專題對點練12　3.1~3.3組合練 (限時90分鐘,滿分100分) 一、選擇題(共9小題,滿分45分) 1.(2017河南焦作二模,理3)若cosπ2-α=23,則cos(π-2α)= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.29 B.59 C.-29 D.-59 答案 D 解析 由cosπ2-α=23,可得sin α=23. ∴cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=229-1=-59. 2.角θ的頂點與原點重合,始邊與x軸非負半軸重合,終邊在直線y=2x上,則tan 2θ=(　　) A.2 B.-4 C.-34 D.-43 答案 D 解析 ∵角θ的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊在直線y=2x上,∴tan θ=2.∴tan 2θ=2tanθ1-tan2θ=-43,故選D. 3.(2017遼寧鞍山一模,理7)已知函數(shù)f(x)=cosx+π4sin x,則函數(shù)f(x)滿足(　　) A.最小正周期為T=2π B.圖象關(guān)于點π8,-24對稱 C.在區(qū)間0,π8上為減函數(shù) D.圖象關(guān)于直線x=π8對稱 答案 D 解析 f(x)=22(cos x-sin x)sin x=2212sin2x-1-cos2x2 =242sin2x+π4-1, 所以函數(shù)最小正周期為π,將x=π8代入sin2x+π4,為sinπ2,故直線x=π8為函數(shù)的對稱軸,選D. 4.(2017河北邯鄲一模,理5)已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C依次成等差數(shù)列,BC邊上的中線AD=7,AB=2,則S△ABC=(　　) A.3 B.23 C.33 D.6 答案 C 解析 ∵A,B,C成等差數(shù)列,且內(nèi)角和等于180,∴B=60. 在△ABD中,AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B,即7=4+BD2-2BD,∴BD=3或-1(舍去),可得BC=6, ∴S△ABC=12ABBCsin B=122632=33. 5.若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知2bsin 2A=3asin B,且c=2b,則ab等于(　　) A.32 B.43 C.2 D.3 答案 C 解析 由2bsin 2A=3asin B,利用正弦定理可得4sin Bsin Acos A=3sin Asin B, 由于sin A≠0,sin B≠0,可得cos A=34,又c=2b, 可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+4b2-2b2b34=2b2, 則ab=2.故選C. 6. (2017江西新余一中模擬七,理10)已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分圖象如圖所示,其中N,P的坐標分別為5π8,-A,11π8,0,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間不可能為(　　) A.π8,5π8 B.-7π8,-3π8 C.9π4,21π8 D.9π8,33π8 答案 D 解析 根據(jù)題意,設(shè)函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)的周期為T, 則34T=11π8-5π8=3π4,解得T=π,又選項D中,區(qū)間長度為33π8-9π8=3π, ∴f(x)在區(qū)間9π8,33π8上不是單調(diào)減函數(shù).故選D. 7.(2017天津,理7)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π,若f5π8=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則(　　) A.ω=23,φ=π12 B.ω=23,φ=-11π12 C.ω=13,φ=-11π24 D.ω=13,φ=7π24 答案 A 解析 由題意可知,2πω>2π,11π8-5π8≥142πω, 所以23≤ω<1.所以排除C,D. 當ω=23時,f5π8=2sin5π823+φ=2sin5π12+φ=2, 所以sin5π12+φ=1.所以5π12+φ=π2+2kπ, 即φ=π12+2kπ(k∈Z). 因為|φ|<π,所以φ=π12.故選A. 8.(2017全國Ⅰ,理9)已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin2x+2π3,則下面結(jié)論正確的是(　　) A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移π6個單位長度,得到曲線C2 B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移π12個單位長度,得到曲線C2 C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移π6個單位長度,得到曲線C2 D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移π12個單位長度,得到曲線C2 答案 D 解析 曲線C1的方程可化為y=cos x=sinx+π2,把曲線C1上各點的橫坐標縮短到原來的12倍,縱坐標不變,得曲線y=sin2x+π2=sin 2x+π4,為得到曲線C2:y=sin 2x+π3,需再把得到的曲線向左平移π12個單位長度. 9.(2017河北衡水中學三調(diào),理11)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象與直線y=a(0<a<A)的三個相鄰交點的橫坐標分別是2,4,8,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) ?導學號16804186? A.[6kπ,6kπ+3](k∈Z) B.[6kπ-3,6kπ](k∈Z) C.[6k,6k+3](k∈Z) D.[6k-3,6k](k∈Z) 答案 D 解析 由函數(shù)與直線y=a(0<a<A)的三個相鄰交點的橫坐標分別是2,4,8,知函數(shù)的周期為T=2πω=24+82-2+42,得ω=π3,再由五點法作圖可得π32+42+φ=π2,求得φ=-π2, ∴函數(shù)f(x)=Asinπ3x-π2. 令2kπ+π2≤π3x-π2≤2kπ+3π2,k∈Z, 解得6k+3≤x≤6k+6,k∈Z, ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[6k-3,6k](k∈Z). 二、填空題(共3小題,滿分15分) 10.(2017北京,理12)在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin α=13,則cos(α-β)=　　　　　. 答案 -79 解析 方法1:因為角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,根據(jù)三角函數(shù)定義可得sin β=sin α=13,cos β=-cos α,因此,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-2232+132=-79. 方法2:由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,則cos(α-β)=cos[2α-(2k+1)π]=-cos 2α=2sin2α-1=2132-1=-79. 11.(2017河北邯鄲二模,理15)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,△ABC的面積為S,(a2+b2)tan C=8S,則sin2A+sin2Bsin2C=　　　　　. 答案 2 解析 ∵(a2+b2)tan C=8S,∴a2+b2=4abcos C=4aba2+b2-c22ab,化簡得a2+b2=2c2, 則sin2A+sin2Bsin2C=a2+b2c2=2.故答案為2. 12.(2017浙江,14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則△BDC的面積是　　　　　,cos∠BDC=　　　　　. 答案 152　104 解析 如圖,取BC中點E,DC中點F, 由題意知AE⊥BC,BF⊥CD. 在Rt△ABE中, cos∠ABE=BEAB=14,∴cos∠DBC=-14,sin∠DBC=1-116=154. ∴S△BCD=12BDBCsin∠DBC=152. ∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-14,且∠DBF為銳角, ∴sin∠DBF=104. 在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=104. 綜上可得,△BCD的面積是152,cos∠BDC=104. ?導學號16804187? 三、解答題(共3個題,分別滿分為13分,13分,14分) 13.(2017江蘇,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x∈[0,π]. (1)若a∥b,求x的值; (2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值. 解 (1)因為a=(cos x,sin x),b=(3,-3),a∥b, 所以-3cos x=3sin x. 若cos x=0,則sin x=0,與sin2x+cos2x=1矛盾, 故cos x≠0.于是tan x=-33. 又x∈[0,π],所以x=5π6. (2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3) =3cos x-3sin x=23cosx+π6. 因為x∈[0,π],所以x+π6∈π6,7π6, 從而-1≤cosx+π6≤32. 于是,當x+π6=π6,即x=0時,f(x)取到最大值3; 當x+π6=π,即x=5π6時,f(x)取到最小值-23. 14.(2017全國Ⅱ,理17)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b. 解 (1)由題設(shè)及A+B+C=π,得sin B=8sin2B2, 故sin B=4(1-cos B). 上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=1517. (2)由cos B=1517得sin B=817, 故S△ABC=12acsin B=417ac. 又S△ABC=2,則ac=172. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-21721+1517=4. 所以b=2. 15.(2017黑龍江大慶三模,理17)已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosBb+cosCc=23sinA3sinC. (1)求b的值; (2)若cos B+3sin B=2,求a+c的取值范圍. 解 (1)△ABC中,cosBb+cosCc=23sinA3sinC, ∴a2+c2-b22abc+b2+a2-c22abc=23a3c, ∴2a22abc=23a3c,解得b=32. (2)∵cos B+3sin B=2,∴cos B=2-3sin B, ∴sin2B+cos2B=sin2B+(2-3sin B)2=4sin2B-43sin B+4=1,∴4sin2B-43sin B+3=0,解得sin B=32. 從而求得cos B=12,∴B=π3. 由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=32sinπ3=1, ∴a=sin A,c=sin C. 由A+B+C=π,得A+C=2π3, ∴C=2π3-A,且0<A<2π3. ∴a+c=sin A+sin C=sin A+sin2π3-A=sin A+sin2π3cos A-cos2π3sin A=32sin A+32cos A=3sinA+π6, ∵0<A<2π3,∴π6<A+π6<5π6, ∴12<sinA+π6≤1,∴32<3sinA+π6≤3, ∴a+c的取值范圍是32,3. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375