況， 而兩人都在[25,30)內(nèi)只能是(b1，b2)一種，所以所求

21、概率為P＝1－＝. 15．(文)(20xx天津文，15)編號(hào)分別為A1，A2，…，A16的16名籃球運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練比賽中的得分記錄如下： 運(yùn)動(dòng)員編號(hào) A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 運(yùn)動(dòng)員編號(hào) A9[來源:Z_xx_k.Com] A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 (1)將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格： 區(qū)間 [10,20) [20,30) [30,40]

22、人數(shù) (2)從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人． ①用運(yùn)動(dòng)員編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果． ②求這2人得分之和大于50的概率． [解析]　(1)4,6,6. (2)①得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為A3，A4，A5，A10，A11，A13，從中隨機(jī)抽取2人，所有可能的抽取結(jié)果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15

23、種． ②“從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，這2人得分之和大于50”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5種． 所以P(B)＝＝. (理)(20xx江西文，16)某飲料公司對(duì)一名員工進(jìn)行測(cè)試以便確定考評(píng)級(jí)別，公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共5杯，其顏色完全相同，并且其中3杯為A飲料，另外2杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從5杯飲料中選出3杯A飲料．若該員工3杯都選對(duì)，測(cè)評(píng)為優(yōu)秀；若3杯選對(duì)2杯測(cè)評(píng)為良好；否測(cè)評(píng)為合格．假設(shè)此人對(duì)A和B飲料沒有鑒別能力． (1)求此人被評(píng)為優(yōu)秀的概率

24、； (2)求此人被評(píng)為良好及以上的概率． [解析]　將5杯飲料編號(hào)為：1,2,3,4,5，編號(hào)1,2,3表示A飲料，編號(hào)4,5表示B飲料，則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為：(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)(235)，(245)，(345)，共有10種 令D表示此人被評(píng)為優(yōu)秀的事件，E表示此人被評(píng)為良好的事件，F(xiàn)表示此人被評(píng)為良好及以上的事件，則 (1)P(D)＝， (2)P(E)＝，P(F)＝P(D)＋P(E)＝. 1．(20xx淮安模擬)在一次招聘口試中，每位考生都要在5道備選試題中隨機(jī)抽出3道題回答，答對(duì)其中2道題即為

25、及格，若一位考生只會(huì)答5道題中的3道題，則這位考生能夠及格的概率為________． [答案]　 [解析]　5道題中該生會(huì)答的3道題記作1,2,3，其余2道題記作m、n，則從中抽取3道題，共有抽法10種：(1,2,3)，(1,2，m)，(1,2，n)，(1,3，m)，(1,3，n)，(1，m，n)，(2,3，m)，(2,3，n)，(2，m，n)，(3，m，n)，其中能使該生及格的有7種，∴P＝. 2．(20xx泉州、廣州模擬)圖(2)中實(shí)線部分是長方體(圖(1))的平面展開圖，其中四邊形ABCD是邊長為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長方體的平面展開圖內(nèi)的概率是，則

26、此長方體的體積是________． [答案]　3 [解析]　設(shè)長方體的高為h，則圖(2)中虛線圍成的矩形長為2＋2h，寬為1＋2h，面積為(2＋2h)(1＋2h)，展開圖的面積為2＋4h；由幾何概型的概率公式知＝，得h＝3，所以長方體的體積是V＝13＝3. 3．(20xx湘潭模擬)已知集合A＝{－4，－2,0,1,3,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}，在集合B中隨機(jī)取點(diǎn)M.求： (1)點(diǎn)M正好在第二象限的概率； (2)點(diǎn)M不在x軸上的概率； (3)點(diǎn)M正好落在區(qū)域上的概率． [解析]　滿足條件的M點(diǎn)共有36個(gè)． (1)正好在第二象限的點(diǎn)有(－4,1)，(－4,3)，

27、(－4,5)，(－2,1)，(－2,3)，(－2,5)， 故點(diǎn)M正好在第二象限的概率 P1＝＝. (2)在x軸上的點(diǎn)有(－4,0)，(－2,0)，(0,0)，(1,0)，(3,0)，(5,0)， 故點(diǎn)M不在x軸上的概率 P2＝1－＝. (3)在所給區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(5,1)， 故點(diǎn)M在所給區(qū)域上的概率 P3＝＝. 4．(20xx龍巖質(zhì)檢)小王、小李兩位同學(xué)玩擲骰子(骰子質(zhì)地均勻)游戲，規(guī)則：小王先擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為x；小李后擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為y. (1)在直角坐標(biāo)系xOy中，以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有幾

28、個(gè)？試求點(diǎn)(x，y)落在直線x＋y＝7上的概率； (2)規(guī)定：若x＋y≥10，則小王贏，若x＋y≤4，則小李贏，其他情況不分輸贏．試問這個(gè)規(guī)定公平嗎？請(qǐng)說明理由． [解析]　(1)因?yàn)閤、y可取1、2、3、4、5、6， 故以(x，y)為坐標(biāo)的點(diǎn)共有36個(gè)． 記“點(diǎn)(x，y)落在直線x＋y＝7上”為事件A， 則事件A包含的點(diǎn)有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6個(gè)，所以事件A的概率P(A)＝＝. (2)記“x＋y≥10”為事件A1， “x＋y≤4”為事件A2. 用數(shù)對(duì)(x，y)表示x、y的取值，則事件A1包含(4,6)、(5,5)、(5,6)、(6,4)、(6,5)、(6,6)，共6個(gè)數(shù)對(duì)；事件A2包含(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(3,1)，共6個(gè)數(shù)對(duì)． 由(1)知基本事件總數(shù)為36，所以事件A1的概率P(A1)＝＝，事件A2的概率P(A2)＝＝. 即小王和小李兩位同學(xué)贏的可能性是均等的． 所以這個(gè)規(guī)定是公平的．