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1、自動(dòng)控制原理課后答案1 請(qǐng)解釋下列名字術(shù)語(yǔ)：自動(dòng)控制系統(tǒng)、受控對(duì)象、擾動(dòng)、給定值、參考輸入、反饋。解：自動(dòng)控制系統(tǒng)：能夠?qū)崿F(xiàn)自動(dòng)控制任務(wù)的系統(tǒng)，由控制裝置與被控對(duì)象組成；受控對(duì)象：要求實(shí)現(xiàn)自動(dòng)控制的機(jī)器、設(shè)備或生產(chǎn)過程擾動(dòng)：擾動(dòng)是一種對(duì)系統(tǒng)的輸出產(chǎn)生不利影響的信號(hào)。如果擾動(dòng)產(chǎn)生在系統(tǒng)內(nèi)部稱為內(nèi)擾；擾動(dòng)產(chǎn)生在系統(tǒng)外部，則稱為外擾。外擾是系統(tǒng)的輸入量。給定值：受控對(duì)象的物理量在控制系統(tǒng)中應(yīng)保持的期望值參考輸入即為給定值。反饋：將系統(tǒng)的輸出量饋送到參考輸入端，并與參考輸入進(jìn)行比較的過程。2 請(qǐng)說明自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本組成部分。解： 作為一個(gè)完整的控制系統(tǒng)，應(yīng)該由如下幾個(gè)部分組成： 被控對(duì)象： 所謂被控

2、對(duì)象就是整個(gè)控制系統(tǒng)的控制對(duì)象； 執(zhí)行部件： 根據(jù)所接收到的相關(guān)信號(hào)，使得被控對(duì)象產(chǎn)生相應(yīng)的動(dòng)作；常用的執(zhí)行元件有閥、電動(dòng)機(jī)、液壓馬達(dá)等。 給定元件： 給定元件的職能就是給出與期望的被控量相對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)輸入量（即參考量）； 比較元件： 把測(cè)量元件檢測(cè)到的被控量的實(shí)際值與給定元件給出的參考值進(jìn)行比較，求出它們之間的偏差。常用的比較元件有差動(dòng)放大器、機(jī)械差動(dòng)裝置和電橋等。 測(cè)量反饋元件：該元部件的職能就是測(cè)量被控制的物理量，如果這個(gè)物理量是非電量，一般需要將其轉(zhuǎn)換成為電量。常用的測(cè)量元部件有測(cè)速發(fā)電機(jī)、熱電偶、各種傳感器等； 放大元件： 將比較元件給出的偏差進(jìn)行放大，用來(lái)推動(dòng)執(zhí)行元件去控制被控對(duì)象。

3、如電壓偏差信號(hào)，可用電子管、晶體管、集成電路、晶閘管等組成的電壓放大器和功率放大級(jí)加以放大。 校正元件： 亦稱補(bǔ)償元件，它是結(jié)構(gòu)或參數(shù)便于調(diào)整的元件，用串聯(lián)或反饋的方式連接在系統(tǒng)中，用以改善系統(tǒng)的性能。常用的校正元件有電阻、電容組成的無(wú)源或有源網(wǎng)絡(luò)，它們與原系統(tǒng)串聯(lián)或與原系統(tǒng)構(gòu)成一個(gè)內(nèi)反饋系統(tǒng)。3 請(qǐng)說出什么是反饋控制系統(tǒng)，開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？解：反饋控制系統(tǒng)即閉環(huán)控制系統(tǒng)，在一個(gè)控制系統(tǒng)，將系統(tǒng)的輸出量通過某測(cè)量機(jī)構(gòu)對(duì)其進(jìn)行實(shí)時(shí)測(cè)量，并將該測(cè)量值與輸入量進(jìn)行比較，形成一個(gè)反饋通道，從而形成一個(gè)封閉的控制系統(tǒng)；開環(huán)系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)：結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)：控制的精度較差；閉環(huán)控制系統(tǒng)優(yōu)點(diǎn)

4、：控制精度高，缺點(diǎn)：結(jié)構(gòu)復(fù)雜、設(shè)計(jì)分析麻煩，制造成本高。4 請(qǐng)說明自動(dòng)控制系統(tǒng)的基本性能要求。解：（1）穩(wěn)定性：對(duì)恒值系統(tǒng)而言，要求當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，經(jīng)過一定時(shí)間的調(diào)整能夠回到原來(lái)的期望值。而對(duì)隨動(dòng)系統(tǒng)而言，被控制量始終跟蹤參考量的變化。穩(wěn)定性通常由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)決定的，與外界因素?zé)o關(guān)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性是對(duì)系統(tǒng)的基本要求，不穩(wěn)定的系統(tǒng)不能實(shí)現(xiàn)預(yù)定任務(wù)。 （2）準(zhǔn)確性：控制系統(tǒng)的準(zhǔn)確性一般用穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)表示。即系統(tǒng)在參考輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)的輸出達(dá)到穩(wěn)態(tài)后的輸出與參考輸入所要求的期望輸出之差叫做給定穩(wěn)態(tài)誤差。顯然，這種誤差越小，表示系統(tǒng)的輸出跟隨參考輸入的精度越高。（3）快速性：對(duì)過渡過程的形式和快慢的要

5、求，一般稱為控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。系統(tǒng)的快速性主要反映系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的變化而作出相應(yīng)的快慢程度，如穩(wěn)定高射炮射角隨動(dòng)系統(tǒng)，雖然炮身最終能跟蹤目標(biāo)，但如果目標(biāo)變動(dòng)迅速，而炮身行動(dòng)遲緩，仍然抓不住目標(biāo)。圖2-1 習(xí)題2-1 質(zhì)量彈簧摩擦系統(tǒng)示意圖2-1 設(shè)質(zhì)量-彈簧-摩擦系統(tǒng)如圖2-1所示，途中為黏性摩擦系數(shù)，為彈簧系數(shù)，系統(tǒng)的輸入量為力，系統(tǒng)的輸出量為質(zhì)量的位移。試列出系統(tǒng)的輸入輸出微分方程。解：顯然，系統(tǒng)的摩擦力為，彈簧力為，根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律有移項(xiàng)整理，得系統(tǒng)的微分方程為圖2-2 習(xí)題2-2 機(jī)械系統(tǒng)示意圖2-2 試列寫圖2-2所示機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。解：由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，不計(jì)重力時(shí)，

6、得整理得2-3 求下列函數(shù)的拉氏變換。（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）2-4 求下列函數(shù)的拉氏反變換（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）2-5 試分別列寫圖2-3中各無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的微分方程（設(shè)電容上的電壓為，電容上的電壓為，以此類推）。 圖2-3 習(xí)題2-5 無(wú)源網(wǎng)絡(luò)示意圖解：（a）設(shè)電容上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為（b）設(shè)電容、上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為（c）設(shè)電阻上電壓為，兩電容上電壓為，由基爾霍夫定律可寫出回路方程為 （1） （2） （3） （4）（2）代入（4）并整理得 （5）（1）、（2）代

7、入（3）并整理得兩端取微分，并將（5）代入，整理得輸入輸出關(guān)系的微分方程為2-6 求圖2-4中各無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。 圖2-4 習(xí)題2-6示意圖解：（a）由圖得 （1） （2）（2）代入（1），整理得傳遞函數(shù)為（b）由圖得 （1） （2） 整理得傳遞函數(shù)為（c）由圖得 （1） （2） （3） （4）整理得傳遞函數(shù)為圖2-5 習(xí)題2-7 無(wú)源網(wǎng)絡(luò)示意圖2-7 求圖2-5中無(wú)源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：由圖得整理得2-8 試簡(jiǎn)化圖2-6中所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)和。解：（a）求傳遞函數(shù)，按下列步驟簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖：圖2-6 習(xí)題2-8 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖示意圖 令，利用反饋運(yùn)算簡(jiǎn)化如圖2-8a所示圖2-8a 串聯(lián)

8、等效如圖2-8b所示 圖2-8b根據(jù)反饋運(yùn)算可得傳遞函數(shù)求傳遞函數(shù)，按下列步驟簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖：令，重畫系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-8c所示 圖2-8c 將輸出端的端子前移，并將反饋運(yùn)算合并如圖2-8d所示 圖2-9d和串聯(lián)合并，并將單位比較點(diǎn)前移如圖2-8e所示 圖2-8e串并聯(lián)合并如圖2-8f所示圖2-8f根據(jù)反饋和串聯(lián)運(yùn)算，得傳遞函數(shù)（b）求傳遞函數(shù)，按下列步驟簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖：將的引出端前移如圖2-8g所示 圖2-8g合并反饋、串聯(lián)如圖2-8h所示 圖2-8h 將的引出端前移如圖2-8i所示 圖2-8i 合并反饋及串聯(lián)如圖2-8j所示 圖2-8j根據(jù)反饋運(yùn)算得傳遞函數(shù)圖2-7 習(xí)題2-9 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖示意圖習(xí)

9、題2-4 無(wú)源網(wǎng)絡(luò)示意圖2-9 試簡(jiǎn)化圖2-7中所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)。解：求傳遞函數(shù)，按下列步驟簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖： 將的引出端前移如圖2-9a所示 圖2-9a 合并反饋及串聯(lián)如圖2-9b所示 圖2-9b 合并反饋、串聯(lián)如圖2-9c所示 圖2-9c根據(jù)反饋運(yùn)算，得傳遞函數(shù)2-10 根據(jù)圖2-6給出的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，畫出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖，并用梅森公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)和。解：（a）根據(jù)結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用節(jié)點(diǎn)代替結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)線上傳遞的信號(hào)，用標(biāo)有傳遞函數(shù)的之路代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。如圖2-10a所示。 圖2-10a（1）令，求系統(tǒng)傳遞函數(shù) 由信號(hào)流圖2-10a可見，從

10、源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)之間，有一條前向通路，其增益為有三個(gè)相互接觸的單獨(dú)回路，其回路增益分別為，與互不接觸流圖特征式由于前向通路與所有單獨(dú)回路都接觸，所以余因子式根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（2）令，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)?由信號(hào)流圖2-10a可見，從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)之間，有兩條前向通路，其增益為，有兩個(gè)相互接觸的單獨(dú)回路，其回路增益分別為，沒有互不接觸的回路，所以流圖特征式為由于前向通路與所有單獨(dú)回路都接觸，所以余因子式，根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（b）根據(jù)結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用節(jié)點(diǎn)代替結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)線上傳遞的信號(hào)，用標(biāo)有傳遞函數(shù)的之路代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖

11、。如圖2-10b所示。 圖2-10b求系統(tǒng)傳遞函數(shù)由信號(hào)流圖2-10b可見，從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)之間，有一條前向通路，其增益為有三個(gè)相互接觸的單獨(dú)回路，其回路增益分別為，與互不接觸流圖特征式為由于前向通路與所有單獨(dú)回路都接觸，所以余因子式 根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為2-11 根據(jù)圖2-7給出的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，畫出該系統(tǒng)的信號(hào)流圖，并用梅森公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：根據(jù)結(jié)構(gòu)圖與信號(hào)流圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用節(jié)點(diǎn)代替結(jié)構(gòu)圖中信號(hào)線上傳遞的信號(hào)，用標(biāo)有傳遞函數(shù)的之路代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，可以繪出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖。如圖2-11a所示 圖2-11a由信號(hào)流圖2-11a可見，從源節(jié)點(diǎn)到阱節(jié)點(diǎn)之間，有一條前向通路

12、，其增益為有三個(gè)相互接觸的單獨(dú)回路，其回路增益分別為，沒有互不接觸回路。因此，流圖特征式由于前向通路與所有單獨(dú)回路都接觸，所以余因子式根據(jù)梅森增益公式，得系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為3-2 已知各系統(tǒng)得脈沖響應(yīng)，試求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：（1）；（2）；（3）。 解：（1）（2） （3）3-3 已知二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為，試求系統(tǒng)的超調(diào)量，峰值時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間。解： 由上式可知，此二階系統(tǒng)的放大系數(shù)是10，但放大系數(shù)并不影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。由于標(biāo)準(zhǔn)的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)表達(dá)式為所以有 解上述方程組，得所以，此系統(tǒng)為欠阻尼二階系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如下 超調(diào)量 峰值時(shí)間 調(diào)節(jié)時(shí)間 3-4 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)

13、的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求系統(tǒng)在單位階躍輸入下的動(dòng)態(tài)性能。解題過程：由題意可得系統(tǒng)得閉環(huán)傳遞函數(shù)為其中。這是一個(gè)比例微分控制二階系統(tǒng)。 比例微分控制二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 故顯然有 此系統(tǒng)得動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)為 峰值時(shí)間 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時(shí)間 3-5 已知控制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為，試確定系統(tǒng)的阻尼比和自然頻率。解： 系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為自然頻率 阻尼比 3-6 已知系統(tǒng)特征方程為，試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)和赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：先用勞斯穩(wěn)定判據(jù)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，列出勞斯表如下顯然，由于表中第一列元素得符號(hào)有兩次改變，所以該系統(tǒng)在右半平面有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)。因此，該系統(tǒng)不穩(wěn)定。再用

14、赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。顯然，特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，則 顯然，此系統(tǒng)不穩(wěn)定。3-7 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定義為多大值時(shí)，特使系統(tǒng)振蕩，并求出振蕩頻率。解： 由題得，特征方程是列勞斯表由題意，令所在行為零得由行得 解之得 ，所以振蕩角頻率為 3-8 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的值范圍。解：由題可知系統(tǒng)的特征方程為列勞斯表如下 由勞斯穩(wěn)定判據(jù)可得解上述方程組可得 3-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-1所示，定義誤差，(1) 若希望圖a中，系統(tǒng)所有的特征根位于平面上的左側(cè)，且阻尼比為0.5，求滿足條件的的取值范圍。(2) 求圖a系統(tǒng)的單位

15、斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。(3) 為了使穩(wěn)態(tài)誤差為零，讓斜坡輸入先通過一個(gè)比例微分環(huán)節(jié)，如圖b所示，試求出合適的值。 (a) (b)圖3-1 習(xí)題3-9 示意圖 解：（1）閉環(huán)傳遞函數(shù)為 即，代入上式得，列出勞斯表， (2) ，系統(tǒng)為I型系統(tǒng) (3)并沒有改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3-10 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)： （1）；（2）試求輸入分別為和時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：（1）由上式可知，該系統(tǒng)是型系統(tǒng)，且。型系統(tǒng)在信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：。根據(jù)線性疊加原理有該系統(tǒng)在輸入為時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為，該系統(tǒng)在輸入為時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為 （2） 由上式可知，該系統(tǒng)是型系統(tǒng)，且。型系統(tǒng)在信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差分別為：。

16、根據(jù)線性疊加原理有該系統(tǒng)在輸入為時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為，該系統(tǒng)在輸入為時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差為3-11已知閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為誤差定義為。試證，（1） 系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為（2）系統(tǒng)在斜坡信號(hào)輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件為（3）推導(dǎo)系統(tǒng)在斜坡信號(hào)輸入下穩(wěn)態(tài)誤差為零的充分條件 （4）求出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)與系統(tǒng)型別之間的關(guān)系解：（1） 滿足終值定理的條件， 即證 （2） 滿足終值定理的條件， 即證(3) 對(duì)于加速度輸入，穩(wěn)態(tài)誤差為零的必要條件為同理可證（4）系統(tǒng)型別比閉環(huán)函數(shù)分子最高次冪大1次。3-12 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：（1）；（2）；（3）試求位置誤差系數(shù)，速度誤

17、差系數(shù)，加速度誤差系數(shù)。解：（1） 此系統(tǒng)是一個(gè)型系統(tǒng)，且。故查表可得，（2） 根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得 （3） 根據(jù)誤差系數(shù)的定義式可得3-13設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 輸入信號(hào)為 其中, , , i, , 均為正數(shù)，a和b為已知正常數(shù)。如果要求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差, 其中, 試求系統(tǒng)各參數(shù)滿足的條件。解：首先系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為式中，,為系統(tǒng)的開環(huán)增益，各參數(shù)滿足： , 即穩(wěn)定條件為 由于本例是I型系統(tǒng)，其, ,故在作用下，其穩(wěn)態(tài)誤差 必有 于是，即能保證系統(tǒng)穩(wěn)定，又滿足對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差要求的各參數(shù)之間的條件為 3-14 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為。試用動(dòng)態(tài)誤差系數(shù)法

18、求出當(dāng)輸入信號(hào)分別為時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為所以有對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換可得 （1）當(dāng)時(shí)，顯然有 將上述三式代入（1）式，可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 3-15 假設(shè)可用傳送函數(shù)描述溫度計(jì)的特性，現(xiàn)在用溫度計(jì)測(cè)量盛在容器內(nèi)的水溫，需要一分鐘時(shí)間才能指出實(shí)際水溫的的數(shù)值。如果給容器加熱，使水溫依的速度線性變化，問溫度計(jì)的穩(wěn)態(tài)誤差有多大?解：由題意，該一階系統(tǒng)得調(diào)整時(shí)間，但，所以。系統(tǒng)輸入為，可推得因此可得 的穩(wěn)態(tài)分量為穩(wěn)態(tài)誤差為 所以，穩(wěn)態(tài)誤差為3-16如圖3-2所示的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，誤差在輸入端定義，擾動(dòng)輸入.(1) 試求時(shí)，系統(tǒng)在擾動(dòng)輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出和穩(wěn)態(tài)誤差。(2) 若, 其結(jié)

19、果又如何？(3) 在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)，對(duì)其結(jié)果有何影響？在擾動(dòng)作用點(diǎn)之后的前向通道中引入積分環(huán)節(jié)，對(duì)其結(jié)果又有何影響？ 圖3-2 習(xí)題 3-16 示意圖解：令 ，則 代入 得 令，得擾動(dòng)作用下的輸出表達(dá)式： 此時(shí)的誤差表達(dá)式為：若在s 右半平面上解析，則有 在擾動(dòng)輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出為 代入的表達(dá)式，可得 （1） 當(dāng)時(shí)，（2） 當(dāng)時(shí)， 可見，開環(huán)增益的減小將導(dǎo)致擾動(dòng)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的增大，且穩(wěn)態(tài)誤差的絕對(duì)值也增大。（3） 若加在擾動(dòng)之前，則 得 若加在擾動(dòng)之后，則 可見在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通路中加入積分環(huán)節(jié)，可以消除階躍輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差。3-17 設(shè)隨動(dòng)系統(tǒng)的微分方程為

20、： 其中，為系統(tǒng)輸出量，為系統(tǒng)輸入量，為電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)，為電動(dòng)機(jī)電磁時(shí)間常數(shù)，為系統(tǒng)開環(huán)增益。初始條件全部為零，試討論：（1） 、與之間關(guān)系對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響（2） 當(dāng), , 時(shí)，可否忽略的影響？在什么影響下的影響可以忽略？解：（1）對(duì)系統(tǒng)微分方程在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程 當(dāng) 均為正值時(shí)，且有 即 時(shí) 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）由于，因此只有當(dāng) 閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定，顯然，對(duì)于, 閉環(huán)不穩(wěn)定。此時(shí)若略去, 閉環(huán)特征方程為 上式中各項(xiàng)系數(shù)為正，從而得到得出閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的錯(cuò)誤結(jié)論。如果 。如果，則略去不會(huì)影響閉環(huán)穩(wěn)定性。 對(duì)于本例，當(dāng)時(shí)，不能忽略對(duì)穩(wěn)定性的影響，否則可以忽略。3-18

21、 設(shè)計(jì)題飛機(jī)的自動(dòng)控制，是一個(gè)需要多變量反饋方式的例子。在該系統(tǒng)中，飛機(jī)的飛行姿態(tài)由三組翼面決定，分別是：升降舵，方向舵和副翼，如附圖3-3(a)所示。飛行員通過操縱這三組翼面，可以使飛機(jī)按照既定的路線飛行。這里所要討論的自動(dòng)駕駛儀是一個(gè)自動(dòng)控制系統(tǒng)，它通過調(diào)節(jié)副翼表面來(lái)控制傾角，只要使副翼表面產(chǎn)生一個(gè)的變形，氣壓在這些表面上會(huì)產(chǎn)生一個(gè)扭矩，使飛機(jī)產(chǎn)生側(cè)滾。圖3-3（a） 飛機(jī)副翼模型圖飛機(jī)副翼是由液壓操縱桿來(lái)控制的，后者的傳遞函數(shù)為。測(cè)量實(shí)際的傾角，并與輸入設(shè)定值進(jìn)行比較，其差值被用來(lái)驅(qū)動(dòng)液壓操縱桿，而液壓操縱桿則反過來(lái)又會(huì)引起副翼表面產(chǎn)生變形。為簡(jiǎn)單化起見，這里假定飛機(jī)的側(cè)滾運(yùn)動(dòng)與其他運(yùn)動(dòng)

22、無(wú)關(guān)，其結(jié)構(gòu)圖如圖3-3(b)所示，又假定，且角速率由速率陀螺將其值進(jìn)行反饋，期望的階躍響應(yīng)的超調(diào)量，調(diào)節(jié)時(shí)間(以的標(biāo)準(zhǔn))，試選擇合適的和值。圖3-3（b） 飛機(jī)控制傾角結(jié)構(gòu)圖解：由于過阻尼響應(yīng)緩慢，故通常不希望采用過阻尼系統(tǒng)，在本題中欠阻尼因此，計(jì)算可得又因，由題計(jì)算可得，故圖4-1 習(xí)題4-1系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖4-1 已知系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)分布如圖4-1所示，試?yán)L制相應(yīng)的根軌跡圖。解：圖4-1a根軌跡圖（a）根軌跡的漸近線條數(shù)為（b）根軌跡的漸近線條數(shù)為（c）根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾斜角為，（d）根軌跡的漸近線條數(shù)為（e）根軌跡的漸近線條數(shù)為（f）根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾斜角為4

23、-2 已知單位反饋控制系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)為：(1) (2) (3) (4) ，畫出各系統(tǒng)的根軌跡圖。解：（1）按下列步驟繪制根軌跡： 系統(tǒng)開環(huán)有限零點(diǎn)為；開環(huán)有限極點(diǎn)為實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-2a所示 圖4-2a 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡圖（2）按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)沒有開環(huán)有限零點(diǎn)；開環(huán)有限極點(diǎn)為實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為分離點(diǎn)方程為解得分離點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-2b所示 圖4-2b（3）按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)沒有開環(huán)有限零點(diǎn)；開環(huán)有限極點(diǎn)為 實(shí)軸上根軌跡區(qū)

24、間為 根軌跡的漸近線條數(shù)為，根軌跡的起始角：復(fù)數(shù)開環(huán)有限極點(diǎn)處，分離點(diǎn)方程為解得分離點(diǎn)檢查時(shí)，時(shí)，皆為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的分離點(diǎn)。確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列寫勞斯表當(dāng)時(shí)，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為解得根軌跡與虛軸交點(diǎn)為。根軌跡如下圖4-2c所示： 圖4-2c（4）按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)有限零點(diǎn)為；開環(huán)有限極點(diǎn)為，實(shí)軸上根軌跡區(qū)間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，分離點(diǎn)方程為解得分離點(diǎn)根軌跡如下圖4-2d所示： 圖4-2d圖4-2 習(xí)題4-3系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖4-3 給定系統(tǒng)如圖4-2所示，試畫出系統(tǒng)的根軌跡，并分析增益對(duì)系統(tǒng)阻尼特性的影響。解：（1）作系統(tǒng)的根軌跡。開環(huán)傳遞函數(shù)為開

25、環(huán)極點(diǎn)為和，開環(huán)零點(diǎn)為和。所以實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為和。分離點(diǎn)方程得分離點(diǎn)檢查時(shí)，時(shí)，可得到根軌跡如下圖4-3a所示 圖4-3a（2）分析增益對(duì)阻尼特性的影響。從根軌跡圖可以看出，對(duì)于任意，閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定的，但阻尼狀況不同。增益較小時(shí)（）系統(tǒng)過阻尼；增益很大時(shí)（），系統(tǒng)過阻尼；增益中等時(shí)（），系統(tǒng)欠阻尼。圖4-3 習(xí)題4-4系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖4-4 給定控制系統(tǒng)如圖4-3所示， ，試用系統(tǒng)的根軌跡圖確定，速度反饋增益為何值時(shí)能使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)阻尼比等于。解：（1）求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并劃成標(biāo)準(zhǔn)形式。通過方塊圖變換或代數(shù)運(yùn)算可以求得單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)因?yàn)榭勺儏?shù)不是分子多項(xiàng)式的相乘因子，所以先求系

26、統(tǒng)的閉環(huán)特征方程改寫為即，上述閉環(huán)特征方程也相當(dāng)于開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程。（2）根據(jù)作出根軌跡圖。有兩個(gè)極點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)，所以負(fù)實(shí)軸是根軌跡，而且其上有分離點(diǎn)。將閉環(huán)特征方程改寫為由可以求得，其中在根軌跡上，對(duì)應(yīng)增益為，故是實(shí)軸上的分離點(diǎn)。根軌跡如圖4-4a所示。 圖4-4a（3）求反饋增益。首先要確定閉環(huán)極點(diǎn)。設(shè)途中虛線代表，則閉環(huán)極點(diǎn)為根軌跡和該虛線的交點(diǎn)，由可得。設(shè)列出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的輻角條件經(jīng)整理得兩邊同取正切，整理得解得，。所以該閉環(huán)極點(diǎn)為。再由得速度反饋增益為。4-5 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：。要求系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，其阻尼比為。試確定開環(huán)增益，并近似分

27、析系統(tǒng)的時(shí)域性能。解：根據(jù)繪制常規(guī)根軌跡的基本法則，作系統(tǒng)的概略根軌跡如圖4-5a所示。 圖4-5a欲確定，需先確定共軛復(fù)極點(diǎn)。設(shè)復(fù)極點(diǎn)為根據(jù)阻尼比的要求，應(yīng)保證在圖上作的阻尼線，并得到初始試探點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此求得縱坐標(biāo)。在處檢查相角條件不滿足相角條件；修正，則，點(diǎn)處的相角為；再取，則，點(diǎn)處的相角為。因此共軛復(fù)極點(diǎn)。由模值條件求得運(yùn)用綜合除法求得另一閉環(huán)極點(diǎn)為。共軛復(fù)極點(diǎn)的實(shí)部與實(shí)極點(diǎn)的實(shí)部之比為，因此可視共軛復(fù)極點(diǎn)為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似表示為并可近似地用典型二階系統(tǒng)估算系統(tǒng)的時(shí)域性能4-6 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出系統(tǒng)的根軌跡圖，并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)K的取值

28、范圍。解：由題得開環(huán)極點(diǎn)：和開環(huán)零點(diǎn)：分離、會(huì)合點(diǎn)：從平面的零點(diǎn)、極點(diǎn)分布可知在區(qū)間內(nèi)可能有分離、會(huì)合點(diǎn)。記由，可得經(jīng)整理后得到用試探法或程序算得區(qū)間內(nèi)的一個(gè)根為，它就是實(shí)軸上的分離點(diǎn)。根軌跡自復(fù)數(shù)極點(diǎn)的出射角：根軌跡趨向復(fù)數(shù)零點(diǎn)的入射角：根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為令，可得由第二式得，代入第一式，得 解得根據(jù)以上數(shù)據(jù)畫根軌跡圖，如圖4-6a所示。 圖4-6a 根軌跡圖再分析系統(tǒng)得穩(wěn)定情況：根軌跡與虛軸第一個(gè)交點(diǎn)的頻率為 ，利用幅值條件可以計(jì)算出對(duì)應(yīng)的增益同樣可以算得與和對(duì)應(yīng)的增益參看根軌跡圖可知：系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)的取值范圍為：或4-7 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：的變化范圍是，試畫出系

29、統(tǒng)的根軌跡圖。解：按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)沒有開環(huán)有限零點(diǎn)；開環(huán)有限極點(diǎn)為實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為 分離點(diǎn)方程為 解得分離點(diǎn)閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-7a所示 圖4-7a4-8 已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試畫出和同時(shí)變化的根軌跡簇。解：（1）列寫閉環(huán)特征方程。閉環(huán)特征方程為（2）畫，從到的根軌跡。時(shí)閉環(huán)特征方程為。這相當(dāng)于一個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)。它的根軌跡是與虛軸重合的直線。見圖4-8a中由圓圈構(gòu)成的根軌跡。（3）畫為常數(shù)，從到的根軌跡。給定，則閉環(huán)特征方程為它相當(dāng)于一個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)，該系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)為，開環(huán)零點(diǎn)為。圖4-

30、8a中不帶圓圈的根軌跡是時(shí)的根軌跡。 圖4-8a4-9 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：的變化范圍是，試畫出系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 即有等效開環(huán)傳遞函數(shù)為，變化范圍為按照繪制常規(guī)根軌跡的基本法則確定根軌跡的各項(xiàng)參數(shù)：（1）等效系統(tǒng)無(wú)開環(huán)有限零點(diǎn)；開環(huán)有限極點(diǎn)為：（2）實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為（3）根軌跡有3條漸近線，且（4）根軌跡的分離點(diǎn)：由分離點(diǎn)方程 解得（5）根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：根據(jù)閉環(huán)特征方程列寫勞斯表如下： 當(dāng)時(shí)，勞斯表的行元素全為零，輔助方程為解得繪制系統(tǒng)參數(shù)根軌跡如圖4-9a所示 圖4-9a4-10 已知反饋控制系統(tǒng)中，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：(1) 繪制時(shí)的閉環(huán)根軌跡概

31、略圖；(2) 繪制時(shí)的閉環(huán)根軌跡概略圖；(3) 比較開環(huán)零點(diǎn)變化對(duì)根軌跡形狀的影響。解：（1）開環(huán)傳遞函數(shù)按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)有限零點(diǎn)為；開環(huán)有限極點(diǎn)為，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-10a所示 圖4-10a根軌跡圖（2）開環(huán)傳遞函數(shù)按下列步驟繪制根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)有限零點(diǎn)為，；開環(huán)有限極點(diǎn)為，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為 和 根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡如下圖4-10b所示 圖4-10b根軌跡圖4-11 給定控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分取何

32、值時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解：（1）求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程并化成標(biāo)準(zhǔn)的形式。因?yàn)榭勺儏?shù)不是分子多項(xiàng)式的相乘因子，所以先求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可改寫為則開環(huán)傳遞函數(shù)為（2）根據(jù)作系統(tǒng)的根軌跡。中的增益為負(fù)值，所以要作系統(tǒng)的補(bǔ)根軌跡。開環(huán)極點(diǎn)為和，開環(huán)零點(diǎn)為。按照補(bǔ)根軌跡的作圖規(guī)則，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為和。在 區(qū)間有會(huì)合點(diǎn)，在有分離點(diǎn)。為求分離、會(huì)合點(diǎn)，將閉環(huán)特征方程改寫為由，得，解得，分別對(duì)應(yīng)的增益為和，所以是分離、會(huì)合點(diǎn)?？梢宰C明，不在實(shí)軸上的根軌跡是一個(gè)圓，圓心在，半徑為。以為參變量的根軌跡如圖4-11a所示， 圖4-11a圖中箭頭表示從到的方向，也即從到的方向。（3）求使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的取值范圍。首先

33、求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。由閉環(huán)特征方程可知，時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，這相當(dāng)于，所以使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍為。4-12 實(shí)系參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)為：欲使的根均為實(shí)數(shù)，試確定參數(shù)的范圍。解：對(duì)作等效變換得等效開環(huán)函數(shù)為當(dāng)時(shí)，需繪制常規(guī)根軌跡：系統(tǒng)開環(huán)有限零點(diǎn)為；開環(huán)有限極點(diǎn)為，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為和根軌跡有2條漸近線，且；由分離點(diǎn)方程在實(shí)軸區(qū)間內(nèi)用試探法求得。繪制根軌跡圖，如圖4-12a所示。當(dāng)時(shí)，需繪制零度根軌跡。實(shí)軸上，零度根軌跡區(qū)間為(-,-3，-2,-1和0,+。作零度根軌跡圖，如圖4-12b所示。當(dāng)多項(xiàng)式有根時(shí)，根據(jù)模值條件得根據(jù)常規(guī)根軌跡圖，知當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的根皆為實(shí)數(shù)；根據(jù)零度根軌跡圖，知當(dāng)時(shí)，

34、多項(xiàng)式的根亦全為實(shí)數(shù)。因此所求參數(shù)的范圍為。 圖4-12a 常規(guī)根軌跡 圖4-12b 零度根軌跡4-13 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：(1) 大致畫出系統(tǒng)的根軌跡圖；(2) 用文字說明當(dāng)時(shí)，如何求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量，峰值時(shí)間及調(diào)節(jié)時(shí)間。解：（1）繪根軌跡圖漸近線：分離點(diǎn)：由，得相應(yīng)的根軌跡增益根軌跡與虛軸交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程列勞斯表當(dāng)時(shí)，勞斯表出現(xiàn)全零行，由輔助方程得根軌跡與虛軸交點(diǎn)處為根軌跡圖如下圖4-13a所示： 圖4-13a（2）求動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)，閉環(huán)有兩個(gè)實(shí)主導(dǎo)極點(diǎn)和，且，因此求得調(diào)節(jié)時(shí)間如下：當(dāng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)，則由于因此 4-14 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

35、：試畫出系統(tǒng)根軌跡圖，并求出系統(tǒng)具有最小阻尼比時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的增益。解：系統(tǒng)在實(shí)軸上的根軌跡區(qū)域?yàn)楹驮谶@兩段區(qū)域內(nèi)，均存在分離點(diǎn)。為了求出分離點(diǎn)，令求出 因而復(fù)數(shù)根軌跡是以為圓心，為半徑的一個(gè)圓，如圖4-14a所示 圖4-14a在圖上，過原點(diǎn)作圓得切線，得最小阻尼比線。由根軌跡圖知，對(duì)于等腰直角三角形，必有，故最小阻尼比響應(yīng)的閉環(huán)極點(diǎn)由根軌跡模值條件，可求出相應(yīng)的增益為4-15 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試按照步驟作出時(shí)的根軌跡圖。解：開環(huán)極點(diǎn)：根軌跡在實(shí)軸上的區(qū)間根軌跡的漸近線分離點(diǎn)： 即 整理得 為了求取分離點(diǎn)方程的根，將上式表示為令等效開環(huán)傳遞函數(shù)為其中。若令從變到，其根軌

36、跡如圖4-15a所示。圖中，漸近線圖4-15a；分離點(diǎn)。在圖上，試探，檢驗(yàn)?zāi)Ｖ禇l件 故符合要求，故為分離點(diǎn)方程的一個(gè)根。利用綜合除法，有求得分離點(diǎn)分離角為根軌跡的起始角根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)特征方程為列勞斯表顯然，當(dāng)時(shí)，根軌跡和虛軸相交，由輔助方程 求得交點(diǎn)處根據(jù)以上步驟，繪制系統(tǒng)根軌跡圖4-15b 圖4-15b 根軌跡圖4-16 設(shè)某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：(1) 繪制從時(shí)系統(tǒng)的根軌跡圖；(2) 求系統(tǒng)階躍響應(yīng)中含有時(shí)的值范圍，其中；(3) 求系統(tǒng)有一個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)為時(shí)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。解：繪制根軌跡圖閉環(huán)特征方程為 寫成根軌跡方程形式為： 令等效開環(huán)傳遞函數(shù)為實(shí)軸上根軌跡：分離點(diǎn)：由求

37、得與虛軸交點(diǎn)：列勞斯表顯然，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，由輔助方程并代入，解出交點(diǎn)處分離點(diǎn)處根軌跡增益：由模值條件得：繪出系統(tǒng)根軌跡如圖4-16a所示 圖4-16a（2）求值范圍當(dāng)系統(tǒng)階躍響應(yīng)含有分量時(shí)，系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)有一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛極點(diǎn)，值范圍為（3）求閉環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)具有閉環(huán)極點(diǎn)時(shí)，由模值條件，其對(duì)應(yīng)的值為于是 閉環(huán)傳遞函數(shù)為 5-1 設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)為，試根據(jù)頻率特性的定義證明，輸入為余弦函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為解：由題目可得對(duì)等式兩邊同時(shí)進(jìn)行拉氏變換可得由于系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，所以不存在正實(shí)部的極點(diǎn)。假設(shè)可表示為如下表達(dá)式由以上分析可得，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)上述閉環(huán)

38、傳遞函數(shù)作如下分解對(duì)上式等式兩邊進(jìn)行拉氏反變換可得由系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的定義可得利用留數(shù)法確定待定的系數(shù)所以可得 5-2 若系統(tǒng)階躍響應(yīng)為：試確定系統(tǒng)頻率特性解：?jiǎn)挝浑A躍輸入信號(hào)的拉氏變換為系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為將代入傳遞函數(shù)可得 5-3 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5-1所示，試確定輸入信號(hào)圖5-1 習(xí)題5-3控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：如圖5-1所示，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為1： 備注：為什么穩(wěn)態(tài)誤差？其幅頻特性和相頻特性分別為當(dāng)時(shí) 5-4已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)； 試分析并繪制和情況下的概略幅相曲線。解：由題可知，系統(tǒng)的頻率特性如下 由于系統(tǒng)，所以開環(huán)幅相曲線要用虛線補(bǔ)畫

39、的半徑為無(wú)窮大的圓弧 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，又由于，所以有當(dāng)時(shí)，開環(huán)幅相曲線始終處于第三象限，如圖5-4a所示；當(dāng)時(shí)，開環(huán)幅相曲線始終處于第二象限，如圖5-4b所示。 圖5-4a開環(huán)幅相曲線 圖5-4b開環(huán)幅相曲線 5-5 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試分別繪制時(shí)系統(tǒng)的概略開環(huán)幅相曲線。解：由題目可知，系統(tǒng)的頻率特性如下 當(dāng)時(shí)，開環(huán)幅相曲線要用虛線補(bǔ)畫的半徑為無(wú)窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當(dāng)時(shí)，開環(huán)幅相曲線要用虛線補(bǔ)畫的半徑為無(wú)窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當(dāng)時(shí)，開環(huán)幅相曲線要用虛線補(bǔ)畫的半徑為無(wú)窮大的圓弧。若，

40、則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。當(dāng)時(shí)，開環(huán)幅相曲線要用虛線補(bǔ)畫的半徑為無(wú)窮大的圓弧。若，則若，則由以上分析可知，系統(tǒng)概略開環(huán)幅相曲線如圖5-5a所示。圖5-5a系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線5-6已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試分別計(jì)算和時(shí)，開環(huán)頻率特性的幅值和相位。解：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性表達(dá)式如下當(dāng)時(shí)此時(shí)當(dāng)時(shí)此時(shí)5-7 繪制下列傳遞函數(shù)的對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線a 圖2-7a對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線b 圖2-7b對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線 c 圖2-7c對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線d 圖2-7d對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線5-8 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制的對(duì)數(shù)頻率特性曲線，

41、并算出截止頻率。解：由題可得則 因此 對(duì)數(shù)頻率特性曲線如圖5-8a所示 圖5-8a 對(duì)數(shù)頻率特性曲線又，可得，即計(jì)算可得5-9 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：a計(jì)算截止頻率。b確定對(duì)數(shù)幅頻漸進(jìn)特性曲線的低頻漸進(jìn)線的斜率。c繪制對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。解： 計(jì)算可得當(dāng)時(shí)，斜率為；當(dāng)時(shí)，斜率為；當(dāng)時(shí)，斜率為；當(dāng)時(shí)，斜率為；繪制對(duì)數(shù)幅頻特性曲線，如圖5-9a所示。 圖5-9a 對(duì)數(shù)幅頻特性曲線5-10 利用奈氏判據(jù)分別判斷題5-4，5-5系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解：(1) 對(duì)于題5-4的系統(tǒng)，分和的兩種情況來(lái)討論系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖5-4a所示，由圖可知，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線不包圍，根據(jù)奈奎斯

42、特判據(jù)可得又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面無(wú)極點(diǎn)，時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖5-4b所示，由圖可知，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個(gè)極點(diǎn)，時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2) 對(duì)于題5-5的系統(tǒng)，其開環(huán)幅相曲線如圖所示，由圖5-5a可知當(dāng)時(shí)，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面無(wú)極點(diǎn)，時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng)時(shí)，又由系統(tǒng)得開環(huán)傳遞函數(shù)可知即，閉環(huán)系統(tǒng)在右半平面有2個(gè)極點(diǎn)，時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-11 用勞斯判斷據(jù)驗(yàn)證題5-10的結(jié)果。解：（1）對(duì)于題5-4的系統(tǒng)，由題得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為列勞斯表則當(dāng)時(shí)，即第一列各值為正，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)，即第

43、一列各值不全為正，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）對(duì)于題5-5的系統(tǒng)，由題得閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為，即當(dāng)時(shí)，列勞斯表第一列各值為正，即閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)，列勞斯表第一列各值不全為正，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)，情況與相同，即閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5-12 已知三個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，又知它們的奈奎斯特曲線如圖5-2(a)(b)(c)所示。找出各個(gè)傳遞函數(shù)分別對(duì)應(yīng)的奈奎斯特曲線，并判斷單位反饋下閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖5-2 習(xí)題5-12控制系統(tǒng)乃奎斯特曲線圖解：三個(gè)傳遞函數(shù)對(duì)應(yīng)的奈奎斯特曲線分別為對(duì)式，則，故系統(tǒng)穩(wěn)定；對(duì)式，則，故系統(tǒng)穩(wěn)定；對(duì)式，則，故系統(tǒng)穩(wěn)定；5-13 已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)； 試根據(jù)奈氏判據(jù)，確定其閉

44、環(huán)穩(wěn)定條件：a時(shí)，值的范圍；b時(shí)，值的范圍；c，值的范圍。解：由系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可知，系統(tǒng)的開環(huán)曲線圖如圖5-13a所示圖5-13a 系統(tǒng)開環(huán)曲線 由于，故想要閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，必有，即幅相曲線不包圍點(diǎn)。系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式如下、時(shí)，對(duì)于開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)有 由上式可得，則交點(diǎn)的實(shí)軸坐標(biāo)為由上式可得 、時(shí)，對(duì)于開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)有 由上式可得，則交點(diǎn)的實(shí)軸坐標(biāo)為由上式可得 、對(duì)于開環(huán)幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)有 由上式可得，則交點(diǎn)的實(shí)軸坐標(biāo)為由上式可得 5-14 某系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為要求畫出以下4種情況下的奈奎斯特曲線，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性：a；b；c；d。解：a 當(dāng)時(shí)，其開環(huán)幅相曲線

45、如圖5-14a所示，則，故在平面右半平面有2個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；b當(dāng)時(shí)，若，則若，則其開環(huán)幅相曲線如圖5-14b所示，則，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；c 當(dāng)時(shí)，若，則若，則其開環(huán)幅相曲線如圖5-14c所示，則，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；d當(dāng)時(shí)，由可得,故可得其開環(huán)幅相曲線如圖5-14d所示， 圖5-14a 開環(huán)幅相曲線 圖5-14b 開環(huán)幅相曲線則，故系統(tǒng)穩(wěn)定。 圖5-14c 開環(huán)幅相曲線 圖5-14d開環(huán)幅相曲線 5-15 已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，如果閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)傳遞函數(shù)會(huì)有幾個(gè)極點(diǎn)在復(fù)數(shù)平面的右半平面？解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由于系統(tǒng)不穩(wěn)定，故可得其開環(huán)幅相曲線如圖5-15a所示由圖可得，則，故閉

46、環(huán)傳遞函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)在復(fù)數(shù)平面的右半平面。 圖5-15a 開環(huán)幅相曲線5-16 設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖5-3所示。a求出開環(huán)傳遞函數(shù)；b畫出對(duì)數(shù)相頻特性曲線；c求出臨界開環(huán)比例和截止頻率；d用奈氏判據(jù)判斷該系統(tǒng)是否穩(wěn)定，如果穩(wěn)定再分別求出當(dāng)輸入信號(hào)和的情況下系統(tǒng)的靜態(tài)誤差。圖5-3 習(xí)題5-16控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解： （a）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（b） ， ，圖5-16a （c） ， ， 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為 與實(shí)軸的交點(diǎn) 故幅相曲線為圖5-16b當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，得當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定 圖5-16c當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，5-17 已知某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-4所示。a寫出其開環(huán)傳遞函

47、數(shù)；b畫出其相頻特性草圖，并從圖上求出和標(biāo)明相角裕度和幅值裕度；c求出該系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定時(shí)的開環(huán)比例系數(shù)值；圖5-4 習(xí)題5-17控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖d在復(fù)數(shù)平面上畫出其奈奎斯特曲線，并標(biāo)明點(diǎn)的位置。解： （1）確定系統(tǒng)積分或微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。因?qū)?shù)幅頻漸近特性曲線的低頻漸近線的斜率為，由圖，低頻漸近斜率為，故，系統(tǒng)含有2個(gè)積分環(huán)節(jié)。（2）確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)形式。由于對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線為分段折線，其各轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為所含一階或二階環(huán)節(jié)的交接頻率，每個(gè)交接頻率處斜率的變化取決于環(huán)節(jié)的種類。處，斜率變化，對(duì)應(yīng)微分環(huán)節(jié)；處，斜率變化，對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)；處，斜率變化，對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)。因此，所測(cè)系統(tǒng)具有下述傳遞

48、函數(shù) 其中待定。（3）低頻漸近線方程為由給定點(diǎn)，得故所測(cè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為5-18設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定相角裕度為時(shí)的參數(shù)值。解： 系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式為 設(shè)系統(tǒng)的截止頻率為，則由相角裕度的定義可得即又由于由上式得 所以 5-19 若高階系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)為，試根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式確定系統(tǒng)的截止頻率和相角裕度的范圍。解：根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式， 根據(jù)題意有， 可求得5-20 典型二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)若已知，試確定相角裕度的范圍；若給定，試確定系統(tǒng)帶寬的范圍。解：由于且，可解得而根據(jù)題意 又有，且故計(jì)算可得：5-21 設(shè)二階系統(tǒng)如圖5-5(a)所示。若分別加入測(cè)速反饋校正，（圖5-5(b)）和比例-微分

49、校正，（圖5-5(c)），并設(shè)，試確定各種情況下相角裕度的范圍，并加以比較。圖5-5 習(xí)題5-21控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：(a)由題意可知系統(tǒng)開環(huán)頻率特性，設(shè)為截止頻率，當(dāng)時(shí)，則有和把代入上式，得：， (b)由題意可知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為其開環(huán)頻率特性為設(shè)為截止頻率，當(dāng)時(shí)，則有和把，設(shè)，代入上式，得：，(c)由題意可知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，其中其開環(huán)頻率特性為，設(shè)為截止頻率，當(dāng)時(shí)，則有和把，設(shè)，代入上式，得：，圖5-6 習(xí)題5-22控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖5-22 已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性曲線如圖5-6所示。當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)幅值裕度，穿越頻率，試求輸入為，幅值裕度為下述值時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。ab解：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞

50、函數(shù)為：開環(huán)系統(tǒng)幅頻特性為：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為：解得當(dāng)有， 得則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可寫成系統(tǒng)與實(shí)軸的交點(diǎn)為當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，5-23 設(shè)單位反饋系統(tǒng)如圖5-7所示。其中，；時(shí)，截止頻率，若要求不變，問與如何變化才能使系統(tǒng)相角裕度提高至？解：開環(huán)系統(tǒng)幅頻特性為：相頻特性為：當(dāng)時(shí)，把代入得：若要求相角提高，即要求提高，設(shè)調(diào)整后的系統(tǒng)相頻特性為： 調(diào)整后的值為：，值不做調(diào)整。圖5-7 習(xí)題5-23單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖5-24 已知單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線，并據(jù)此確定：a求時(shí)的相角裕度；b求時(shí)的幅值裕度；(1)解： 開環(huán)系統(tǒng)幅頻特性為：令，當(dāng)時(shí)，得開環(huán)系統(tǒng)相頻特性為：，當(dāng)時(shí)，有(2) 解：開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：令其虛部為零，即得5-25 若單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值。解：系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式為 由上式可得，系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)開環(huán)幅相曲線穿過點(diǎn)，此時(shí)由上式可得， 顯然，當(dāng)時(shí)，由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。故的取值范圍為 5-26 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)試確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，延遲時(shí)間的范圍。解：系統(tǒng)的頻率特性表達(dá)式為 由上式可得，系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)開環(huán)幅相曲線穿過點(diǎn)，此時(shí)由幅頻特性可得 解之可得 （舍去）又