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第二篇 函數、導數及其應用,,,,,第1節(jié) 函數及其表示,,基 礎 梳 理,1．函數的概念 設A，B都是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有___________的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數f(x)的 ，與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數f(x)的 ，顯然，值域是集合B的子集，函數的 、_______和對應關系構成了函數的三要素．,唯一確定,定義域,值域,定義域,值域,質疑探究：函數的值域是由函數的定義域、對應關系唯一確定的嗎？ 提示：是．函數的定義域和對應關系確定后函數的值域就確定了，在函數的三個要素中定義域和對應關系是關鍵．,2．函數的表示法 (1)基本表示方法： 、 、________． (2)分段函數：在定義域的不同范圍內函數具有不同的解析式，這類函數稱為 ．分段函數是一個函數，分段函數的定義域是各段定義域的 、值域是各段值域的 ．,解析法,圖象法,列表法,分段函數,并集,并集,3．映射：設A，B都是非空的集合，如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有 的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射．,唯一確定,1．下列各圖中，可表示函數y＝f(x)的圖象的只可能是( ),,解析：根據函數的定義，對定義域內的任意一個x必有唯一的y值和它對應．故選D. 答案：D,答案：D,3．設函數f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，則g(x)的表達式是( ) A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1 C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7 解析：法一 ∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1， ∴g(x)＝2x－1. 法二 ∵g(x＋2)＝2x＋3，令t＝x＋2，則x＝t－2. ∴g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.∴g(x)＝2x－1.故選B. 答案：B,,考 點 突 破,函數與映射的概念,[思維導引] (1)(3)相等函數的判斷要從定義域與對應關系兩方面去判斷；(2)(4)直接由函數的定義去判斷．,[答案] (2)(3),(1)判斷一個對應關系是否是函數關系，就看這個對應關系是否滿足函數定義中“定義域內的任意一個自變量的值都有唯一確定的函數值”這個核心點．(2)兩個函數是否是相等函數，取決于它們的定義域和對應關系是否相同，只有當兩個函數的定義域和對應關系完全相同時，才表示相等函數．(3)函數的自變量習慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m)＝2m－1均表示相等函數．,函數的定義域,[思維導引] 根據使解析式有意義的條件列出關于x的限制條件的不等式(組)，不等式(組)的解集即為函數的定義域．,求函數定義域一般要考查如下幾個方面：分式的分母不等于零、偶次被開方式不小于零、對數的真數大于零等，如果函數是一些函數通過四則運算結合而成的，那么它的定義域是各函數定義域的交集，對于實際問題中函數的定義域還要考慮自變量的實際意義．,分段函數,,,[思維導引] (1)根據時間與距離的變化關系，結合實際意義分析判斷；(2)根據函數解析式，把求解目標轉化為，在給出具體函數解析式的“段”上求解． [解析] (1)開始勻速前進，離學校的距離均勻減少，圖象是下降的線段；停留一段時間時離學校的距離是常數，圖象是平行x軸的線段；最后速度快，但仍然是勻速前進，離學校的距離均勻減少，但減少的速度快于第一階段，故圖象是比第一段更“陡”的線段．故為選項C中的圖象．,給出分段函數解析式，主要有三方面的問題．一是求函數值，特別是求復合函數的函數值，其方法是在不同的范圍內代入不同的解析式；二是研究這個分段函數的單調性，方法是根據函數在各個范圍內的單調性，整合為整個定義域上的單調性；三是求最值，其方法是求出函數在各個范圍內的最值，這些最值中最大的是最大值，最小的是最小值．,解析：f(2)＝f(1)－f(0)＝[f(0)－f(－1)]－f(0) ＝－f(－1)＝－1. 故選D.,化歸思想在求函數解析式中的應用 [典例] (2013年高考安徽卷)定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝________. 分析：根據f(x＋1)＝2f(x)，把函數在[－1,0]上的解析式問題轉化為函數在[0,1]上的解析式求解．,命題意圖：本題考查了函數解析式的求法及化歸與轉化思想的應用，解題的關鍵是將函數在[－1,0]上的解析式轉化為函數在[0,1]上的解析式．,