2.1.4函數(shù)的奇偶性2.1.5用計(jì)算機(jī)作函數(shù)的圖象(選學(xué)),一,二,三,一、奇偶函數(shù)的定義【問(wèn)題思考】,提示:y=的定義域?yàn)閧x|x≠0},經(jīng)過(guò)對(duì)一系列互為相反數(shù)的x值代入函數(shù)式可得:若x的取值互為相反數(shù),則其函數(shù)值相等.即對(duì)x∈{x|x≠0}總有f(-x)=f(x)成立,我們把這類函數(shù)稱為偶函數(shù).(2)你還能得出函數(shù)f(x)=x5在x∈R時(shí)仍有上述(1)問(wèn)中的規(guī)律嗎?提示:f(x)=x5滿足的規(guī)律是對(duì)x∈R,總有f(-x)=-f(x)成立,我們把這類函數(shù)稱為奇函數(shù).2.一個(gè)函數(shù)具有奇偶性,其定義域有什么特點(diǎn)?提示:一個(gè)函數(shù)若具有奇偶性,其定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這等價(jià)于定義中的“對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有-x∈D”這一說(shuō)法.,一,二,三,3.填寫(xiě)下表:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有-x∈D,,,,一,二,三,4.做一做:(1)下列函數(shù)是偶函數(shù)的為()A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]答案:D(2)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()A.y=x+1B.y=-x2C.y=D.y=x|x|答案:D,一,二,三,二、奇、偶函數(shù)的圖象特征【問(wèn)題思考】1.如果f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且函數(shù)在x=0處有定義,那么f(0)為何值?提示:f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即f(x)為奇函數(shù),故滿足f(-x)=-f(x).因?yàn)閒(x)在x=0處有定義,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.2.若f(x)為奇函數(shù),且點(diǎn)(x,f(x))在其圖象上,則哪一個(gè)點(diǎn)一定在其圖象上?若f(x)為偶函數(shù)呢?提示:若f(x)為奇函數(shù),則點(diǎn)(-x,-f(x))一定在其圖象上;若f(x)為偶函數(shù),則點(diǎn)(-x,f(x))一定在其圖象上.,一,二,三,3.填空.(1)如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù),則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形;反之,如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形,則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).(2)如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù),則它的圖象是以y軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形;反之,如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).名師點(diǎn)撥奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反;若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,則f(x)在區(qū)間[-b,-a]上的最大值為-m,最小值為-M;偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b],[-b,-a](0<a0時(shí),f(x)=x|x-2|,求當(dāng)x0.∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x|x+2|.故當(dāng)x0時(shí)的解析式,則x0時(shí)的解析式,則x<0時(shí)的解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)=f(x)中的x替換為-x,y不變,即得x<0時(shí)的解析式.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,若本例題中題干不變,如何求當(dāng)x≤0時(shí),f(x)的表達(dá)式?解:只需將f(0)單獨(dú)求出.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,所以f(0)=0.又因?yàn)閒(x)=x|x+2|,x<0,所以f(x)=x|x+2|,x≤0.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,奇、偶函數(shù)圖象的應(yīng)用【例3】若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(-∞,0]上是增函數(shù),若f(2)=0,則使f(x)<0的x的取值范圍是()A.(-∞,2)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(2,+∞)解析:由偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上為增函數(shù),且f(2)=0,可知函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為減函數(shù),且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如圖的草圖.由圖可知使f(x)<0的x的取值范圍是(-∞,-2)∪(2,+∞),故選C.答案:C,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.研究函數(shù)圖象時(shí),要注意對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究,這樣可避免作圖的盲目性和復(fù)雜性.2.利用函數(shù)的奇偶性作圖,其依據(jù)是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.因此在研究這類函數(shù)的性質(zhì)(或圖象)時(shí),可通過(guò)研究函數(shù)在y軸一側(cè)的性質(zhì)(或圖象),便可推斷出函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)(或圖象).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練2奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-5,5],它在y軸右側(cè)的圖象如圖所示,則f(x)0;x∈(-2,0)時(shí),f(x)<0,所以使f(x)<0的x的取值集合為{x|-2<x<0,或2<x<5}.答案:{x|-2<x<0,或2<x0,x<0的情況分別說(shuō)明,不能簡(jiǎn)單地比較f(-x)與f(x).,1,2,3,4,5,6,1.下列函數(shù)是偶函數(shù)的為()A.f(x)=x2B.f(x)=xC.f(x)=D.f(x)=x+x3答案:A,1,2,3,4,5,6,2.有下列說(shuō)法:①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交;②若y=f(x)是奇函數(shù),則由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;③既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0,x∈R;④若一個(gè)圖形關(guān)于y軸成軸對(duì)稱,則該圖形一定是偶函數(shù)的圖象.其中不正確的是()A.①②B.①④C.①②④D.①②③④解析:①中可舉反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0處可能無(wú)定義;③中也可以是f(x)=0,x∈A(A為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集);④中該圖形可能不是函數(shù)的圖象.故①②③④均錯(cuò)誤.答案:D,1,2,3,4,5,6,3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,則f(2)=.解析:∵f(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,∴25+523+2b=-18.∴f(2)=25+235+2b-8=-18-8=-26.答案:-26,1,2,3,4,5,6,4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=x-x4;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=.解析:方法一:由于是填空題,故可采用直接代換法,將x用-x代替,即答案為-x-x4.方法二:設(shè)x∈(0,+∞),則-x∈(-∞,0),則f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又y=f(x)是偶函數(shù),∴f(x)=f(-x).∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)表達(dá)式為f(x)=-x-x4.答案:-x-x4,1,2,3,4,5,6,5.函數(shù)f(x)(x∈R),若對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求證:f(x)為奇函數(shù).證明:令a=0,則f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),得f(-x+x)=f(-x)+f(x).即f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)為奇函數(shù).,1,2,3,4,5,6,分析:先判斷f(x)的奇偶性,再根據(jù)圖象特征補(bǔ)全函數(shù)f(x)的圖象;證明f(x)+g(x)=1的關(guān)鍵是先求出g(x)的解析式.,1,2,3,4,5,6,