絕密★啟用前 連云港市2015-2016學年度高三年級第一次模擬考試 數(shù)學I參考答案及評分標準 一、填空題 1. 2； 2. ； 3．75； 4．9； 5．； 6.； 7．； 8. ； 9．26； 10. 4； 11．； 12．； 13．4； 14. ． 二、解答題 15．（1）在銳角三角形中，由，得， …………2分 所以.……………………………………………………………4分 由，得. ………………7分 （2）在銳角三角形中，由，得，，……9分 所以，…………………11分 由正弦定理，得. ………………14分 O P A B C D E 16．(1) 連接BD與AC相交于點O，連結(jié)OE．………2分 因為四邊形ABCD為矩形，所以O(shè)為BD中點． 因為E為棱PD中點，所以PB∥OE．………4分 因為PB平面EAC，OE平面EAC， 所以直線PB∥平面EAC．……………………6分 (2) 因為PA⊥平面PDC，CD平面PDC，所以 PA⊥CD． …………………8分 因為四邊形ABCD為矩形，所以AD⊥CD．…………………………………10分 因為 PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD，所以 CD⊥平面PAD．…………12分 因為CD平面ABCD，所以 平面PAD⊥平面ABCD． …………………14分 17． (1)在如圖所示的直角坐標系中，因為曲線C的方程為， 所以點P坐標為， 直線OB的方程為， ……………………………………………………2分 則點P到直線的距離為，………………4分 又PM的造價為5萬元／百米，PN的造價為40萬元／百米． 則兩條道路總造價為． …………8分 (2) 因為， 所以 ， ………………………10分 令，得，列表如下： 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 所以當時，函數(shù)有最小值，最小值為．……13分 答：（1）兩條道路PM ,PN總造價為； （2）當時，總造價最低，最低造價為30萬元． ……………………14分 （注：利用三次均值不等式， 當且僅當，即時等號成立，照樣給分．） 18.（1）令，得． 令，得，所以．…………2分 由，得，因為，所以．………4分 （2）當時，， 所以，即，………………………6分 所以數(shù)列是以為首項，公差為的等差數(shù)列， 所以， ……………………………………………………8分 即，① 當時，，② ①②得，，……………………………………………10分 即，所以， ………………………12分 所以是首項為是常數(shù)列，所以. ……………………14分 代入①得. ……………………16分 19. （1）因為左頂點為，所以，又，所以.…………………2分 又因為， 所以橢圓C的標準方程為. ………………………………………4分 （2）直線的方程為，由消元得，. 化簡得，， 所以，. ……………………………………………………6分 當時，， 所以.因為點為的中點，所以的坐標為， 則.…………………………………………………………………………8分 直線的方程為，令，得點坐標為， 假設(shè)存在定點，使得， 則，即恒成立， 所以恒成立，所以即 因此定點的坐標為. …………………………………………10分 （3）因為，所以的方程可設(shè)為， 由得點的橫坐標為，………………………………………12分 由，得 …………………………………………………14分 ， 當且僅當即時取等號， 所以當時，的最小值為． …………………………16分 20. (1) 由題意，， …………………………………………2分 因為的圖象在處的切線與直線垂直， 所以，解得. ……………………………4分 (2) 法一：由，得， 即對任意恒成立，……………………………6分 即對任意恒成立， 因為，所以， ……………………………8分 記，因為在上單調(diào)遞增，且， 所以，即的取值范圍是． ………………………………………10分 法二：由，得， 即在上恒成立，……………………………6分 因為等價于， ①當時，恒成立， 所以原不等式的解集為，滿足題意． …………………………………………8分 ②當時，記，有， 所以方程必有兩個根，且， 原不等式等價于，解集為，與題設(shè)矛盾， 所以不符合題意． 綜合①②可知，所求的取值范圍是．…………………………………………10分 (3) 因為由題意，可得， 所以只有一個極值點或有三個極值點. ………………………………………11分 令， ①若有且只有一個極值點，所以函數(shù)的圖象必穿過x軸且只穿過一次， 即為單調(diào)遞增函數(shù)或者極值同號． ⅰ）當為單調(diào)遞增函數(shù)時，在上恒成立，得…12分 ⅱ）當極值同號時，設(shè)為極值點，則， 由有解，得，且， 所以， 所以 ， 同理，， 所以， 化簡得， 所以，即， 所以． 所以，當時，有且僅有一個極值點； …………………14分 ②若有三個極值點，所以函數(shù)的圖象必穿過x軸且穿過三次，同理可得； 綜上，當時，有且僅有一個極值點， 當時，有三個極值點． …………………16分