《2018年高中數學 第二章 函數 2.1 函數 2.1.4 函數的奇偶性 2.1.5 用計算機作函數的圖象（選學）課件 新人教B版必修1.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018年高中數學 第二章 函數 2.1 函數 2.1.4 函數的奇偶性 2.1.5 用計算機作函數的圖象（選學）課件 新人教B版必修1.ppt（32頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2.1.4函數的奇偶性2.1.5用計算機作函數的圖象(選學),一,二,三,一、奇偶函數的定義【問題思考】,提示:y=的定義域為{x|x≠0},經過對一系列互為相反數的x值代入函數式可得:若x的取值互為相反數,則其函數值相等.即對x∈{x|x≠0}總有f(-x)=f(x)成立,我們把這類函數稱為偶函數.(2)你還能得出函數f(x)=x5在x∈R時仍有上述(1)問中的規(guī)律嗎?提示:f(x)=x5滿足的規(guī)律是對x∈R,總有f(-x)=-f(x)成立,我們把這類函數稱為奇函數.2.一個函數具有奇偶性,其定義域有什么特點?提示:一個函數若具有奇偶性,其定義域一定關于原點對稱,這等價于定義中的“對D內的任

2、意一個x,都有-x∈D”這一說法.,一,二,三,3.填寫下表:設函數y=f(x)的定義域為D,如果對D內的任意一個x,都有-x∈D,,,,一,二,三,4.做一做:(1)下列函數是偶函數的為()A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]答案:D(2)下列函數中,既是奇函數又是增函數的為()A.y=x+1B.y=-x2C.y=D.y=x|x|答案:D,一,二,三,二、奇、偶函數的圖象特征【問題思考】1.如果f(x)的圖象關于原點對稱,且函數在x=0處有定義,那么f(0)為何值?提示:f(x)的圖象關于原點對稱,即f(x)為奇函數,

3、故滿足f(-x)=-f(x).因為f(x)在x=0處有定義,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.2.若f(x)為奇函數,且點(x,f(x))在其圖象上,則哪一個點一定在其圖象上?若f(x)為偶函數呢?提示:若f(x)為奇函數,則點(-x,-f(x))一定在其圖象上;若f(x)為偶函數,則點(-x,f(x))一定在其圖象上.,一,二,三,3.填空.(1)如果一個函數是奇函數,則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形;反之,如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形,則這個函數是奇函數.(2)如果一個函數是偶函數,則它的圖象是以y軸為對稱軸的軸對稱圖形;反之,如果一個

4、函數的圖象關于y軸對稱,則這個函數是偶函數.名師點撥奇函數在其對稱區(qū)間上的單調性相同,偶函數在其對稱區(qū)間上的單調性相反;若奇函數f(x)在區(qū)間[a,b](0

5、究一,探究二,探究三,思維辨析,若本例題中題干不變,如何求當x≤0時,f(x)的表達式?解:只需將f(0)單獨求出.因為f(x)是奇函數,且在x=0處有定義,所以f(0)=0.又因為f(x)=x|x+2|,x<0,所以f(x)=x|x+2|,x≤0.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,奇、偶函數圖象的應用【例3】若函數f(x)是定義在R上的偶函數,且在(-∞,0]上是增函數,若f(2)=0,則使f(x)<0的x的取值范圍是()A.(-∞,2)B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(2,+∞)解析:由偶函數f(x)在(-∞,0]上為增函數,且f(2)=0,可知函數f(x)在[0,+

6、∞)上為減函數,且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如圖的草圖.由圖可知使f(x)<0的x的取值范圍是(-∞,-2)∪(2,+∞),故選C.答案:C,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.研究函數圖象時,要注意對函數性質的研究,這樣可避免作圖的盲目性和復雜性.2.利用函數的奇偶性作圖,其依據是奇函數圖象關于原點對稱,偶函數圖象關于y軸對稱.因此在研究這類函數的性質(或圖象)時,可通過研究函數在y軸一側的性質(或圖象),便可推斷出函數在整個定義域上的性質(或圖象).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓練2奇函數f(x)的定義域為[-5,5],它在y軸右側的圖象如圖所示,則f(x)

7、0;x∈(-2,0)時,f(x)<0,所以使f(x)<0的x的取值集合為{x|-2

8、確的是()A.①②B.①④C.①②④D.①②③④解析:①中可舉反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0處可能無定義;③中也可以是f(x)=0,x∈A(A為關于原點對稱的數集);④中該圖形可能不是函數的圖象.故①②③④均錯誤.答案:D,1,2,3,4,5,6,3.若f(x)=x5+5x3+bx-8,且f(-2)=10,則f(2)=.解析:∵f(-2)=(-2)5+5(-2)3+b(-2)-8=10,∴25+523+2b=-18.∴f(2)=25+235+2b-8=-18-8=-26.答案:-26,1,2,3,4,5,6,4.已知函數f(x)是定義在R上的偶函

9、數,當x∈(-∞,0)時,f(x)=x-x4;當x∈(0,+∞)時,f(x)=.解析:方法一:由于是填空題,故可采用直接代換法,將x用-x代替,即答案為-x-x4.方法二:設x∈(0,+∞),則-x∈(-∞,0),則f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.又y=f(x)是偶函數,∴f(x)=f(-x).∴f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的函數表達式為f(x)=-x-x4.答案:-x-x4,1,2,3,4,5,6,5.函數f(x)(x∈R),若對任意實數a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),求證:f(x)為奇函數.證明:令a=0,則f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又令a=-x,b=x,代入f(a+b)=f(a)+f(b),得f(-x+x)=f(-x)+f(x).即f(-x)+f(x)=0,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)為奇函數.,1,2,3,4,5,6,分析:先判斷f(x)的奇偶性,再根據圖象特征補全函數f(x)的圖象;證明f(x)+g(x)=1的關鍵是先求出g(x)的解析式.,1,2,3,4,5,6,