專題59 二元權方和不等式 【方法點撥】 已知，則有：（當且僅當時，等號成立）. 說明: 1.上式其實即為二元變量的權方和不等式，用于“知和求和型”求最值，其實質就是“1”的代換. 2. 設()，實數(shù)，則，其中等號當且僅當時成立.稱之為權方和不等式. 我們稱為該不等式的權，權方和不等式的特征是分子的冪指數(shù)比分母的冪指數(shù)高1次. 【典型題示例】 例1 （2022·江蘇金陵中學·網(wǎng)課質檢卷·13）已知，且滿足，則的最小值為________． 【答案】 【分析】由知：，為保證分母和為定值，對所求作適當?shù)淖冃?，然后就可以使用權方和不等式? 【解析】（取等條件略）. 例2 已知，，則的最小值為 . 【答案】 【分析】由知：，為保證分母和為定值，對所求作適當?shù)淖冃危缓缶涂梢允褂脵喾胶筒坏仁搅? 【解析】（等號成立條件，略，下同）. 例3 如圖，已知三角形 ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 2 ，若點 M 為線段 BC 的三等分點(靠近 B 點)，則的最小值為 　　 ． 　　 【答案】 【解析】，， . 例4 已知a＞0，b＞0，且，則的最小值是 ． 【答案】 【解析】 當，即，． 例5 已知x＞0，y＞0，且則的最小值是 ． 【答案】 【解析】 當，即時，等號成立． 例5 已知x＞1，y＞1，則的最小值是 ． 【答案】8 【解析】令 當，即，兩個等號同時成立． 例6 已知a＞0，b＞0，且，則的最小值是 ． 【答案】 【解析】 當，即，． 例7 已知，且，則的最大值與最小值之和為 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】已知中兩個式子、是“知和求和”的典型結構特征，而后者又是待求的，故可考慮換元法，設，用“1的代換”或權方和不等式，消去，化等式為不等式，從而構造出關于的一元二次不等式，求出其解集. 【解析】設（） 由權方和不等式得， 代入已知得 整理得，解之得 即，當且僅當時，即或時取等號 所以最大值與最小值之和為． 【鞏固訓練】 1.已知x＞1，y＞1，xy＝10，則的最小值是 ． 2. 已知正數(shù)滿足，則的最小值為 . 3. 已知，則的最小值為 . 4.已知正實數(shù)x，y滿足x+y＝xy，則的最小值是　 ?。? 【答案與提示】 1.【答案】9 【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10， ∴，且 ∴，當且僅當時取“＝”． 2.【答案】 【解析】 當且僅當，等號成立. 3.【答案】 【解析】 當且僅當時,等號成立. 4.【答案】15 【解析】x+y＝xy可化為，