《河海大學(xué)幾何與代數(shù)54實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《河海大學(xué)幾何與代數(shù)54實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、定理定理1 1對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù). .說明說明：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說：本節(jié)所提到的對(duì)稱矩陣，除非特別說明，均指明，均指實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣定理定理1 1的意義的意義.,0,0)( , i以取實(shí)向量以取實(shí)向量從而對(duì)應(yīng)的特征向量可從而對(duì)應(yīng)的特征向量可系系知必有實(shí)的基礎(chǔ)解知必有實(shí)的基礎(chǔ)解由由是實(shí)系數(shù)方程組是實(shí)系數(shù)方程組線性方程組線性方程組所以齊次所以齊次為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)的特征值的特征值由于對(duì)稱矩陣由于對(duì)稱矩陣 AExAEAii ., 221212121正交正交與與則則若若是對(duì)應(yīng)的特征向量是對(duì)應(yīng)的特征向量的兩個(gè)特征值的兩個(gè)特征值是對(duì)稱矩陣是對(duì)稱矩陣設(shè)設(shè)定理定理pppp
2、A 證明證明,21222111 AppApp,AAAT 對(duì)稱對(duì)稱 TTTAppp11111 ,11ApApTTT 于是于是 22121211ppAppppTTT ,212ppT . 0 2121 ppT ,21 .21正交正交與與即即pp. 021 ppT. , 31素素的的對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣個(gè)個(gè)特特征征值值為為對(duì)對(duì)角角元元的的是是以以其其中中使使則則必必有有正正交交矩矩陣陣階階對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)定定理理nAAPPPnA 根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：為：將特征向量正交化將特征向量正交化;3.將特
3、征向量單位化將特征向量單位化.4.1.;的特征值的特征值求求A 的的特特征征向向量量求求出出由由AxAEi, 02 P,211121112 A例例 對(duì)下列實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣對(duì)下列實(shí)對(duì)稱矩陣，分別求出正交矩陣 ，使使 為對(duì)角陣為對(duì)角陣.APP1 1 1求其特征值求其特征值211121112 AE 412 211121112 AE 412 從而得特征值從而得特征值. 41321 ， 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系時(shí)時(shí)，由由當(dāng)當(dāng), 0441 xAE 2 2求特征向量求特征向量 得得基基礎(chǔ)礎(chǔ)解解系系時(shí)時(shí)，由由當(dāng)當(dāng), 0121 xAE ,) 0 , 1 , 1(1 T .) 1 , 0 , 1(2 T
4、3 3將特征向量正交化將特征向量正交化,11 取取.) 1 , 1 , 1 (3T ,33 ,1112122 得正交向量組得正交向量組.) 1 , 1 , 1 (3T .,) 1 , 21, 21()0 , 1 , 1(21 TT ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,021212 ,3131311 .6261613 .31313162616102121 P所所以以4 4將正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P1.對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：對(duì)稱矩陣的性質(zhì)： (1) (1)特征值為實(shí)數(shù)；特征值為實(shí)數(shù)； (2)(2)屬于不同特征值的特征向量正交；屬于不同特征值的特征向量正交； (3)(3)必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，必存在正交矩陣，將其化為對(duì)角矩陣，且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值且對(duì)角矩陣對(duì)角元素即為特征值2.利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟：利用正交矩陣將對(duì)稱陣化為對(duì)角陣的步驟： (1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)將特征向?qū)⑻卣飨蛄空换?；量正交化?4)最后單位化最后單位化
河海大學(xué)幾何與代數(shù)54實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化
