《高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)概念》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)概念（35頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二章,微積分學(xué)的創(chuàng)始人:,德國(guó)數(shù)學(xué)家 Leibniz,微分學(xué),導(dǎo)數(shù),,描述函數(shù)變化快慢,微分,,描述函數(shù)變化程度,都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具,(從微觀上研究函數(shù)),,導(dǎo)數(shù)與微分,導(dǎo)數(shù)思想最早由法國(guó),數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究,極值問(wèn)題中提出.,英國(guó)數(shù)學(xué)家 Newton,本章主要內(nèi)容,第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念,第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則,第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)（二階導(dǎo)數(shù)）,第四節(jié) 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及由參數(shù)方程所確定,的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),第五節(jié) 函數(shù)的微分,,一、引例,二、導(dǎo)數(shù)的定義,三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,,第一節(jié),導(dǎo)數(shù)的概念,第二章,一、 引例,1. 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度,設(shè)描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

2、位置的函數(shù)為,則 到 的平均速度為,而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為,,,,2. 曲線的切線斜率,曲線,,,,在 M 點(diǎn)處的切線,,割線 M N 的極限位置 M T,,(當(dāng) 時(shí)),割線 M N 的斜率,,切線 MT 的斜率,,兩個(gè)問(wèn)題的共性:,瞬時(shí)速度,切線斜率,所求量為函數(shù)增量與自變量增量之比的極限 .,類(lèi)似問(wèn)題還有:,加速度,角速度,線密度,電流強(qiáng)度,是速度增量與時(shí)間增量之比的極限,是轉(zhuǎn)角增量與時(shí)間增量之比的極限,是質(zhì)量增量與長(zhǎng)度增量之比的極限,是電量增量與時(shí)間增量之比的極限,變化率問(wèn)題,,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),,存在,,并稱(chēng)此極限為,記作:,即,則稱(chēng)函數(shù),若,的某鄰域內(nèi)有定

3、義 ,,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度,曲線,在 M 點(diǎn)處的切線斜率,,,關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說(shuō)明：,,不存在,,就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn) 不可導(dǎo).,若,也稱(chēng),在,若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間 I 內(nèi)每點(diǎn)都可導(dǎo),,此時(shí)導(dǎo)數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱(chēng)為導(dǎo)函數(shù).,記作:,就稱(chēng)函數(shù)在 I 內(nèi)可導(dǎo).,的導(dǎo)數(shù)為無(wú)窮大 .,若極限,求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)舉例,步驟:,,例1. 求函數(shù),(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù).,解:,即,例2. 求函數(shù),解:,說(shuō)明：,對(duì)一般冪函數(shù),( 為常數(shù)),例如，,（以后將證明）,,例3. 求函數(shù),的導(dǎo)數(shù).,解:,則,即,類(lèi)似可證得,,,,例4,解,,,例5,解,,,在點(diǎn),的某個(gè)右 鄰域內(nèi),單側(cè)導(dǎo)數(shù),若極限,則稱(chēng)此極限值為,

4、在 處的右 側(cè)導(dǎo)數(shù),,記作,即,(左),(左),,,,,定義2 . 設(shè)函數(shù),有定義,,存在,,定理1. 函數(shù),在點(diǎn),且,,存在,,,簡(jiǎn)寫(xiě)為,若函數(shù),與,都存在 ,,則稱(chēng),在開(kāi)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),,在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,可導(dǎo)的充分必要條件,是,且,例6,解,三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,若,曲線過(guò),上升;,若,曲線過(guò),下降;,若,切線與 x 軸平行,,稱(chēng)為駐點(diǎn);,若,切線與 x 軸垂直 .,切線方程:,法線方程:,例7,求等邊雙曲線 在點(diǎn) 處的切線的斜率,并寫(xiě)出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程,解 所求切線及法線的斜率分別為,所求切線方程為,,即,所求法線方程為,,即,練習(xí),,求曲線,的通過(guò)

5、點(diǎn)(0 4)的切線方程,解 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 則切線的斜率為,,,于是所求切線的方程可設(shè)為,根據(jù)題目要求 點(diǎn)(0 4)在切線上 因此,解之得 于是所求切線的方程為,即 3xy40,四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,定理2.,證:,設(shè),在點(diǎn) x 處可導(dǎo),,存在 ,,因?yàn)?故,所以函數(shù),在點(diǎn) x 連續(xù) .,注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)，但在該點(diǎn)未必可導(dǎo).,反例:,,,在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).,即,,例8 討論函數(shù),,處的連續(xù)性與可導(dǎo)性.,解：,,在,,此極限不存在,內(nèi)容小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì):,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義:,4. 可導(dǎo)必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 已學(xué)求導(dǎo)公式

6、 :,6. 判斷可導(dǎo)性,,不連續(xù), 一定不可導(dǎo).,直接用導(dǎo)數(shù)定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,2.,增量比的極限,切線的斜率;,,,(變化率),思考與練習(xí),1. 函數(shù) 在某點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù),區(qū)別:,是函數(shù) ,,是數(shù)值;,聯(lián)系:,注意:,有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?,？,與導(dǎo)函數(shù),2. 設(shè),存在 , 則,3. 已知,則,4. 若,時(shí), 恒有,問(wèn),是否在,可導(dǎo)?,解:由題設(shè),由夾逼準(zhǔn)則,故,在,可導(dǎo), 且,,5. 設(shè),, 問(wèn) a 取何值時(shí),,在,都存在 , 并求出,解: 顯然該函數(shù)在 x = 0 可導(dǎo) .,故,時(shí),此時(shí),在,都存在,,,作業(yè),P65 2 , 5 , 6, 7(1),第二節(jié),思考題,解:

7、 因?yàn)?1. 設(shè),存在, 且,求,所以,在,處連續(xù), 且,存在，,證明:,在,處可導(dǎo).,證：因?yàn)?存在，,則有,所以,即,在,處可導(dǎo).,2. 設(shè),故,,原式,,是否可按下述方法作:,3. 設(shè),存在, 求極限,解: 原式,,牛頓(1642 1727),,偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家 , 物理學(xué)家, 天文,學(xué)家和自然科學(xué)家.,他在數(shù)學(xué)上的卓越,貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分.,1665年他提出正,流數(shù) (微分) 術(shù) ,,次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),,并于1671,年完成流數(shù)術(shù)與無(wú)窮級(jí)數(shù)一書(shū) (1736年出版).,他,還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等 .,萊布尼茨 (1646 1716),,,德國(guó)數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家.,他和牛頓同為,微積分的創(chuàng)始人 ,,他在學(xué)藝雜志,上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,,有的早于牛頓,,所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓 .,他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī) ,,系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì),數(shù)法 ,,并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來(lái) .,