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1、專題59 二元權(quán)方和不等式
【方法點撥】
已知,則有:(當且僅當時,等號成立).
說明:
1.上式其實即為二元變量的權(quán)方和不等式,用于“知和求和型”求最值,其實質(zhì)就是“1”的代換.
2. 設(shè)(),實數(shù),則,其中等號當且僅當時成立.稱之為權(quán)方和不等式.
我們稱為該不等式的權(quán),權(quán)方和不等式的特征是分子的冪指數(shù)比分母的冪指數(shù)高1次.
【典型題示例】
例1 (2022·江蘇金陵中學(xué)·網(wǎng)課質(zhì)檢卷·13)已知,且滿足,則的最小值為________.
【答案】
【分析】由知:,為保證分母和為定值,對所求作適當?shù)淖冃?,然后就可以使用?quán)方和不等式了.
【解析】(取等條件略).
2、
例2 已知,,則的最小值為 .
【答案】
【分析】由知:,為保證分母和為定值,對所求作適當?shù)淖冃?,然后就可以使用?quán)方和不等式了.
【解析】(等號成立條件,略,下同).
例3 如圖,已知三角形 ABC 中,AB =1,AC = 2 ,若點 M 為線段 BC 的三等分點(靠近 B 點),則的最小值為 .
【答案】
【解析】,,
.
例4 已知a>0,b>0,且,則的最小值是 .
【答案】
【解析】
當,即,.
例5 已知x>0,y>0,且則的最小值是 .
【答案】
【解析】
當,即時,等號
3、成立.
例5 已知x>1,y>1,則的最小值是 .
【答案】8
【解析】令
當,即,兩個等號同時成立.
例6 已知a>0,b>0,且,則的最小值是 .
【答案】
【解析】
當,即,.
例7 已知,且,則的最大值與最小值之和為
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【分析】已知中兩個式子、是“知和求和”的典型結(jié)構(gòu)特征,而后者又是待求的,故可考慮換元法,設(shè),用“1的代換”或權(quán)方和不等式,消去,化等式為不等式,從而構(gòu)造出關(guān)于的一元二次不等式,求出其解集.
【解析】設(shè)()
由權(quán)方和不等式得,
代入已知得
整理得,解之得
4、
即,當且僅當時,即或時取等號
所以最大值與最小值之和為.
【鞏固訓(xùn)練】
1.已知x>1,y>1,xy=10,則的最小值是 .
2. 已知正數(shù)滿足,則的最小值為 .
3. 已知,則的最小值為 .
4.已知正實數(shù)x,y滿足x+y=xy,則的最小值是 ?。?
【答案與提示】
1.【答案】9
【解析】∵x>1,y>1,xy=10,
∴,且
∴,當且僅當時取“=”.
2.【答案】
【解析】
當且僅當,等號成立.
3.【答案】
【解析】
當且僅當時,等號成立.
4.【答案】15
【解析】x+y=xy可化為,