《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)例題與習(xí)題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)例題與習(xí)題（34頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)》例題和習(xí)題 第一章 矢量和張量分析 第一節(jié) 矢量與張量代數(shù) 一、矢量代數(shù) 令, , 則有 又因?yàn)? ;;;;;; ;; 則: 習(xí)題: 1、證明下列恒等式： 1） 2) 2、請(qǐng)判斷下列矢量是否線性無(wú)關(guān)？ . 其中為單位正交基矢量。 3、試判斷是否有逆矩陣；如有，請(qǐng)求出其逆陣。 二、張量代數(shù) 例1：令是一個(gè)張量，其使得矢量，經(jīng)其變換后變?yōu)?，，假定一個(gè)矢量，求。 解：利用張量的線性性質(zhì)，有： = 例2：假定一個(gè)張量將基矢變換成以下形

2、式： 那么該張量將變換成什么樣的結(jié)果？ 解：由對(duì)基矢量的變換張量可知的矩陣表示為： 則有： 即 例3：利用張量的變換定義證明： 1）若為一個(gè)二階張量，則為一四階張量； 2）若為一矢量，則對(duì)任意坐標(biāo)系滿足的為一矢量。 證明：1）因?yàn)闉橐欢A張量，由張量的變換定義有： 則有 令 則有

3、 即為一四階張量。 2）由于和分別是矢量和張量，則有 由此可得： （*） 又因?yàn)閷?duì)于任意坐標(biāo)系都成立，則有 由（*）式可得： 等式兩邊同時(shí)乘以可得： 又因?yàn)?，則 或 所以 由于上式對(duì)任一張量都成立，則有 即 這即是矢量的定義所滿足的方程變換，因此是一個(gè)矢量的分量。 習(xí)題 1、證明：如果和為任意二階張量和的

4、分量，且對(duì)任意坐標(biāo)系都成立，則為一四階張量。 例4：已知張量的矩陣形式為：，求張量的特征值和特征向量。 解：由求特征值和特征向量的特征方程有： 由此，可得三個(gè)不同的特征值： 對(duì)，由可得： （為待求的特征向量） 利用可解得： 則與對(duì)應(yīng)的特征向量為： 對(duì)于，同理有： 同樣利用可解得： 則與對(duì)應(yīng)的特征向量為： 同理，對(duì)應(yīng)的特

5、征向量為： 習(xí)題： 1、令一張量可用矩陣形式表示，則： a)求的主值和主方向； b)求的主不變量； c)如果、、是的主方向，則寫出 d)針對(duì)同樣的基矢量，矩陣能否表示同樣的張量？ 2、令和是任意兩個(gè)張量，試證明： a)是一個(gè)張量； b)； c） 3、令一張量的矩陣形式為：，則： a)求張量的對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分； b)求的反對(duì)稱部分的對(duì)偶矢量（或軸矢量）。 第二節(jié) 矢量和張量的分析 例1:利用指標(biāo)定義證明下列等式： 1）， 2），p是整數(shù)； 3），F(xiàn)為任一標(biāo)量函數(shù)。 證明： （1）對(duì)于任意矢量，有。 則

6、 由此也可得： （2）對(duì) (3）因?yàn)? 且關(guān)于i和j對(duì)稱，則對(duì)于該矢量的第k個(gè)分量有 （i，j互換） （重新將i變?yōu)閖，j變?yōu)閕） (利用其對(duì)稱性) 則 例2：證明 證明：令為任一二階張量，則有： 其中 ；因?yàn)? 結(jié)合二階張量的主不變量的定義可得： 這表明： 由張量的

7、標(biāo)量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義有： （對(duì)任一二階張量） 則 又因?yàn)椋? 則有 由的任意性可得： 習(xí)題 1、令和為矢量場(chǎng)，為標(biāo)量場(chǎng)，證明下列不等式： a） b） c） （） d） 2、對(duì)于，其中為一常值二階張量，證明： 3、考慮一張量值函數(shù)，證明： （其中為一任意二階張量） 第二章 運(yùn)動(dòng)學(xué) 第一節(jié) 物體的運(yùn)動(dòng) 例1：考

8、慮如下運(yùn)動(dòng)：，其中是質(zhì)點(diǎn)P在t時(shí)刻的位置矢量，而是質(zhì)點(diǎn)P在t=0時(shí)刻的位置矢量。請(qǐng)畫出初始時(shí)刻（t=0）具有如下圖所示邊長(zhǎng)為單位1的立方體形狀的物體在t時(shí)刻的構(gòu)型。 解：由已知運(yùn)動(dòng)可得： ，， a）在t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)O位于原點(diǎn)（0, 0, 0），對(duì)該點(diǎn)t=0坐標(biāo)為： , , 由此可得對(duì)任意時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)O的坐標(biāo)保持為： 換句話說(shuō)，該點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中保持在（0, 0, 0）點(diǎn)處。 同樣，對(duì)質(zhì)點(diǎn)A，t=0時(shí)刻有： 而t時(shí)刻為： 這也表明了質(zhì)點(diǎn)A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中也保持不動(dòng)。實(shí)際上，在OA線段上所有的點(diǎn)都保持不動(dòng)。 b）然而對(duì)線

9、段CB上的點(diǎn)，t=0時(shí)刻的坐標(biāo)為： 而由給定的運(yùn)動(dòng)方程可得t時(shí)刻的坐標(biāo)為： 這表明線段CB在水平方向上移動(dòng)一個(gè)距離kt。 c）對(duì)于線段OC上的點(diǎn)，t=0時(shí)刻的坐標(biāo)為： 而t時(shí)刻的坐標(biāo)則為： 表示直線OC在t時(shí)刻還是一條直線，即如圖所示的 d）同樣，線段AB在t時(shí)刻也保持為一條直線，即。 這一個(gè)運(yùn)動(dòng)實(shí)際上就是距形平面在面內(nèi)的簡(jiǎn)單剪切運(yùn)動(dòng)。 第二節(jié) 變形梯度 例1、一個(gè)連續(xù)體變形以后的構(gòu)形為： ，， 求其位移場(chǎng)。 解： 這表示受壓縮過程。 例2、在直角坐標(biāo)系下給定一個(gè)運(yùn)動(dòng)為：，

10、， 。求t=0,和時(shí)刻的變形梯度。 解：因?yàn)? 所以t=0時(shí)刻， 時(shí)刻， 例3、如果，，，求a)、變形梯度；b)、右伸長(zhǎng)張量；c）、旋轉(zhuǎn)張量；d)、左伸長(zhǎng)張量 解：（a） （b）因?yàn)? 所以 （因?yàn)樯鲜揭粋€(gè)正定的根） （c） （d） 或者 例4：給定在t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)： ，，。求如圖所示的材料線段：（a）OP，（b）、OQ，（c）、OB的伸長(zhǎng)。 解：由給定的運(yùn)動(dòng)方程可得變形梯度張量

11、為： （對(duì)稱的定張量） 可見給定的變形是均勻的純伸長(zhǎng)變形。其特征向量為、、，而對(duì)應(yīng)的特征值分別為：3、4、1。 由此可得：（a）對(duì)OP線段，其伸長(zhǎng)即為3 （b）對(duì)OQ線段，其伸長(zhǎng)即為4 （c）對(duì)材料線段OB，有 變形后為： 則 即 其伸長(zhǎng)為： 變形前，線段OB和軸的夾角為，但變形后該夾角變?yōu)椤? 例5：對(duì)簡(jiǎn)單的剪切變形：，，。 求：1）Lagrange應(yīng)變張量；

12、 2）線段OB變形后的長(zhǎng)度； 3）比較和線段OB變形后的長(zhǎng)度值關(guān)系。 解：1）因?yàn)? 所以 則由可得： 2）由圖所示的幾何關(guān)系可得OB段的長(zhǎng)度變形后為，即 3) 因?yàn)?，則有 因?yàn)?，則有： 可見和有關(guān)，當(dāng)k很小時(shí)，有。 例6：考慮如下單軸應(yīng)變場(chǎng)對(duì)應(yīng)的位移分量

13、為： ， （a）計(jì)算其Lagrange應(yīng)變張量和無(wú)限小張量； （b）利用和來(lái)計(jì)算，變形前后的伸長(zhǎng)； （c）對(duì)線段，利用和分別計(jì)算其。 解：（a） （b）由，有，則有， 即 另外，由=k，有，也可得 （c）令，則 則 （這可以由如圖所示的幾何關(guān)系而得） 同樣，對(duì)，有： 則 注意到，當(dāng)k很小時(shí)，，兩者一致。 例7：對(duì)簡(jiǎn)

14、單的剪切變形：，， （a）求Caudy-Green變形張量和； （b）利用驗(yàn)證對(duì)這一變形， ； （c）驗(yàn)證： （d）計(jì)算和 （e）畫出線元和變形前后的位置。由圖計(jì)算這兩個(gè)線元的伸長(zhǎng)并與和比較。 解：（a）因?yàn)? 所以 ， （b）因?yàn)? 所以給出的滿足要求。 （c）因?yàn)? 所以給出的正確。 （d）由前面給出的可得為：

15、 則可得： 令 （e）由圖可見，由表示，變形后變?yōu)椤? 由于E和點(diǎn)之間的距離為kd，其保證是關(guān)于線段的 鏡像，其長(zhǎng)度與相同，則該線元的伸長(zhǎng)為1，這與的值相同。 同樣，由表示，變形后為，則長(zhǎng)度的平方為： 而的長(zhǎng)度dS=1，則有： 習(xí)題： 1、對(duì)于一運(yùn)動(dòng)，其中為一個(gè)小的常數(shù)張量（即其分量值小且與無(wú)關(guān)），證明其無(wú)限小應(yīng)變張量可寫為： 2、考慮如下運(yùn)動(dòng)：；令和為求

16、變形構(gòu)形中的兩個(gè)微材料線元。 （a）求變形后的和； （b）計(jì)算這些線元的伸長(zhǎng)，以及它們之間的夾角的變化； （c）令和，重復(fù)（b）的計(jì)算； （d）比較（c）的結(jié)果和由小應(yīng)變張量得到的結(jié)果。 3、給定如下運(yùn)動(dòng)：，，，求： （a）；（b）和；（c）；（d）；（e）Lagrange應(yīng)變；（f）Euler應(yīng)變；（g）變形前后的體積比；（h）法向矢量為，大小為1的單位面積變形后的大小和法向量。 4、給定如下大小的剪切變形：，，， （a）求伸長(zhǎng)張量，并驗(yàn)證（右Caudy-Green張量）； （b）方向?yàn)樯暇€元的伸長(zhǎng)為多少？ （c）計(jì)算方向?yàn)樯系木€元的伸長(zhǎng)； （d）線元和變形后的夾角為多少？ 5、給定位移場(chǎng)：，，。確定如圖所示的對(duì)角線線段OA的長(zhǎng)度增加量：（a）利用應(yīng)變張量；（b）利用幾何關(guān)系。已知：的方向?yàn)椤?