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自動控制系統(tǒng)數(shù)學模型,本章概述,2.1動態(tài)微分方程式的編寫,2.2傳遞函數(shù),2.4系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)圖,2.6系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取,2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),2.5系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換和化簡,本章重點,本章介紹了建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型和簡化的相關(guān)知識。包括線性定常系統(tǒng)微分方程的建立、傳遞函數(shù)概念與應用、方框圖及其等效變換、梅遜公式的應用等。,通過本章學習，應著重準確掌握傳遞函數(shù)的概念及其求取方法、控制系統(tǒng)方框圖的構(gòu)成和等效變換方法、典型閉環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的基本概念和梅遜公式的應用。,本章主要內(nèi)容,概述,微分方程（時域數(shù)學模型）傳遞函數(shù)（復域數(shù)學模型）頻率特性（頻域數(shù)學模型）動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(幾何模型),返回,1.數(shù)學模型------描述系統(tǒng)變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式,2.建模的基本方法:(1)解析法(2)實驗辯識法,3.經(jīng)典控制理論常用數(shù)學模型的主要形式:,2.1系統(tǒng)的微分方程式,步驟：1.確定系統(tǒng)輸入量(給定量和擾動量)與輸出量(被控制量,也稱系統(tǒng)響應)2.列寫系統(tǒng)各部分的微分方程3.消去中間變量,求出系統(tǒng)的微分方程4.將微分方程整理成標準形式。,一、線性系統(tǒng)微分方程的建立,圖2-1RC電路,例2.1編寫如圖2-1所示RC電路的微分方程式,,,,,,,,解:(1)確定輸入、輸出量ui(t)----輸入量uo(t)----輸出量,(2)列寫微分方程,（3）消去中間變量,可得電路微分方程式,圖2-2直流電動機電樞電路,例2-2編寫電樞控制的他激直流電動機的微分方程式,,,,,(2)列寫微分方程式：,解：(1)確定輸入量和輸出量：取輸入量為電動機的電樞電壓ua，取輸出量為電動機的轉(zhuǎn)速n。,（3）消去中間變量并予以標準化后得,電樞回路的電磁時間常數(shù)：,電動機的機電時間常數(shù)：,若不考慮電動機的負載轉(zhuǎn)矩TL，即設TL=0，則有,返回,1、疊加定理：兩個函數(shù)代數(shù)和的拉氏變換等于兩個函數(shù)拉氏變換的代數(shù)和。即L[f1(t)f2(t)]=L[f1(t)L[f2(t)]=F1(s)F2(s),復習拉普拉斯變換,一、拉氏變換的定義,,二、拉氏變換的運算定理,其中，原來的實變量函數(shù)f(t)——原函數(shù)變換后的復變量函數(shù)F(s)——象函數(shù),,,,5、終值定理：,2、比例定理：K倍原函數(shù)的拉氏變換等于原函數(shù)拉氏變換的倍。即L[Kf(t)]=KL[f(t)]=KF(s),3、微分定理：在零初始條件下,4、延遲定理：L[f(t-τ)]=e-sτF(s),,通過查表，已知原函數(shù)f(t)，可求得象函數(shù)F(s)；同理，已知象函數(shù)f(t)，可求得原函數(shù)F(s)。,三、原函數(shù)和象函數(shù)之間的變換,2.2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),一、傳遞函數(shù)的定義,當初始條件為零時，輸出量c(t)的拉氏變換式C(s)與輸入量r(t)的拉氏變換式R(s)的之比。即,二、傳遞函數(shù)的一般表達式,設系統(tǒng)的輸入量為r(t)，輸出量為c(t)，則系統(tǒng)微分方程一般形式為,,當初始條件為零時，對方程兩邊取拉氏變換，有,,,,,,,,1、直接變換法先建立微分方程，然后在零初始條件下，對微分方程進行拉氏變換，即可根據(jù)傳遞函數(shù)的定義求得傳遞函數(shù)。,根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，得傳遞函數(shù)的一般表達式為：,三、傳遞函數(shù)的求取方法,,,解：初始條件為零時，拉氏變換為,,,該電路的傳遞函數(shù)為,式中——RC電路的時間常數(shù)。,,,,,,,解：在零初始條件下，對微分方程進行拉氏變換，有s2C(s)+10sC(s)+100C(s)=100R(s)根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，有可見，只要將微分方程中的微分式d(i)/dt(i)換成相應的s(i)，即可求得傳遞函數(shù)。,,,在電工基礎中，對于電阻、電感、電容，有電阻u=iR拉氏變換式為U(s)=I(s)R電感拉氏變換式為U(s)=LsI(s)電容拉氏變換式為I(s)=CsU(s)由以上討論可見，將電工基礎復數(shù)阻抗中的jω換成s即可。,2、電路復阻抗法,,,解：,例2-5用復數(shù)阻抗法求RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。,,解：根據(jù)電子技術(shù)基礎學過的知識，有Ii(s)+I(s)=If(s)又因為A點為虛地，即UA≈0，所以I(s)≈0，因此有,,所以,例2-6求圖2-3所示運算放大器的傳遞函數(shù)G(s)。,四、傳遞函數(shù)的性質(zhì),（1）傳遞函數(shù)和微分方程存在一一對應關(guān)系，對于一個確定的系統(tǒng)，微分方程是唯一的，其傳遞函數(shù)也是唯一的。（2）傳遞函數(shù)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號的大小、形式無關(guān)。（3）傳遞函數(shù)是一種數(shù)學抽象，因此不能反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。不同性質(zhì)的物理結(jié)構(gòu)，完全可以有相同的傳遞函數(shù)。（4）傳遞函數(shù)的分母是它所對應的系統(tǒng)的微分方程的特征方程式。而特征方程的根反映系統(tǒng)動態(tài)過程的性質(zhì)，所以由系統(tǒng)傳遞函數(shù)可以研究系統(tǒng)的動態(tài)特性。,返回,2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),比例環(huán)節(jié)：其輸出量和輸入量的關(guān)系，由下面的代數(shù)方程式來表示,式中——環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，為一常數(shù)。,傳遞函數(shù)為：,比例環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié),慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)可以寫成如下表達式。,,現(xiàn)求輸入量為單位躍階函數(shù)時，慣性環(huán)節(jié)輸出量的函數(shù)關(guān)系,求拉氏反變換得,,積分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)為：,,當輸入量為階躍函數(shù)時，則輸出量為：,,理想微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)為：,,比例微分環(huán)節(jié),傳遞函數(shù)為：,振蕩環(huán)節(jié),微分方程為：,其傳遞函數(shù)為：,自然振蕩角頻率,阻尼比,,,,,,,當輸入量為階躍函數(shù)時，輸出量的拉氏變換為：,當時，上式特征方程的根為共軛復數(shù),輸出量為：,,,,延遲環(huán)節(jié),,傳遞函數(shù)為：,,微分方程為：,返回,2.4系統(tǒng)的動態(tài)框圖（結(jié)構(gòu)圖）,框圖又稱結(jié)構(gòu)圖，是傳遞函數(shù)的一種圖形描述式，可以形象地描述系統(tǒng)各單元之間和各作用量之間的相互關(guān)系，比較直觀。,、框圖的組成,1、信號線：帶有箭頭的直線，，線上標注信號的象函數(shù)名稱，箭頭表示信號的流向。,2、比較點：表示對兩個或兩個以上的信號進行代數(shù)運算，輸入信號處應標明極性。,3、功能框：表示環(huán)節(jié)對信號的變換，框中寫入環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),4、引出點：表示信號從該點取出，從同一信號線上引出的信號，大小和性質(zhì)完全相同,功能框,比較點,引出點,二、框圖的畫法,1、由輸入到輸出，依次列寫系統(tǒng)的全部運動方程，并整理成C(s)=G(s)R(s)的形式。2、從輸入開始，由左向右，根據(jù)相互作用的順序，依次畫出各個環(huán)節(jié)，直至所需的輸出量3、由內(nèi)向外，畫出反饋環(huán)節(jié),解：直流電動機的基本工作原理：ua→ia→Te→n,,,根據(jù),得,例2.7畫出他勵直流電動機的框圖。,,,按照信號傳遞關(guān)系依次連接各環(huán)節(jié)，即可得到直流電動機的框圖：,,例2-8畫出圖2-6所示系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖。,,,返回,解：系統(tǒng)由3個運算放大器串聯(lián)組成。,2.5系統(tǒng)框圖的等效變換和化簡,任何復雜的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。方框結(jié)構(gòu)圖的簡化是通過移動引出點、比較點，交換比較點，進行方框運算后，將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。,1、串聯(lián)等效,一、典型連接的等效傳遞函數(shù),2、并聯(lián)等效,,3、反饋等效,1、相加點從單元的輸入端移到輸出端，如圖2-5,,,圖2-5相加點后移變位運算,二、相加點及分支點的換位運算,原則：移動前后保持信號的等效性,,圖2-6相加點前移變位運算,2、相加點從單元的輸出端移到輸入端，如圖2-6所示,3、分支點從單元的輸入端移到輸出端，如圖2-7所示,,圖2-7分支點后移的變位運算,4、分支點從單元的輸出端移到輸入端，如圖2-8所示,圖2-8分支點前移的變位運算,,5、非單位反饋的等效變換,,例2-9化簡下圖所示的多回環(huán)系統(tǒng),,,返回,2.6系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取,,一、系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),1、開環(huán)傳遞函數(shù)：,2、前向通道傳遞函數(shù)：,反饋引入點斷開時，輸入端對應比較器輸出E(s)到輸入端對應的比較器的反饋信號B(s)之間所有傳遞函數(shù)的乘積，記為Go(s),Go(s)=G(s)H(s),輸入端對應比較器輸出E(s)到輸出端輸出C(s)所有傳遞函數(shù)的乘積，記為G(s),3、反饋通道傳遞函數(shù)：,輸出C(s)到輸入端比較器的反饋信號B(s)之間的所有傳遞函數(shù)之乘積，記為H(s),二、系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù),在初始條件為零時，系統(tǒng)的輸出量與輸入量的拉氏變換之比稱為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。閉環(huán)傳遞函數(shù)是分析系統(tǒng)動態(tài)性能的主要的數(shù)學模型。,例2-10試簡化圖示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求系統(tǒng)傳遞函數(shù),三、系統(tǒng)對給定作用和擾動作用的閉環(huán)傳遞函數(shù),圖2-11所示系統(tǒng)中有兩個輸入量——給定作用量和擾動作用量，同時作用于系統(tǒng)。對于線性系統(tǒng)來說，可以對每一個輸入量分別求出輸出量，然后再進行疊加，就得到系統(tǒng)的輸出量,,,,2-11Rr(s)和D(s)同時作用于系統(tǒng),1、只有給定作用時的閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸出量為：,因此當兩個輸入量同時作用于系統(tǒng)時，則輸出量為：,2、只有擾動作用時的閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸出量為：,四、系統(tǒng)對給定作用和擾動作用的誤差傳遞函數(shù),誤差的定義：單回環(huán)系統(tǒng)中，給定輸入r(t)與反饋信號b(t)的差值，以e(t)表示，即e(t)=r(t)-b(t)或E(s)=R(s)-B(s)當只有給定信號R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù)和系統(tǒng)誤差R(s)作用時，可認為D(s)=0，所以有,,,當只有擾動信號D(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)和系統(tǒng)輸出D(s)作用時，可認為R(s)=0，所以有,,,五、梅遜增益公式,從輸入端到輸出端的前向通路總數(shù),Δ的余子式，即在Δ中，除去與第k條前向通道相接觸的所有回路的L項,主特征式,從輸入端到輸出端第k條前向通路的總增益（或傳遞函數(shù)之積）,閉環(huán)傳遞函數(shù)（或總增益）,所有單獨回路之和兩、兩不接觸回路增益的乘積之和三、三不接觸回路增益的乘積之和,系統(tǒng)的主特征式,,,,,例2-11求如圖2-11所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。,解：（1）該系統(tǒng)只有一條通道，即n=1，所以P1=G1G2G3G4G5G6。(2)該系統(tǒng)有4個負反饋回路，L1=-G1G2G3G4G5G6H1L2=-G2G3H2L3=-G4G5H3L4=-G3G4H4并且只有兩個回路互不接觸，即L2L3=(-G2G3H2)(-G4G5H3)=G2G3G4G5H2H3,,,,所以有ΣLa=L1+L2+L3+L4=-G1G2G3G4G5G6H1-G2G3H2-G4G5H3-G3G4H4Δ=1-La+ΣLaLb=1+G1G2G3G4G5G6H1+G2G3H2+G4G5H3+G3G4H4+G2G3G4G5H2H3(3)所有回路L1、L2、L3、L4均與前向通道相接觸，即Δ1=1,,（4）根據(jù)梅遜公式求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：,,返回,數(shù)學模型的基本概念。數(shù)學模型是描述系統(tǒng)暫態(tài)過程的數(shù)學表達式，是對系統(tǒng)進行理論分析研究的主要依據(jù)。通過解析法對實際系統(tǒng)建立數(shù)學模型。在本章中，根據(jù)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的工作原理，建立其微分方程式，反映其動態(tài)本質(zhì)。,小結(jié),傳遞函數(shù)。通過拉氏變換求解微分方程是一種簡捷的微分方程求解方法。本章介紹了如何將線性微分方程轉(zhuǎn)換為復數(shù)s域的數(shù)學模型——傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是傳遞函數(shù)的圖解化，能夠直觀形象地表示出系統(tǒng)中信號的傳遞變換特性，有助于求解系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)，分析研究系統(tǒng)。,動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。動態(tài)結(jié)構(gòu)圖是傳遞函數(shù)的圖解化，能夠直觀形象地表示出系統(tǒng)中信號的傳遞變換特性，有助于求解系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)，分析研究系統(tǒng)。,