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1、 第三章 不等式 一、選擇題 1．已知x≥，則f(x)＝有( )． A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 2．若x＞0，y＞0，則＋的最小值是( )． A．3 B． C．4 D． 3．設(shè)a＞0，b＞0 則下列不等式中不成立的是( )． A．a(chǎn)＋b＋≥2 B．(a＋b)(＋)≥4 C．≥a＋b D．≥ 4．已知奇函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且f(1)＝0，則不等式＜0的解集為( )． A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞

2、，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1) 5．當(dāng)0＜x＜時(shí)，函數(shù)f(x)＝的最小值為( )． A．2 B． C．4 D． 6．若實(shí)數(shù)a，b滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是( )． A．18 B．6 C．2 D．2 7．若不等式組，所表示的平面區(qū)域被直線y＝kx＋分為面積相等的兩部分，則k的值是( )． A． B． C． D． 8．直線x＋2y＋3＝0上的點(diǎn)P在x－y＝1的上方，且P到直線2x＋y－6＝0的距離為3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )． A．(－5，

3、1) B．(－1，5) C．(－7，2) D．(2，－7) (第9題) 9．已知平面區(qū)域如圖所示，z＝mx＋y(m＞0)在平面區(qū)域內(nèi)取得最優(yōu)解(最大值)有無數(shù)多個(gè)，則m的值為( )． A．－ B． C． D．不存在 10．當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x＋≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )． A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 二、填空題 (x－y＋5)(x＋y)≥0 0≤x≤3 11．不等式組 所表示的平面區(qū)域的面積是 ． x＋2

4、y－3≤0 x＋3y－3≥0， y－1≤0 12．設(shè)變量x，y滿足約束條件 若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y(a＞0)僅在點(diǎn)(3，0)處取得最大值，則a的取值范圍是 ． 13．若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是 ． 14．設(shè)a，b均為正的常數(shù)且x＞0，y＞0，＋＝1，則x＋y的最小值為 ． 15．函數(shù)y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，則＋的最小值為

5、 ． 16．某工廠的年產(chǎn)值第二年比第一年增長的百分率為p1，第三年比第二年增長的百分率為p2，若p1＋p2為定值，則年平均增長的百分率p的最大值為 ． 三、解答題 17．求函數(shù)y＝(x＞－1)的最小值． 18．已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3，2)，且與x軸、y軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程． (第18題) 19．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸，B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5

6、萬元，銷售每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元．該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸，B原料不超過18噸.那么該企業(yè)可獲得最大利潤是多少？ 20．(1)已知x＜，求函數(shù)y＝4x－1＋的最大值； (2)已知x，y∈R＊(正實(shí)數(shù)集)，且＋＝1，求x＋y的最小值； (3)已知a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求的最大值． 參考答案 1．D 解析：由已知f(x)＝＝＝， ∵ x≥，x－2＞0， ∴ ≥·＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝，即x＝3時(shí)取等號(hào)． 2．C 解析：＋ ＝x2＋ ＝＋＋． ∵ x2＋≥2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)

7、x2＝，x＝時(shí)取等號(hào)； ≥2＝1，當(dāng)且僅當(dāng)y2＝，y＝時(shí)取等號(hào)； ≥2＝2(x＞0，y＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)＝，y2＝x2時(shí)取等號(hào)． ∴＋＋≥1＋1＋2＝4，前三個(gè)不等式的等號(hào)同時(shí)成立時(shí)，原式取最小值，故當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)原式取最小值4． 3．D 解析： 方法一：特值法，如取a＝4，b＝1，代入各選項(xiàng)中的不等式，易判斷只有≥不成立． 方法二：可逐項(xiàng)使用均值不等式判斷 A：a＋b＋≥2＋≥2＝2，不等式成立． B：∵ a＋b≥2>0， ＋≥2>0，相乘得 (a＋b)( ＋)≥4成立． C：∵ a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2＝2， 又≤≥，∴≥a＋b 成立

8、． D：∵ a＋b≥2≤，∴≤＝，即≥不成立． 4．D 解析: 因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)， ＜0O y x －1 1 ＜0xf(x)＜0，滿足x與f(x)異號(hào)的x的集合為所求． (第4題) 因?yàn)閒(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且f(1)＝0，畫出f(x)在(0，＋∞)的簡圖如圖，再根據(jù)f(x)是奇函數(shù)的性質(zhì)得到f(x) 在(－∞，0)的圖象． 由f(x)的圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)x∈(－1，0)∪(0，1)時(shí)，x與f(x)異號(hào)． 5．C 解析：由0＜x＜，有sinx＞0，cosx＞0． f(x)＝＝＝＋ ≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即tan x＝

9、時(shí)，取“＝”． ∵ 0＜x＜，∴ 存在x使tan x＝，這時(shí)f(x)min＝4． 6．B 解析：∵ a＋b＝2，故3a＋3b≥2＝2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)． 故3a＋3b的最小值是6． 7．A 解析：不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示陰影部分 △ABC． 由得A(1，1)，又B(0，4)，C(0，)． 由于直線y＝kx＋過點(diǎn)C(0，)，設(shè)它與直線 3x＋y＝4的交點(diǎn)為D， 則由S△BCD＝S△ABC，知D為AB的中點(diǎn)，即xD＝，∴ yD＝， ∴ ＝k×＋，k＝． 8．A 解析：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則 解得 ∴ 點(diǎn)

10、P坐標(biāo)是(－5，1)． 9．B 解析：當(dāng)直線mx＋y＝z與直線AC平行時(shí)，線段AC上的每個(gè)點(diǎn)都是最優(yōu)解． ∵ kAC＝＝－， ∴ －m＝－，即m＝． 10．D 解析：由x＋＝(x－1)＋＋1， ∵ x＞1，∴ x－1＞0，則有(x－1)＋＋1≥2＋1＝3， 則a≤3． 二、填空題 (第11題) 11．24． 解析：不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0可轉(zhuǎn)化為兩個(gè) 二元一次不等式組． (x－y＋5)(x＋y)≥0 0≤x≤3 x－y＋5≤0 x＋ y≤0 0≤x≤3 x－y＋5≥0 x＋y≥0 0≤x≤3 或 這兩

11、個(gè)不等式組所對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積之和為所求．第一個(gè)不等式組所對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖，而第二個(gè)不等式組所對(duì)應(yīng)的區(qū)域不存在． 圖中A(3，8)，B(3，－3)，C(0，5)，陰影部分的面積為＝24． 12．． 解析：若z＝ax＋y(a＞0)僅在點(diǎn)(3，0)處取得最大值，則直線z＝ax＋y的傾斜角一定小于直線x＋2y－3＝0的傾斜角，直線z＝ax＋y的斜率就一定小于直線x＋2y－3＝0的斜率，可得：－a＜－，即a＞． 13．a(chǎn)b≥9． 解析：由于a，b均為正數(shù)，等式中含有ab和a＋b這個(gè)特征，可以設(shè)想使用≥構(gòu)造一個(gè)不等式． ∵ ab＝a＋b＋3≥＋3，即ab≥＋3(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等號(hào)成立)， ∴

12、()2－－3≥0， ∴ (－3)(＋1)≥0，∴≥3，即ab≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)等號(hào)成立)． 14．(＋)2． 解析：由已知，均為正數(shù)， ∴ x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋＝a＋b＋2， 即x＋y≥(＋)2，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)． 15．8． 解析：因?yàn)閥＝loga x的圖象恒過定點(diǎn)(1，0)，故函數(shù)y＝loga(x＋3)－1的圖象恒過定點(diǎn)A(－2，－1)，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線方程得m(－2)＋n(－1)＋1＝0，即2m＋n＝1，而由mn＞0知，均為正， ∴ ＋＝(2m＋n)(＋)＝4＋＋≥4＋＝8，當(dāng)且僅當(dāng) 即 時(shí)取等號(hào)． 16．． 解

13、析：設(shè)該廠第一年的產(chǎn)值為a，由題意，a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)，且1＋p1＞0， 1＋p2＞0， 所以a(1＋p)2＝a(1＋p1)(1＋p2)≤a＝a，解得 p≤，當(dāng)且僅當(dāng)1＋p1＝1＋p2，即p1＝p2時(shí)取等號(hào)．所以p的最大值是． 三、解答題 17．解：令x＋1＝t＞0，則x＝t－1， y＝＝＝t＋＋5≥＋5＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)t＝，即t＝2，x＝1時(shí)取等號(hào)，故x＝1時(shí)，y取最小值9． 18．解：因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P(3，2)且與x軸y軸都相交， x O A y P(3,2) B (第18題) 故其斜率必存在且小于0．設(shè)直線l的斜率為k， 則l的

14、方程可寫成y－2＝k(x－3)，其中k＜0． 令x＝0，則y＝2－3k；令y＝0，則x＝－＋3． S△AOB＝(2－3k)(－＋3)＝≥＝12，當(dāng)且僅當(dāng)(－9k)＝(－)，即k＝－時(shí)，S△AOB有最小值12，所求直線方程為 y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0． (第18題) 19．解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品噸，則有關(guān)系： A原料用量 B原料用量 甲產(chǎn)品x噸 3x 2x 乙產(chǎn)品y噸 y 3y 則有，目標(biāo)函數(shù)z＝5x＋3y 作出可行域后求出可行域邊界上各端點(diǎn)的坐標(biāo)，可知 當(dāng)x＝3，y＝4時(shí)可獲得最大利潤為27萬元. 20．解：(1)∵ x＜，∴ 4x－5＜0，故5－4x＞0． y＝4x－1＋＝－(5－4x＋)＋4． ∵ 5－4x＋≥＝2， ∴ y≤－2＋4＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1或x＝(舍)時(shí)，等號(hào)成立， 故當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝2． (2)∵ x＞0，y＞0，＋＝1， ∴ x＋y＝(＋)(x＋y)＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16． 當(dāng)且僅當(dāng)＝，且＋＝1，即時(shí)等號(hào)成立， ∴ 當(dāng)x＝4，y＝12時(shí)，(x＋y)min＝16． (3)a＝a＝·a≤＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝，b＝時(shí)，a有最大值． 第 12 頁 共 12 頁