定理定理1 1對稱矩陣的特征值為實數(shù)對稱矩陣的特征值為實數(shù). .說明說明：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說：本節(jié)所提到的對稱矩陣，除非特別說明，均指明，均指實對稱矩陣實對稱矩陣定理定理1 1的意義的意義.,0,0)( , i以取實向量以取實向量從而對應(yīng)的特征向量可從而對應(yīng)的特征向量可系系知必有實的基礎(chǔ)解知必有實的基礎(chǔ)解由由是實系數(shù)方程組是實系數(shù)方程組線性方程組線性方程組所以齊次所以齊次為實數(shù)為實數(shù)的特征值的特征值由于對稱矩陣由于對稱矩陣 AExAEAii ., 221212121正交正交與與則則若若是對應(yīng)的特征向量是對應(yīng)的特征向量的兩個特征值的兩個特征值是對稱矩陣是對稱矩陣設(shè)設(shè)定理定理ppppA 證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對稱對稱 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT. , 31素素的的對對角角矩矩陣陣個個特特征征值值為為對對角角元元的的是是以以其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階對對稱稱矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)定定理理nAAPPPnA 根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為對角矩陣，其具體步驟為：為：將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特征向量單位化將特征向量單位化.4.1.;的特征值的特征值求求A 的的特特征征向向量量求求出出由由AxAEi, 02 P,211121112 A例例 對下列實對稱矩陣，分別求出正交矩陣對下列實對稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使使 為對角陣為對角陣.APP1 1 1求其特征值求其特征值211121112 AE 412 211121112 AE 412 從而得特征值從而得特征值. 41321 ， 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系時時，由由當當, 0441 xAE 2 2求特征向量求特征向量 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系時時，由由當當, 0121 xAE ,) 0 , 1 , 1(1 T .) 1 , 0 , 1(2 T 3 3將特征向量正交化將特征向量正交化,11 取取.) 1 , 1 , 1 (3T ,33 ,1112122 得正交向量組得正交向量組.) 1 , 1 , 1 (3T .,) 1 , 21, 21()0 , 1 , 1(21 TT ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,021212 ,3131311 .6261613 .31313162616102121 P所所以以4 4將正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P1.對稱矩陣的性質(zhì)：對稱矩陣的性質(zhì)： (1) (1)特征值為實數(shù)；特征值為實數(shù)； (2)(2)屬于不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，必存在正交矩陣，將其化為對角矩陣，且對角矩陣對角元素即為特征值且對角矩陣對角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟：利用正交矩陣將對稱陣化為對角陣的步驟： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)將特征向?qū)⑻卣飨蛄空换?；量正交化?4)最后單位化最后單位化