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2019-2020年高考數學一輪復習 2.5 函數的周期性教案 新課標 一. 知識要點: 1. 函數的周期性 周期函數定義：若函數滿足 , ，則稱函數為周期函數，T是其周期 說明:定義域為R時，若T是周期，那么nT也是周期 ( n為整數） 2。最小正周期 最小正周期定義:若是周期函數，且在它所有的周期中存在最小的正數，稱為的最小正周期。 說明:（1）周期函數不一定有最小正周期（常數函數） （2）最小正周期相同的兩個函數的和，其最小正周期不一定不變 3.如何判斷函數的周期性： ⑴ 定義; ⑵ 圖象; ⑶利用下列補充性質： 設a>0，則： ① 函數y=f(x),x∈R, 若f(x+a)=f(x-a)，則函數的周期為2a ② 函數y=f(x),x∈R, 若f(x+a)=-f(x)，則函數的周期為2a ③ 函數y=f(x),x∈R, 若，則函數的周期為2a ④ 若函數的圖象同時關于直線與對稱，那么其周期為； 證：若關于x=a對稱，則有f(a+x)=f(a-x)，用x+a代x可得：f(x+2a)=f(-x)，同理可得：f(x+2b)=f(-x)，從而有： f(x+2a)= f(x+2b)，再用x-2a代x可得：f(x)= f(x+2b-2a)，所以周期為； 特例：若函數是偶函數，且其圖象關于直線對稱，那么其周期為 T=2a ⑤若函數關于直線對稱，又關于點對稱, 那么函數的周期是4|b-a|； 證：關于直線對稱可得：f(a+x)=f(a-x)，用x+a代x可得：f(x+2a)=f(-x) (1)，關于點對稱可得： f(b+x)+f(b-x)=0用-x-b代x可得：f(-x)+f(2b+x)=0，與（1）式聯(lián)立得：f(x+2a)+f(x+2b)=0得： f(x)+f(x+2b-2a)=0（2），進而得：f(x+2b-2a)+f(x+4b-4a)=0，與（2）；聯(lián)立即得：f(x)= f(x+4b-4a)，故周期是4|b-a|； 特例：若函數是奇函數，又其圖象關于直線對稱，那么其周期為T=4a 二. 例題選講: 例1. 已知定義在R上的偶函數滿足, 且當時,, 求的值 解:,又 例２．已知定義在R上函數滿足,且是偶函數, 當時，，求當時，函數的解析式. 解： 變式 :已知，當時，，求函數的解析式. 解： 例3：設函數在上滿足，，且在閉區(qū)間［0，7］上，只有．（1）試判斷函數的奇偶性和周期性； （2）試求方程=0在閉區(qū)間［-xx，xx］上的根的個數，并證明你的結論． .解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函數的對稱軸為, 從而知函數不是奇函數, 由 ,從而知函數的周期為 又,故函數是非奇非偶函數; (2) 由 又 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有兩個解, 從而可知函數在[0,xx]上有402個解,在[-xx.0]上有400個解, 所以函數在[-xx,xx]上有802個解. 三. 課外作業(yè): 1.已知定義在R上的函數，對于任意x都有成立,設, 數列中值不同的項最多有幾項？ 解：由得進而得到，即T=8，所以數列中值不同的項最多有8項； 2.定義在R上的函數滿足,且當時， ⑴ 求在上的表達式. ⑵ 若，且,求實數a的取值范圍. 解：可得周期T=4，⑴ ⑵a<1 3.設是定義在 上以2為周期的函數，對，用表示區(qū)間，已知當當時，， （1）求在上的解析式； （2）對，求集合 解：（1）由周期T=2結合平移可得在上； （2），即在上有兩個不等實根，也即在上有兩個不等實根，可得： 解得：；