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平面彎曲,·化工設(shè)備機(jī)械基礎(chǔ)·,主要內(nèi)容,§3.1 彎曲變形的實(shí)例和概念 §3.2 直梁彎曲的內(nèi)力分析 §3.3 平面彎曲的應(yīng)力計(jì)算,熟悉直梁彎曲的內(nèi)力分析方法 熟練掌握剪力圖和彎矩圖的繪制,剪力圖和彎矩圖,【本節(jié)內(nèi)容】,1、彎曲和平面彎曲的概念； 2、梁的概念及其種類； 3、梁的內(nèi)力Q、M的分析； 4、Q（x）、M（x）及Q、M圖。,【目的、要求】,1、了解梁上載荷及支座簡(jiǎn)化的方法； 2、能熟練準(zhǔn)確地計(jì)算梁支座反力； 3、熟練掌握簡(jiǎn)捷法求梁指定截面上的內(nèi)力Q、M，以及建立Q（x）、M（x）方程和繪制Q、M圖的方法。,【重點(diǎn)、難點(diǎn)】,【重點(diǎn)】：用簡(jiǎn)捷法求梁指定截面上的內(nèi)力Q、M，以及建立Q（x）、M（x）方程和繪制Q、M圖； 【難點(diǎn)】：用簡(jiǎn)捷法求梁指定截面上的內(nèi)力Q、M 時(shí)外力正負(fù)號(hào)的判斷。,§3.1 彎曲變形的實(shí)例和概念,桿件的彎曲變形也是工程中最常見的一種基本變形形式。如：,●房屋建筑中的樓面梁(圖5-1a)。,●火車輪軸(圖5-1b)。,一、彎曲變形,(請(qǐng)看動(dòng)畫),●扁擔(dān)抬水(圖5-1c),●跳水板(圖5-1d),●橋式吊車的大梁(圖5-1e)。,外力特點(diǎn)：,構(gòu)件都可以簡(jiǎn)化為一根直桿；外力都垂直于桿的軸線。,變形特點(diǎn)：,在外力作用下桿的軸線由直線變?yōu)榍€——彎曲。 通常把僅受彎曲變形的桿件稱為梁(girder)。,二、平面彎曲,若作用在梁上的外力(包括力偶)都位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，且力的作用線垂直于梁的軸線，梁的軸線將彎曲成一條仍位于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線，這種彎曲稱為平面彎曲（plane bending)。,★縱向?qū)ΨQ面：梁橫截面對(duì)稱軸與軸線構(gòu)成 的平面，如圖示。,三、靜定梁的基本形式,1、懸臂梁(cantilever girder)：一端為固定端，另一端為自由端的梁(右圖所示)。,2、簡(jiǎn)支梁：一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動(dòng)鉸鏈支座的梁(右圖所示) 。,3、外伸梁：從簡(jiǎn)支梁的一端或兩端伸出支座之外的梁(右圖所示) 。,3.2、直梁彎曲的內(nèi)力分析,右圖所示，承受集中力P1、P2作用的簡(jiǎn)支梁AB保持平衡，求任意截面1－1的內(nèi)力。,⑴根據(jù)整個(gè)梁的平衡條件，先求出梁在載荷作用下的支反力RA和RB。,⑵假想沿橫截面1-1將梁截開分成左、右兩段，取左段梁為研究對(duì)象。,,一、梁彎曲時(shí)橫截面上的內(nèi)力,②彎矩M，其力偶面垂直于橫截面，稱為彎矩(bending moment) 。,⑶取截面中心C1為力矩點(diǎn)，由平衡方程,①剪力Q，其作用線平行于外力并通過截面形心(沿截面作用)，故稱為剪力(shearing force) 。,內(nèi)力分析,※Q、M正負(fù)號(hào)的規(guī)定,1、對(duì)于剪力Q－－以該截面（如n-n）為界，如左段相對(duì)右段向上滑移（簡(jiǎn)稱左上右下），則剪力為正；反之為負(fù)。,2、對(duì)于彎矩M－－若梁在該截面附近彎成上凹下凸，則彎矩為正；反之為負(fù)。,※簡(jiǎn)捷法求Q、M,※※如何根據(jù)外力的方向確定Q、M的正負(fù)號(hào)(即P外的正負(fù)號(hào))?,1、對(duì)于剪力Q－－ P外左上、右下為正；反之左下、右上為負(fù)。,2、對(duì)于彎矩M－－外力（包括力偶）對(duì)截面形心的力矩為左順、右逆，為正；反之左逆、右順為負(fù)。,例3-1 吊車大梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖示。梁的自重q＝668N/m，吊車的自重和吊重共為P＝10KN，梁長(zhǎng)l=10m。試求當(dāng)?shù)踯囆兄罛端為l/4時(shí)，梁跨中央C截面上的剪力和彎矩。,解：①求支反力,解得：,②計(jì)算C截面的內(nèi)力(取C截面左側(cè)是為研究對(duì)象)：,,,二、剪力方程和彎矩方程,取梁的軸線為x軸（一般是以梁的左端作為坐標(biāo)原點(diǎn)），坐標(biāo)x表示截面的位置，則Q和M可表示為x的函數(shù)：,表示了Q和M隨截面位置變化而變化的規(guī)律，分別稱為剪力方程和彎矩方程。,三、剪力圖和彎矩圖,把剪力和彎矩方程用其函數(shù)圖象表示，分別稱為剪力圖和彎矩圖。 作用：找到梁上最大剪力和最大彎矩處，以確定危險(xiǎn)截面位置。,四、剪力圖和彎矩圖的繪制,對(duì)于一般的情況，繪制剪力圖或彎矩圖的具體步驟可以概括如下：,⑴根據(jù)梁上的荷載和支座情況，求出支座反力。,⑵根據(jù)荷載和支座反力的情況，列出剪力方程和彎矩方程。當(dāng)梁上受有幾個(gè)外力(包括集中力、集中力偶、分布力等)作用時(shí)，在各個(gè)外力之間的每一段梁的剪力方程和彎矩方程都互不相同，這時(shí)需要對(duì)每一段分別列出其剪力方程和彎矩方程。（即分段列Q（x）和M（x））,⑶根據(jù)剪力方程(或彎矩方程)作出剪力圖(或彎矩圖)。,下面分析幾個(gè)實(shí)例,例3-2 懸臂梁AB，長(zhǎng)l，受力P作用，試?yán)L制其剪力、彎矩圖。,解：①求支反力（略）。,②建立剪力方程和彎矩方程,以梁的左端為原點(diǎn)，沿梁軸線作x軸，得,③繪制Q、M圖,Q（x）是一常數(shù)，故為一水平線，縱坐標(biāo)為－P。,M（x）為x的一次式，表示彎矩M沿軸向呈線性變化，故M圖為一斜直線，由方程式確定兩點(diǎn)坐標(biāo)：x＝0，M＝0；x=l，M＝－Pl,,例3-3 圖示簡(jiǎn)支梁AB，長(zhǎng)l，在C點(diǎn)受集中力P作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。,x1,x2,l,RA,RB,解：①以整體為研究對(duì)象求支反力。,解得：,②分段建立剪力方程和彎矩方程：,由于C點(diǎn)有集中力P作用，AC、CB段剪力和彎矩各不相同，故取C點(diǎn)為分段點(diǎn)，分段列方程如下(以截面左側(cè)的外力計(jì)算Q、M）：,AC段：,BC段：,③繪Q、M圖如圖示。,,,例3-4 圖示簡(jiǎn)支梁AB，長(zhǎng)l，在C點(diǎn)受集中力偶 m 作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。,解：①以整體為研究對(duì)象求支反力。,②建立剪力方程和彎矩方程：,AC段：,CB段：,③繪Q、M圖如圖示。,例3-5圖示簡(jiǎn)支梁AB，長(zhǎng)l，受向下的均布載荷q 作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。,解：①以整體為研究對(duì)象求支反力。,②建立剪力方程和彎矩方程：,③繪Q、M圖如圖示。,Q圖是斜直線，M圖是二次拋物線（只要確定三點(diǎn)即可繪制）。,繪制剪力圖和彎矩圖的幾點(diǎn)規(guī)律,1.若梁上某段無均布載荷，則剪力圖為水平線，彎矩圖為斜 直線。,2.若梁上某段有均布載荷，則剪力圖為斜直線，彎矩圖為二次拋物線。,3.梁上集中力作用處，剪力圖有突變，突變值為該集中力大小，彎矩圖在此處有轉(zhuǎn)折。,4.梁上集中力偶作用處，剪力圖無變化，彎矩圖有突變，突變值為該集中力偶的力偶矩。,5.剪力Q=0處，彎矩有極值。,例3-6 圖示懸臂梁AB，受向下的均布載荷q 與集中力P＝qa的作用，試列出梁的剪力方程和彎矩方程，并繪制其剪力、彎矩圖。,解：①以整體為研究對(duì)象求支反力。,解得：,②分段建立剪力方程和彎矩方程：,AB段：,BC段：,③繪Q、M圖如圖示。,1.5.3 梁橫截面上的正應(yīng)力,梁在彎曲時(shí)橫截面上有剪力和彎矩。因此，橫截面上有與這些內(nèi)力相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力。一般情況下，彎矩往往是引起梁破壞的主要原因，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，通常取純彎矩梁來研究。所謂純彎矩，是指梁橫截面上只有彎矩，而剪力為零的彎曲。 對(duì)于受剪力或不受剪力作用的彎曲梁，其截面因彎曲而產(chǎn)生的正應(yīng)力的計(jì)算公式為：,其中：Mz——橫截面上收到的彎矩，N·m Iz——橫截面的軸慣性矩，m4 y——所求點(diǎn)至該截面中性軸Z的距離，m Z軸——梁彎曲時(shí)，即不伸長(zhǎng)，也不縮短縱向?qū)樱ㄖ行詫樱┡c橫截面相交的軸線。稱為中性軸（見圖）,由公式可知，最大應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)上，用ymax表示距中性軸最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離，截面上最大彎曲正應(yīng)力的絕對(duì)值為,Pa （1-25）,(請(qǐng)看動(dòng)畫),常見截面的軸慣性矩和抗彎截面模量,（1-26）,或?qū)憺椋?（1-27）,其中： Wz——梁上抗彎截面模量，m3.,矩形截面：,h ——矩形截面的高 b ——矩形截面的寬,圓形截面：,其中：D ——圓環(huán)外徑 d ——圓環(huán)內(nèi)徑,圓環(huán)截面：,D ——圓形截面的直徑,在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)用公式，可以不考慮M和y的正負(fù)號(hào)，都以其絕對(duì)值代入該式計(jì)算?的數(shù)值，然后根據(jù)M圖的正負(fù)直接判斷?是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力。即以橫截面的中性軸為界，M為正時(shí)，中性軸以下部分為拉應(yīng)力，以上部分為壓應(yīng)力；M為負(fù)時(shí)，則與其相反。也可根據(jù)梁的變形情況直接判斷（如下圖3-7示）。,梁的抗彎截面模量Wz的大小不僅與截面面積有關(guān)，而且與截面形狀有關(guān)，合理選擇梁的截面形狀，可以大大提高梁的抗彎強(qiáng)度，工程上常用的各種型鋼，其Wz可從型鋼表中查取。,1.5.4 梁的彈性彎曲變形——撓度和轉(zhuǎn)角,對(duì)于梁在彎曲變形后,衡量其強(qiáng)度的條件是看其應(yīng)力值是否滿足要求,衡量其剛度的條件是看其變形程度是否滿足允許變形值以內(nèi).主要采用兩個(gè)值來衡量,即撓度和轉(zhuǎn)角.,撓度：梁受力發(fā)生彎曲變形后，軸線上的點(diǎn)在垂直于x軸方向的位移，稱為該點(diǎn)的撓度，用v表示。,撓度的正負(fù)號(hào)規(guī)定： 根據(jù)所選坐標(biāo)y軸的方向而定，與坐標(biāo)軸y正方向一致時(shí)為正，反之為負(fù)。圖1-43所示撓度為負(fù)。 一般情況下?lián)隙葃都是截面位置x的函數(shù)：,（1-31）,轉(zhuǎn)角:梁變形后,軸線上任意點(diǎn)的截面相對(duì)變形前的位置,繞中性軸偏轉(zhuǎn)的角度稱為該截面的轉(zhuǎn)角用θ表示. 轉(zhuǎn)角符號(hào)規(guī)定:逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正,順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù).,例如:圖示懸臂梁在自由端B處,作用一集中力P.變形前梁的軸線AB為一直線,變形后,彎曲成虛線AB1的撓曲線.,圖中:變形后,撓度y向下位移,為負(fù)值,轉(zhuǎn)角θ順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)也為負(fù)值. 查表可得:梁的撓曲線方程:,,轉(zhuǎn)角:,撓度:,其中:P——作用在梁上的集中 力 N L——梁的外伸長(zhǎng)度 E——材料的彈性模量 Iz——梁的抗彎軸慣性 距,二、梁的變形——撓度和轉(zhuǎn)角：,(請(qǐng)看動(dòng)畫),