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1、第五章第五章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識第四節(jié)第四節(jié) 觀測值函數(shù)中誤差觀測值函數(shù)中誤差第一節(jié)第一節(jié) 概述概述第二章第二章 算術(shù)平均值算術(shù)平均值第三節(jié)第三節(jié) 評定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)評定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)本本 章章 小小 結(jié)結(jié)exit在測量工作中，對某量在測量工作中，對某量(如某一個(gè)角度、某一段距離或某兩點(diǎn)間如某一個(gè)角度、某一段距離或某兩點(diǎn)間的高差等的高差等)進(jìn)行多次觀測，所得的各次觀測結(jié)果總是存在著差異，進(jìn)行多次觀測，所得的各次觀測結(jié)果總是存在著差異，這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為每次測量所得的觀測值與該量的真值之這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為每次測量所得的觀測值與該量的真值之間的差值，這種差值稱為真誤差，即

2、間的差值，這種差值稱為真誤差，即:測量誤差測量誤差()=真值真值-觀測值觀測值iilX 4 5 -24-21-18-15-12-9-6-3 0 +3+6+9+12+15+18+21+24 X=k/d 1)有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。對值不會超過一定的限值。2)單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會多。出現(xiàn)的機(jī)會多。3)對稱性：對稱性：絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會基本相等。會基本相等。4)補(bǔ)償性：補(bǔ)償性：偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測次偶然誤

3、差的算術(shù)平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零。數(shù)的無限增加而趨于零。x是根據(jù)觀測值所能求得的是根據(jù)觀測值所能求得的最可靠的結(jié)果最可靠的結(jié)果，稱為最或是值，稱為最或是值或算術(shù)平均值?；蛩阈g(shù)平均值。nLx n1i這是最或是誤差的一大特征，用作計(jì)算上的校核。這是最或是誤差的一大特征，用作計(jì)算上的校核。n1i0v一、算術(shù)平均值一、算術(shù)平均值 在實(shí)際工作中，采用對某量在實(shí)際工作中，采用對某量有限次數(shù)有限次數(shù)的觀測值來求得算的觀測值來求得算術(shù)平均值，即：術(shù)平均值，即：二、最或是誤差二、最或是誤差(改正數(shù)改正數(shù))及特性及特性 最或是值與觀測值之差稱為最或是誤差最或是值與觀測值之差稱為最或是誤差，又名觀測值改

4、，又名觀測值改正數(shù)，用正數(shù)，用V表示，即：表示，即：Vi=x Li 而而9 XnlnnnnlXnlim0lim4）特性更據(jù)偶然誤差第（xnlnnlXlXlX2211 n1i0v5-3 評定精度的標(biāo)準(zhǔn)iilX nm三 容許誤差mm32允允 mLKLmK/1 13 iiilxllv112nvmnii1122nvniil14 nnlXlXlX2211111111lxvlxvlxv)()()(2211xXvxXvxXvnn15 1)(2202)()()(131212222122222nvvnnnnnnvvnvvnvvvvnnvvvvxXvlxvlXnxXxXnxXnvnnniiiiiiii16 毫米1

5、6.3232.61540452.1230mll 設(shè)設(shè)xi的中誤差為的中誤差為mi，函數(shù)，函數(shù)F的中誤差為的中誤差為mF，經(jīng)，經(jīng)推導(dǎo)得：推導(dǎo)得：一、線性函數(shù)一、線性函數(shù) 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)F=K1x1K2x2Knxn式中：式中：F 線性函數(shù)；線性函數(shù)；Ki 常數(shù)；常數(shù)；xi 獨(dú)立觀測值。獨(dú)立觀測值。m2F=(K1m1)2+(K2m2)2+(Knmn)2 例例1:在在1：500比例尺地形圖上，量得比例尺地形圖上，量得A、B兩兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)間的距離S=163.6mm，其中誤差，其中誤差ms=0.2mm。求。求A、B兩點(diǎn)實(shí)地距離兩點(diǎn)實(shí)地距離D及其中誤差及其中誤差mD。D=81.10.1(m)mD=MmS

6、=5000.2(mm)=0.1(m)解解：D=MS=500163.6(mm)=81.8(m)(M為比例尺分母為比例尺分母)例例2 某水準(zhǔn)路線某水準(zhǔn)路線各測段各測段高差的觀測值中誤差分別為高差的觀測值中誤差分別為 h1=1 8.3 1 6 m 5 m m，h2=8.1 7 1 m 4 m m，h3=6.625m3mm，試求試求該該水準(zhǔn)路線高差水準(zhǔn)路線高差及其及其中誤差中誤差。h=16.882m7.1mm解解 h=h1+h2+h3=16.862()m 2h=m21+m 22m 23 =52+42+32 m h=7.1(mm)例例3 設(shè)對某一未知量設(shè)對某一未知量P，在，在相同觀測條件下相同觀測條件下

7、進(jìn)行多進(jìn)行多次觀測，觀測值分別為次觀測，觀測值分別為L1,L2Ln，其中誤差均為，其中誤差均為m，求求算術(shù)平均值算術(shù)平均值x的的中誤差中誤差M。n211LLLnx nmM因?yàn)橐驗(yàn)閙1=m2=mn=m，得：，得：21nM2=(m1)2(m2)2(mn)2 解：解：例例4 三角形的三個(gè)內(nèi)角，在實(shí)際觀測時(shí)三內(nèi)角之和與三角形的三個(gè)內(nèi)角，在實(shí)際觀測時(shí)三內(nèi)角之和與理論值會有一個(gè)差值，這個(gè)差值稱為理論值會有一個(gè)差值，這個(gè)差值稱為三角形閉合差三角形閉合差。設(shè)等。設(shè)等精度觀測精度觀測n個(gè)三角形的三內(nèi)角分別為個(gè)三角形的三內(nèi)角分別為ai、bi和和ci，其測角中誤，其測角中誤差均為差均為m=ma=mb=mc，各三角形

8、內(nèi)角和的觀測值與真值，各三角形內(nèi)角和的觀測值與真值180之差為三角形閉合差之差為三角形閉合差f1、f2、fn，即真誤差，其即真誤差，其計(jì)算關(guān)系式為計(jì)算關(guān)系式為：根據(jù)根據(jù)觀測值函數(shù)觀測值函數(shù)中誤差關(guān)系中誤差關(guān)系得得：fi=ai+bi+ci 180m2f=m2a+m2b+mc2=3m2由由此此得得測測角角中中誤誤差差為為 m=mf=m 上式稱為菲列羅公式，是上式稱為菲列羅公式，是小三角測量評定測小三角測量評定測角精度的基本公式。角精度的基本公式。nm33mfff323.),(21xxfy設(shè)有函數(shù)式：nmyyy 24 2222222121.nnymfmfmfm25 22222222222cossin

9、cossincoscosvShvSDmhmvmmvSmvmdvvSdsvdDvSD或，三，二，一，26 22222222222sincossincossinsinvShvShmDmvmmvSmvmdvvSdsvdhvSh或，三，二，一，27 秒0.753.244mCBA223mmmm3秒0.43mm28 360.123AlClBl3CBAlllxx29 AlClBlCPBPAPlPlPlPllllllllllxCCBBAACBA543543121287432130 22llmmp 31 SSCSBSAxCSCBSBASAxCSCBSBASASiiiiiPmmPpmPpmPpmmPpmPpmPp

10、mlPplPplPpPlpplpx222222222222222.pmPmmSlppl此式表明32 nmpmmpnmCBAjmpmjjjjjj222222.),(所以因?yàn)閚pm)(21)(2npvvm33 次序觀測值l權(quán)p改正數(shù)vpvpvv1123.4573-4.5-13.560.752123.4503.5+2.58.821.883123.4535-0.5-2.51.254123.4491+3.53.512.255123.4512.5+1.53.75.62S123.452515.0046.63452.1230 ll毫米42.3283.61563.460m毫米0.10ilpmm4.最或是誤差最或是誤差：Vi=x Li (i=1，2，n)且且 nLx 0V 一、基本概念一、基本概念1.測量誤差測量誤差=真值真值觀測值。觀測值。2.觀測誤差按性質(zhì)分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。觀測誤差按性質(zhì)分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。3.算術(shù)平均值算術(shù)平均值：（L1，L 2，L n）為等精度觀測值為等精度觀測值二、評定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)二、評定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn) 1.中誤差中誤差：(i=X L1，Vi=x Li）2.允許誤差允許誤差：容容=2m 或或 容容=3m 3.相對誤差相對誤差：4.算術(shù)平均值中誤差算術(shù)平均值中誤差及及相對誤差相對誤差：122nVmnm或mLK1nmMMxK1