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1、第 一 節(jié) 導(dǎo) 數(shù) 的 概 念一 、 問 題 的 提 出二 、 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義三 、 由 定 義 求 導(dǎo) 數(shù)四 、 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義五 、 可 導(dǎo) 與 連 續(xù) 的 關(guān) 系六 、 小 結(jié) 思 考 題 一 、 問 題 的 提 出1.自 由 落 體 運 動 的 瞬 時 速 度 問 題 0t t,0時 刻 的 瞬 時 速 度求 t t如 圖 , ,0 tt 的 時 刻取 一 鄰 近 于 ,t運 動 時 間tsv 平 均 速 度 00tt ss ).(2 0 ttg ,0時當(dāng) tt 取 極 限 得2 t)(tlimv 0 0 gtt瞬 時 速 度 .0gt T0 x xo xy )(xfy

2、 C NM如 圖 , 如 果 割 線 MN繞 點M旋 轉(zhuǎn) 而 趨 向 極 限 位 置MT,直 線 MT就 稱 為 曲 線C在 點 M處 的 切 線 .極 限 位 置 即 .0,0 NMTMN ).,(),( 00 yxNyxM設(shè)的 斜 率 為割 線 MN 00tan xx yy ,)()( 0 0 xx xfxf , 0 xxMN C 沿 曲 線 的 斜 率 為切 線 MT .)()(limtan 0 00 xx xfxfk xx 二 、 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 ,)( ,)( ,0 );()( ,) (, )( 000 000 0 0 xxyxxfy xxfy xx yxfxxfy yxx xx

3、x xxfy 記 為處 的 導(dǎo) 數(shù)在 點數(shù) 并 稱 這 個 極 限 為 函處 可 導(dǎo)在 點 則 稱 函 數(shù)時 的 極 限 存 在之 比 當(dāng) 與如 果得 增 量 取相 應(yīng) 地 函 數(shù)時仍 在 該 鄰 域 內(nèi) 點處 取 得 增 量在當(dāng) 自 變 量有 定 義 的 某 個 鄰 域 內(nèi)在 點設(shè) 函 數(shù)定 義 .)()(lim)( 0000 h xfhxfxf h 其 它 形 式 .)()(lim)( 0 00 0 xx xfxfxf xx x xfxxfxyy xxxx )()(limlim 00000即 0 00 ( )( ), ,x x x xdy df xf x dx dx 或 .)(, )( 內(nèi)

4、 可 導(dǎo)在 開 區(qū) 間就 稱 函 數(shù)處 都 可 導(dǎo) 內(nèi) 的 每 點在 開 區(qū) 間如 果 函 數(shù) Ixf Ixfy 關(guān) 于 導(dǎo) 數(shù) 的 說 明 ： 0 ,. x導(dǎo) 數(shù) 是 因 變 量 在 點 處 的 變 化 率 它反 映 了 因 變 量 隨 自 變 量 的 變 化 而 變 化 的 快慢 程 度 x xfxxfy x )()(lim0即 .)()(lim)( 0 h xfhxfxf h 或 注 意 : .)()(.1 00 xxxfxf , ( )( ) .( ), ( ), .x I f xf xdy df xy f x dx dx 對 于 任 一 都 對 應(yīng) 著 的 一 個 確 定 的導(dǎo) 數(shù)

5、值 ,這 樣 就 構(gòu) 成 了 一 個 新 的 函 數(shù) ,這 個 函 數(shù)叫 做 原 來 函 數(shù) 的 導(dǎo) 函 數(shù)記 作 或 2.右 導(dǎo) 數(shù) :單 側(cè) 導(dǎo) 數(shù)1.左 導(dǎo) 數(shù) : ;)()(lim)()(lim)( 0000 000 0 x xfxxfxx xfxfxf xxx ;)()(lim)()(lim)( 0000 000 0 x xfxxfxx xfxfxf xxx 函 數(shù) )(xf 在 點 0 x 處 可 導(dǎo) 左 導(dǎo) 數(shù) )( 0 xf 和 右導(dǎo) 數(shù) )( 0 xf 都 存 在 且 相 等 . 如 果 )(xf 在 開 區(qū) 間 ba, 內(nèi) 可 導(dǎo) ， 且 )(af 及)(bf 都 存 在

6、， 就 說 )(xf 在 閉 區(qū) 間 ba, 上 可 導(dǎo) . . ,),( ),()( 000可 導(dǎo) 性 的討 論 在 點設(shè) 函 數(shù) xxxx xxxxf x xfxxfx )()(lim 000若 x xxxx )()(lim 000 ,)( 0 存 在xf 則 )(xf 在 點 0 x 可 導(dǎo) ， ,)( 0 存 在xfx xfxxfx )()(lim 000若 x xxxx )()(lim 000 ,)()( 00 axfxf 且 .)( 0 axf 且 三 、 由 定 義 求 導(dǎo) 數(shù)步 驟 : );()()1( xfxxfy 求 增 量 ;)()()2( x xfxxfxy 算 比 值

7、 .lim)3( 0 xyy x 求 極 限例 1 .)()( 的 導(dǎo) 數(shù)為 常 數(shù)求 函 數(shù) CCxf 解 h xfhxfxf h )()(lim)( 0 hCCh 0lim .0.0)( C即 例 2 .)(sin)(sin,sin)( 4 xxxxxf 及求設(shè) 函 數(shù)解 h xhxx h sin)sin(lim)(sin 0 22sin)2cos(lim0 hhhxh .cos x.cos)(sin xx 即 44 cos)(sin xx xx .22 例 3 .)( 的 導(dǎo) 數(shù)為 正 整 數(shù)求 函 數(shù) nxy n解 h xhxx nnhn )(lim)( 0 !2 )1(lim 121

8、0 nnnh hhxnnnx 1 nnx.)( 1 nn nxx即更 一 般 地 )(.)( 1 Rxx )( x例 如 , 12121 x .21x)( 1 x 11)1( x .12x 例 4 .)1,0()( 的 導(dǎo) 數(shù)求 函 數(shù) aaaxf x解 h aaa xhxhx 0lim)( haa hhx 1lim0 .lnaax .ln)( aaa xx 即 .)( xx ee 例 5 .)1,0(log 的 導(dǎo) 數(shù)求 函 數(shù) aaxy a解 h xhxy aah log)(loglim0 .log1)(log exx aa 即 .1)(ln xx xxh xhah 1)1(loglim0

9、 hxah xhx )1(loglim1 0 .log1 ex a 例 6 .0)( 處 的 可 導(dǎo) 性在討 論 函 數(shù) xxxf解 xy xyo,)0()0( hhh fhf hhh fhf hh 00 lim)0()0(lim ,1hhh fhf hh 00 lim)0()0(lim .1),0()0( ff即 .0)( 點 不 可 導(dǎo)在函 數(shù) xxfy 四 、 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義o xy )(xfy T0 xM1.幾 何 意 義 )(,tan)( , )(,( )()( 0 000 為 傾 角即切 線 的 斜 率 處 的在 點 表 示 曲 線 xf xfxM xfyxf切 線 方

10、 程 為法 線 方 程 為 ).)( 000 xxxfyy 0 0 001 ( )( ( ) 0).( )y y x x f xf x 若 例 7 ., )2,21(1 方 程 和 法 線 方 程并 寫 出 在 該 點 處 的 切 線斜 率 處 的 切 線 的在 點求 等 邊 雙 曲 線 xy 解 由 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 , 得 切 線 斜 率 為21 xyk 21)1( xx 2121 xx .4所 求 切 線 方 程 為法 線 方 程 為 ),21(42 xy ),21(412 xy .044 yx即 .01582 yx即 五 、 可 導(dǎo) 與 連 續(xù) 的 關(guān) 系定 理 凡 可 導(dǎo)

11、函 數(shù) 都 是 連 續(xù) 函 數(shù) .證 ,)( 0可 導(dǎo)在 點設(shè) 函 數(shù) xxf )(lim 00 xfxyx )( 0 xfxy xxxfy )( 0)(limlim 000 xxxfy xx 0.)( 0連 續(xù)在 點函 數(shù) xxf )0(0 x注 意 : 該 定 理 的 逆 定 理 不 成 立 . 例 8 .0 ,0,0 0,1sin)(處 的 連 續(xù) 性 與 可 導(dǎo) 性在討 論 函 數(shù) x xxxxxf解 ,1sin 是 有 界 函 數(shù)x 01sinlim0 xxx .0)( 處 連 續(xù)在 xxf處 有但 在 0 x x xxxy 00 1sin)0( x 1sin .11,0 之 間 振

12、 蕩 而 極 限 不 存 在和在時當(dāng) xyx .0)( 處 不 可 導(dǎo)在 xxf 0)(lim)0( 0 xff x 六 、 小 結(jié)1. 導(dǎo) 數(shù) 的 實 質(zhì) : 增 量 比 的 極 限 ; 2. axf )( 0 )( 0 xf ;)( 0 axf 3. 導(dǎo) 數(shù) 的 幾 何 意 義 : 切 線 的 斜 率 ;4. 函 數(shù) 可 導(dǎo) 一 定 連 續(xù) ， 但 連 續(xù) 不 一 定 可 導(dǎo) ;5. 求 導(dǎo) 數(shù) 最 基 本 的 方 法 : 由 定 義 求 導(dǎo) 數(shù) .6. 判 斷 可 導(dǎo) 性 不 連 續(xù) ,一 定 不 可 導(dǎo) .連 續(xù) 直 接 用 定 義 ;看 左 右 導(dǎo) 數(shù) 是 否 存 在 且 相 等 .

13、 思 考 題 函 數(shù) )(xf 在 某 點 0 x 處 的 導(dǎo) 數(shù) )( 0 xf與 導(dǎo) 函 數(shù) )(xf 有 什 么 區(qū) 別 與 聯(lián) 系 ？ 思 考 題 解 答 由 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 知 ， )( 0 xf 是 一 個 具 體 的數(shù) 值 ， )(xf 是 由 于 )(xf 在 某 區(qū) 間 I上 每 一 點 都 可 導(dǎo) 而 定 義 在 I上 的 一 個 新 函 數(shù) ， 即Ix ， 有 唯 一 值 )(xf 與 之 對 應(yīng) ， 所 以 兩 者 的 區(qū) 別 是 ： 一 個 是 數(shù) 值 ， 另 一 個 是 函 數(shù) 兩者 的 聯(lián) 系 是 ： 在 某 點 0 x 處 的 導(dǎo) 數(shù) )( 0 xf 即 是

14、 導(dǎo) 函 數(shù) )(xf 在 0 x 處 的 函 數(shù) 值 一 、 填 空 題 ：1、 設(shè) )(xf 在 0 xx 處 可 導(dǎo) ， 即 )( 0 xf 存 在 ， 則 _)()(lim 000 x xfxxfx , _)()(lim 000 x xfxxfx .2、 已 知 物 體 的 運 動 規(guī) 律 為 2ts (米 )， 則 該 物 體 在 2t 秒 時 的 速 度 為 _ .3、 設(shè) 3 21 )( xxy , 22 1)( xxy , 53 223 )( xxxxy , 則 它 們 的 導(dǎo) 數(shù) 分 別 為 dxdy1 =_ ，dxdy2 =_ ， dxdy3 =_ . 練 習(xí) 題 4、 設(shè)

15、 2)( xxf ,則 )(xff _； )(xff _. 5、 曲 線 xey 在 點 )1,0( 處 的 切 線 方 程 為_. 二 、 在 下 列 各 題 中 均 假 定 )( 0 xf 存 在 ， 按 照 導(dǎo) 數(shù) 的 定義 觀 察 下 列 極 限 ， 分 析 并 指 出 A 表 示 什 么 ？ 1、 Axx xfxfxx 0 0 )()(lim0 ； 2、 Ahhfh )(lim0 ， 其 中 )0(0)0( ff 且 存 在 ； 3、 Ah hxfhxfh )()(lim 000 .三 、 證 明 ： 若 )(xf 為 偶 函 數(shù) 且 )0(f 存 在 ， 則 0)0( f . 四

16、、 設(shè) 函 數(shù) 0,0 0,1sin)( x xxxxf k 問 k 滿 足 什 么 條 件 ， )(xf 在 0 x 處 (1)連 續(xù) ； （ 2） 可 導(dǎo) ；（ 3） 導(dǎo) 數(shù) 連 續(xù) . 五 、 設(shè) 函 數(shù) 1, 1,)( 2 xbax xxxf ,為 了 使 函 數(shù))(xf 在 1x 處 連 續(xù) 且 可 導(dǎo) ， ba , 應(yīng) 取 什 么 值 . 六 、 已 知 0, 0,sin)( xx xxxf ,求 )(xf .七 、 證 明 ： 雙 曲 線 2axy 上 任 一 點 處 的 切 線 與 兩 坐 標(biāo) 軸 構(gòu) 成 的 三 角 形 的 面 積 都 等 于 22a . 八 、 設(shè) 有 一

17、根 細(xì) 棒 ， 取 棒 的 一 端 作 為 原 點 ， 棒 上 任 意 點 的 坐 標(biāo) 為 x ， 于 是 分 布 在 區(qū) 間 1,0 上 細(xì) 棒 的 質(zhì) 量 m 是 x 的 函 數(shù) )(xmm 應(yīng) 怎 樣 確 定 細(xì) 棒 在 點0 x 處 的 線 密 度 （ 對 于 均 勻 細(xì) 棒 來 說 ， 單 位 長 度 細(xì) 棒 的 質(zhì) 量 叫 作 這 細(xì) 棒 的 線 密 度 ） ？ 一 、 1、 )( 0 xf ； 2、 )( 0 xf ； 3、 65331 61,2,32 xxx ； 3、 24x , 22x ； 5、 01 yx .二 、 1、 )( 0 xf ； 2、 )0(f ； 3、 )(2 0 xf . 四 、 (1)當(dāng) 0k 時 , )(xf 在 0 x 處 連 續(xù) ；(2)當(dāng) 1k 時 , )(xf 在 0 x 處 可 導(dǎo) ,且 0)0( f ； (3)當(dāng) 2k 及 0 x 時 , )(xf 在 0 x 處 連 續(xù) .五 、 1,2 ba . 六 、 0,1 0,cos)( xxxxf . 八 、 0 xxdxdm . 練 習(xí) 題 答 案