2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)同步練習(xí)：專題2 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3講 一、選擇題 1．(2020·合肥質(zhì)檢)函數(shù)f(x)＝lnx＋2x－1零點(diǎn)的個數(shù)為(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 [答案]　B [解析]　作出函數(shù)y＝lnx和y＝1－2x的圖像，可看出交點(diǎn)只有一個．故選B. 2．(2020·南昌調(diào)研)用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點(diǎn)時，第一次經(jīng)計算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一個零點(diǎn)x0∈__________，第二次應(yīng)計算__________．以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為(　　) A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.05)，f(0.125) [答案]　A [解析]　由f(0)<0，f(0.5)>0.則在(0,0.5)內(nèi)必有一個零點(diǎn)，故在下一次應(yīng)計算f(0.25)，故選A. 3．(2020·上海理，17)若x0是方程x＝x的解，則x0屬于區(qū)間(　　) A. B. C. D. [答案]　C [解析]　令f(x)＝x－x，f(1)＝－1＝－<0， f＝－<0， f＝－>0， f＝－＝－<0， ∴f(x)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)． 4．(2020·北京理，6)根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第x件某產(chǎn)品所用的時間(單位：分鐘)為f(x)＝(A，c為常數(shù))．已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時30分鐘，組裝第A件產(chǎn)品用時15分鐘，那么c和A的值分別是(　　) A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16 [答案]　D [解析]　依題意：當(dāng)x≤A時，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x≥A時，f(x)恒為常數(shù)． 因此，＝30，＝15，解得：c＝60，A＝16，故選D. 5．(文)(2020·海淀期末)函數(shù)f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)零點(diǎn)的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　C [解析]　由題意知，所求零點(diǎn)的個數(shù)即函數(shù)y1＝|x－2|的圖像與函數(shù)y2＝lnx的圖像交點(diǎn)的個數(shù)，y1、y2的圖像如圖所示，顯然二者有兩個交點(diǎn)，故選C. (理)(2020·陜西二檢)方程sinx＝|lgx|的根的個數(shù)是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 [答案]　B [解析]　如圖，分別畫出函數(shù)y＝sinx和y＝|lgx|的圖像， 顯然，當(dāng)0<x<1時，函數(shù)y＝sinx與y＝|lgx|的圖像有一個交點(diǎn)；當(dāng)x>1時，因?yàn)閥＝sinx∈[－1,1]，故可只考慮函數(shù)y＝|lgx|在區(qū)間[1,10]上的圖像，由圖可知，在區(qū)間[1,10]上這兩個函數(shù)的圖像有三個公共點(diǎn)．綜上所述，兩個函數(shù)圖像有四個公共點(diǎn)，即方程sinx＝|lgx|有四個不同的實(shí)根，故選B. 6．(2020·襄陽一調(diào))利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150噸至250噸之間，年生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系可近似地表示為y＝－30x＋4000，則每噸的成本最低時的年產(chǎn)量為(　　) A．240 B．200 C．180 D．160 [答案]　B [解析]　依題意得每噸的成本是＝＋－30，則≥2－30＝10，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝200時取等號，因此當(dāng)每噸的成本最低時，相應(yīng)的年產(chǎn)量是200噸，選B. 7．(2020·山東濟(jì)寧)已知函數(shù)f(x)＝log2(a－2x)＋x－2，若f(x)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－4]∪[4，＋∞) 　 B．[1，＋∞) C．[2，＋∞ ) 　 D．[4，＋∞) [答案]　D [解析]　由題意知，log2(a－2x)＝2－x有解， 即a－2x＝22－x有解，也即a＝2x＋4·2－x， ∵2x＋4·2－x≥4，∴a≥4.故選D. 8．(2020·紹興模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a>0)有兩個零點(diǎn)，其中一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則a－b的取值范圍為(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1) [答案]　B [解析]　函數(shù)f(x)＝ax2＋bx－1(a>0)有兩個零點(diǎn)，其中一個零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，結(jié)合二次函數(shù)的圖像知，即滿足，所以a－b的取值范圍即為：滿足可行域內(nèi)的點(diǎn)P(a，b)的目標(biāo)函數(shù)z＝a－b的取值范圍，作出可行域如圖： 當(dāng)b＝a－z的一族平行線經(jīng)過可行域時，目標(biāo)函數(shù)z＝a－b在點(diǎn)(0,1)處取得最小值－1，最大值趨向正無窮，故答案選B. 二、填空題 9．(2020·蕪湖模擬)已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)g(x)＝f(x)－m有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍________． [答案]　(0,1) [解析]　函數(shù)f(x)的圖像如圖所示： 當(dāng)0<m<1時，直線y＝m與函數(shù)f(x)的圖像有三個交點(diǎn)． 10．關(guān)于x的方程cos2x－sinx＋a＝0在(0，]上有解，則a的取值范圍為________． [答案]　(－1,1] [解析]　原方程可化為a＝sinx－cos2x， 令y＝sinx－cos2x， 則y＝sin2x＋sinx－1＝(sinx＋)2－， ∵x∈(0，]，∴0<sinx≤1，∴－1<y≤1. 因?yàn)榉匠逃薪?，所以a∈(－1,1]． 11．(2020·浙江文，16)某商家一月份至五月份累計銷售額達(dá)3 860萬元，預(yù)測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等，若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7 000萬元，則x的最小值是________． [答案]　20 [解析]　本題考查了不等式的實(shí)際應(yīng)用． 由題意列出不等式：3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000　(x>0) 整理可得：x2＋300x－6400≥0，解之得，x≥20. ∴x的最小值為20. 12．若拋物線y＝－x2＋mx－1和兩端點(diǎn)為A(0,3)、B(3,0)的線段AB有兩個不同的交點(diǎn)，則m的取值范圍為________． [答案]　(3，] [解析]　線段AB的方程為y＝－x＋3(0≤x≤3)． 由消去y得x2－(m＋1)x＋4＝0(0≤x≤3)． ∵拋物線與線段AB有兩個不同的交點(diǎn)， ∴x2－(m＋1)x＋4＝0在[0,3]上有兩個不同的解． 設(shè)f(x)＝x2－(m＋1)x＋4， 則f(x)的圖像在[0,3]上與x軸有兩個不同的交點(diǎn)， ∴解得3＜m≤. 三、解答題 13．如圖所示是函數(shù)y＝()x和y＝3x2圖像的一部分，其中x＝x1，x2(－1<x1<0<x2)時，兩函數(shù)值相等． (1)給出如下兩個命題： ①當(dāng)x<x1時，()x<3x2； ②當(dāng)x>x2時，()x<3x2， 試判斷命題①②的真假并說明理由； (2)求證：x2∈(0,1)． [解析]　(1)當(dāng)x＝－8時， ()－8＝28＝256,3×(－8)2＝192， 此時()－8>3×(－8)2，故命題①是假命題． 又當(dāng)x∈(0，＋∞)時，y＝()x是減函數(shù)，y＝3x2是增函數(shù)，故命題②是真命題． (2)證明：令f(x)＝3x2－()x， 則f(0)＝－1<0，f(1)＝>0， ∴f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)， 又∵函數(shù)f(x)＝3x2－()x在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴x2∈(0,1)． 14．(2020·佛山質(zhì)檢)桑基魚塘是廣東省珠江三角洲一種獨(dú)具地方特色的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)形式，某研究單位打算開發(fā)一個?；~塘項目，該項目準(zhǔn)備購置一塊占地1800平方米的矩形地塊，中間挖成三個矩形池塘養(yǎng)魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹，魚塘周圍的基圍寬均為2米，如圖所示，池塘所占面積為S平方米，其中a：b＝1：2. (1)試用x，y表示S； (2)若要使S最大，則x，y的值各為多少？ [解析]　(1)由題可得：xy＝1800，b＝2a， 則y＝a＋b＋6＝3a＋6， S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a ＝(3x－16)·＝1832－6x－y. (2)S＝1832－6x－y≤1832－2 ＝1832－480＝1352， 當(dāng)且僅當(dāng)6x＝y(tǒng)，即x＝40米，y＝45米時， S取得最大值1352平方米． 15．(2020·湖北理，17)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)．當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時) [解析]　(1)由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v(x)＝60； 當(dāng)20≤x≤200時，設(shè)v(x)＝ax＋b， 再由已知得解得 故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為 v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得 f(x)＝ 當(dāng)0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時，其最大值為60×20＝1200； 當(dāng)20≤x≤200時，f(x)＝x(200－x) ≤[]2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝200－x，即x＝100時，等號成立． 所以，當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間[20,200]上取得最大值. 綜上，當(dāng)x＝100時，f(x)在區(qū)間[0,200]上取得最大值 ≈3333， 即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3333輛/小時．