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2019-2020年九年級數(shù)學競賽輔導講座 第十二講 方程與函數(shù) 方程思想是指在解決問題時，通過等量關系將已知與未知聯(lián)系起來，建立方程或方程組，然后運用方程的知識使問題得以解決的方法；函數(shù)描述了自然界中量與量之間的依存關系，函數(shù)思想的實質是剔除問題的非本質特征，用聯(lián)系和變化的觀點研究問題．轉化為函數(shù)關系去解決． 方程與函數(shù)聯(lián)系密切，我們可以用方程思想解決函數(shù)問題，也可以用函數(shù)思想討論方程問題，在確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)、函數(shù)圖象與坐標軸的交點、函數(shù)圖象的交點等問題時，常將問題轉化為解方程或方程組；而在討論方程、方程組的解的個數(shù)、解的分布情況等問題時，借助函數(shù)圖象能獲得直觀簡捷的解答． 【例題求解】 【例1】 若關于的方程有解，則實數(shù)m的取值范圍 ． 思路點撥 可以利用絕對值知識討論，也可以用函數(shù)思想探討：作函數(shù)，函數(shù)圖象，原方程有解，即兩函數(shù)圖象有交點，依此確定m的取值范圍． 【例2】設關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根， ，且<1<，那么取值范圍是( ) A． B． C． D． 思路點撥 因根的表達式復雜，故把原問題轉化為二次函數(shù)問題來解決，即求對應的二次函數(shù)與軸的交點滿足<1<的的值，注意判別式的隱含制約． 【例3】 已知拋物線 ()與軸交于兩點A(，0)，B(，0)( ≠)． (1)求的取值范圍，并證明A、B兩點都在原點O的左側； (2)若拋物線與軸交于點C，且OA+OB＝OC一2，求的值． 思路點撥 、是方程的兩個不等實根，于是二次函數(shù)問題就可以轉化為二次方程問題加以解決，利用判別式，根與系數(shù)的關系是解題的切入點． 【例4】 拋物線與軸的正半軸交于點C，與軸交于A、B兩點，并且點B在A的右邊，△ABC的面積是△OAC面積的3倍． (1)求這條拋物線的解析式； (2)判斷△OBC與△OCA是否相似，并說明理由． 思路點撥 綜合運用判別式、根與系數(shù)關系等知識，可判定對應方程根的符號特征、兩實根的關系，這是解本例的關鍵．對于(1)，建立關于m的等式，求出m的值；對于(2)依m(xù)的值分類討論． 【例5】 已知拋物線上有一點M(，)位于軸下方． (1)求證：此拋物線與軸交于兩點； (2)設此拋物線與軸的交點為A(，0)，B(，0)，且 <，求證： <<． 思路點撥 對于(1)，即要證；對于(2)，即要證． 注：(1)拋物線與軸交點問題常轉化為二次方程根的個數(shù)、根的符號特征、根的關系來探討，需綜合運用判別式、韋達定理等知識． (2)對較復雜的二次方程實根分布問題，常轉化為用函數(shù)的觀點來討論，基本步驟是：在直角坐標系中作出對應函數(shù)圖象，由確定函數(shù)圖象大致位置的約束條件建立不等式組． (3) 一個關于二次函數(shù)圖象的命題：已知二次函數(shù)（）的圖象與軸交于A（，0），B(，0)兩點，頂點為C． ①△ABC是直角三角形的充要條件是：△=． ②△ABC是等邊三角形的充要條件是：△= 學歷訓練 1．已知關于的函數(shù)的圖象與軸有交點，則m的取值范圍是 ． 2．已知拋物線與軸交于A (，0)，B(，0)兩點，且，則 ． 3．已知二次函數(shù)y=kx2+(2k－1)x—1與x軸交點的橫坐標為x1、x2(x1x2，時，y>O；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2；④x1<－l，x2>－l；⑤x2－x1=，其中所有正確的結論是 (只需填寫序號) ． 4．設函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸交于A、B兩點，且線段OA與OB的長的比為1：4，則＝( )． A．8 B．一4 C．1l D．一4或11 5．已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸相交于A(x1,0)、B(x2，0)兩點，其頂點坐標為P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，則b與c的關系式是 ( ) A．b2－4c+1= 0 B．b2－4c－1=0 C．b2－4c+4=0 D．b2－4c－4=0 6．已知方程有一個負根而且沒有正根，那么的取值范圍是( ) A．>-1 B．＝1 C．≥1 D．非上述答案 7．已知在平面直角坐標系內，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側，如圖，二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A、B，與y軸相交于點C． （1）a、c的符號之間有何關系？ （2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數(shù)； （3）在（2）的條件下，如果b=－4，AB=4，求a、c的值． 8．已知：拋物線過點A(一1，4)，其頂點的橫坐標為，與軸分別交于B(x1,0)、C(x2，0)兩點(其中且 <)，且． (1)求此拋物線的解析式及頂點E的坐標； (2)設此拋物線與軸交于D點，點M是拋物線上的點，若△MBO的面積為△DOC面積的倍，求點M的坐標． 9．已知拋物線交x軸于A（，0）、B（，0），交y軸于C點，且＜0＜，. （1）求拋物線的解析式； （2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P，使∠APB為銳角，若存在，求出P點的橫坐標的范圍；若不存在，請說明理由. 10．設是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，則= . 11．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是 ． 12．已知、為拋物線與軸交點的橫坐標，，則的值為 ． 13．是否存在這樣的實數(shù)，使得二次方程有兩個實數(shù)根，且兩根都在2與4之間?如果有，試確定的取值范圍；如果沒有，試述理由． 14．設拋物線的圖象與軸只有一個交點． (1)求的值； (2)求的值． 15．已知以為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與軸的兩個交點的橫坐標的差的平方等于關于的方程的一整數(shù)根，求的值． 16．已知二次函數(shù)的圖象開口向上且不過原點O，頂點坐標為(1，一2)，與軸交于點A，B，與y軸交于點C，且滿足關系式． (1)求二次函數(shù)的解析式； (2)求△ABC的面積． 17．設是實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點A（，0）、B（，0）． (1)求證：； (2)若A、B兩點之間的距離不超過，求P的最大值． 參考答案