會計學(xué)1函數(shù)與極限函數(shù)函數(shù)與極限函數(shù)第一頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第1頁/共80頁第二頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第2頁/共80頁第三頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。x yOy=x21xi微積分的基本思想和方法速度問題面積問題l瞬時速度l曲邊圖形的面積第3頁/共80頁第四頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。區(qū)別 思維.它的方法是孤立 的靜止的，屬形式邏輯。第4頁/共80頁第五頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第5頁/共80頁第六頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。二、微積分歷史簡介簡介： 我們即將學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)，它的主要內(nèi)容是微積分微積分。研究函數(shù)的一門學(xué)科，它產(chǎn)生于十六.七世紀(jì)，主要是為解決當(dāng)時 而創(chuàng)立的。個問題個問題第6頁/共80頁第七頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 求物體在任意時刻的瞬時速度、加速度。 求曲線在一點(diǎn)的切線（光線穿過凸透鏡 的一系列問題） 求最大值、最小值（炮彈的最大射程、行星 離開太陽的最遠(yuǎn)、最近距離等） 求面積、體積、物體的重心等第7頁/共80頁第八頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 這四個問題引起了當(dāng)時大多數(shù)科學(xué)家的注意，他們在研究這些問題的過程中所產(chǎn)生的數(shù)學(xué)思想、方法就是微積分的萌芽。微積分問題至少被十七世紀(jì)十幾個大數(shù)學(xué)家和幾十個小的數(shù)學(xué)家探索過，位于他們?nèi)控暙I(xiàn)的頂峰是牛頓、萊布尼茲。第8頁/共80頁第九頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。牛頓牛頓 牛頓對微積分的研究偏重物理方向。 偉大英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。 第9頁/共80頁第十頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 萊布尼茲是哲學(xué)博士、 外交官、法學(xué)家、歷史學(xué) 家 、語言學(xué)家、地質(zhì)學(xué)家 、邏輯學(xué)家。并在力學(xué)、光學(xué)、流體力學(xué)、氣體力學(xué)、航海學(xué)、計算機(jī)方面也做了重要工作。萊布尼茲對微積分的研究偏重于哲學(xué)方向。萊布尼茲第10頁/共80頁第十一頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。有人說: 牛頓牛頓和萊布尼茲是微積分的創(chuàng)始人，實(shí)際上這樣說是不準(zhǔn)確的。因為在數(shù)學(xué)和科學(xué)的巨大進(jìn)展中，幾乎總是建立在幾百年中作出過一點(diǎn)一滴貢獻(xiàn)的許多人的工作之上，需要有一個人走那最高和最后的一步。這個人要能夠敏銳地從這些紛亂的猜測和說明中清理出前人有價值的想法，有足夠的想象力把這些碎片重新組織起來，這個人就是牛頓。第11頁/共80頁第十二頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 歷史上曾有過牛頓萊布尼茨學(xué)派之爭達(dá)一百年之久，互相指責(zé)剽竊了對方，后經(jīng)調(diào)查證實(shí)：他們兩人對微積分的研究都是獨(dú)立的。牛頓早一些，但他并沒有把研究成果即時公布于世，以致誤會。牛頓創(chuàng)立了許多方法，是經(jīng)驗的、具體的、謹(jǐn)慎的； 第12頁/共80頁第十三頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。而萊布尼茲富于想象，是大膽的，喜歡推廣，關(guān)心符號、法則、公式廣泛意義下的微積分。側(cè)重點(diǎn)不同，但可以互補(bǔ)。 十七世紀(jì)的微積分是不嚴(yán)密的。他們都滿足于計算，只要結(jié)果有用就行，包括都沒有把微積分的基本概念弄清楚，更不用說精確了。他們不能正確解釋這些概念，而是依靠成果的彼此一致和方法的多產(chǎn)，沒有嚴(yán)密地向前推進(jìn)。十八世紀(jì)也是糊里糊涂十八世紀(jì)也是糊里糊涂。第13頁/共80頁第十四頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 十九世紀(jì)以后，由于數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，才有一些數(shù)學(xué)家作了這方面的工作，以至成了現(xiàn)在的有嚴(yán)謹(jǐn)理論體系的微積分。教學(xué)內(nèi)容決定教學(xué)方法，因此我們有意識地在教材的處理上做一些嘗試，準(zhǔn)備多種教法并用。第14頁/共80頁第十五頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第15頁/共80頁第十六頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。極限與連續(xù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不定積分定積分及 其應(yīng)用常微方程第16頁/共80頁第十七頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第17頁/共80頁第十八頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第18頁/共80頁第十九頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第19頁/共80頁第二十頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第20頁/共80頁第二十一頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 常量與變量用什么符號不是絕對的，但應(yīng)尊重數(shù)常量與變量用什么符號不是絕對的，但應(yīng)尊重數(shù) 學(xué)的習(xí)慣。學(xué)的習(xí)慣。 還有一些量在過程中是變化著的，也就是可以取 不同的數(shù)值，這種量叫做變量。常用字母為x，y，z， u，v，w，s，t 等。第21頁/共80頁第二十二頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第22頁/共80頁第二十三頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。有限區(qū)間有限區(qū)間: 設(shè)ab, 稱數(shù)集x|axb為開區(qū)間開區(qū)間, 記為(a, b), 即 (a, b)x|axb. 類似地有 a, b x | a xb 稱為閉區(qū)間閉區(qū)間, a, b) x | axb 、(a, b x | axb 稱為半開區(qū)間半開區(qū)間. 其中a和b稱為區(qū)間(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端點(diǎn)端點(diǎn), ba稱為區(qū)間區(qū)間的長度的長度. 無限區(qū)間無限區(qū)間: a, ) x | ax , (, b x | x b , (, )x | | x | . 區(qū)間在數(shù)軸上的表示: 第23頁/共80頁第二十四頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。xOada+d去心鄰域去心鄰域: (a,d) x |0| xa |d。UxOada+da第24頁/共80頁第二十五頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。：All，任意一個，或任意，所有；，任意一個，或任意，所有；：Exist，存在，能找到。，存在，能找到。第25頁/共80頁第二十六頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。例例1. 圓的面積的計算公式為A=pr2，半徑r可取(0, +)內(nèi)的任意值,就可確定A的對應(yīng)確定的數(shù)值。例例2. 圓內(nèi)接正n邊形的周長的計算公式為 Sn2nr sin ， n可取3，4，5， 。pn第26頁/共80頁第二十七頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 設(shè) x 和 y 是兩個變量，D 是一個給定的數(shù)集。如果對于每個數(shù)xD，變量變量 y 按照一定法則按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對應(yīng)，則稱 y 是 x 的函數(shù)，記作yf(x)。 定義中，數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域， x叫做自變量，y叫做因變量。 函數(shù)符號函數(shù)符號: 函數(shù)yf(x)中表示對應(yīng)關(guān)系的記號f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此時函數(shù)就記作yj(x)，y=F(x)。第27頁/共80頁第二十八頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 值域：值域：Vf=f(X)=y | y=f(x)，xD。定義域：定義域： 在數(shù)學(xué)中，有時不考慮函數(shù)的實(shí)際意義，而抽象地研究用算式表達(dá)的函數(shù)。這時約定函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值。函數(shù)值：函數(shù)值： 當(dāng) x取數(shù)值 x0D時，與 x0對應(yīng)的 y的數(shù)值稱為函數(shù) yf(x)在點(diǎn) x0處的函數(shù)值，記為 f(x0)。第28頁/共80頁第二十九頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第29頁/共80頁第三十頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第30頁/共80頁第三十一頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第31頁/共80頁第三十二頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。例如: y=arcsin(X2+2)第32頁/共80頁第三十三頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。例：下列各函數(shù)對中，（例：下列各函數(shù)對中，（）中的兩個函數(shù)相等）中的兩個函數(shù)相等，(A)(B)(C)(D)題型一：判斷函數(shù)的等價性題型一：判斷函數(shù)的等價性解題方法：利用兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)解題方法：利用兩個函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)法則完全一致時，才表示同一函數(shù)，否則它們就是兩個法則完全一致時，才表示同一函數(shù)，否則它們就是兩個函數(shù)。函數(shù)。第33頁/共80頁第三十四頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。例：若函數(shù)的定義域是0，1，則函數(shù) 的定義域是() 題型二：求函數(shù)的定義域題型二：求函數(shù)的定義域解題方法解題方法：（1）對于一般函數(shù)）對于一般函數(shù).，（2）對于復(fù)雜函數(shù)）對于復(fù)雜函數(shù).，（3）直接代入）直接代入， （4）對于復(fù)合函數(shù)）對于復(fù)合函數(shù)f(x)，可用已知的，可用已知的y=f(x)的定義域的定義域，令，令t= (x)，解出，解出x的變化范圍即可。的變化范圍即可。第34頁/共80頁第三十五頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。例題：設(shè) ， ，且 求 定義域。第35頁/共80頁第三十六頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。題型三：求函數(shù)題型三：求函數(shù)f(x)的表達(dá)式的表達(dá)式解題方法：利用變量代換法和變量無關(guān)性。解題方法：利用變量代換法和變量無關(guān)性。例題：設(shè)f（x）滿足方程 其中a、b、c為常數(shù)，且求f（x）。 第36頁/共80頁第三十七頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 函數(shù)的定義域為D(, +)。 函數(shù)的值域為W0, + )。yxOy|x| x, x 0 x, x0 0, 當(dāng)x01, 當(dāng)xM。Oxyy=f(x)y= My= M第43頁/共80頁第四十四頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。函數(shù)的有界性舉例：例1. f(x) sin x在(, +)上是有界的： 即| sin x | 1。-11yxO-2p pp 2py=sin x例2. 第44頁/共80頁第四十五頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。Oxy1 2y=1/x 函數(shù)f(x)1/x在開區(qū)間(0,1)內(nèi)是無界的。無界函數(shù)舉例： 函數(shù)f(x) 1/x在(0, 1)內(nèi)有下界，無上界。 這是因為，任取M1，總有0 x1=(2M) 1M，所以函數(shù)無上界。 但此函數(shù)在(1, 2)內(nèi)是有 界的。第45頁/共80頁第四十六頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。注意：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有界函數(shù)f(x)在區(qū)間I上既有上界，又有下界第46頁/共80頁第四十七頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第47頁/共80頁第四十八頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。2. 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 設(shè)函數(shù)y f(x)在區(qū)間I上有定義。如果對于區(qū)間 I 上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1 x2時，恒有f(x1) f(x2)，(?)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加(?)的。第48頁/共80頁第四十九頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 如果對于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng) x1 f(x2)， 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。第49頁/共80頁第五十頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第50頁/共80頁第五十一頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第51頁/共80頁第五十二頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱(或稱函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上)。如果對于任意的xD，有f(x) f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。3. 函數(shù)的奇偶性O(shè)xy-xxf(-x)f(x)yf(x)偶函數(shù)舉例： yx2， ycos x都是偶函數(shù) 偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱。第52頁/共80頁第五十三頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。奇偶函數(shù)舉例： yx3， ysin x都是奇函數(shù)。101x -22y3xy 如果對于任意的xD，有 f(x)f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對稱。第53頁/共80頁第五十四頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第54頁/共80頁第五十五頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性第55頁/共80頁第五十六頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 對于任一數(shù)值 yV，D上至少可以確定一個數(shù)值 x 與 y 對應(yīng)，這個數(shù)值 x 適合關(guān)系 f(x)y。 如果把 y看作自變量，x 看作因變量，按照函數(shù)的定義就得到一個新的函數(shù)，這個新函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作 x f -1(y)= j(y)。1. 反函數(shù)反函數(shù) 設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域為D，值域為V。y=y0Oxyx1x2y0Dy=f(x)(x1, y0)(x2, y0)W第56頁/共80頁第五十七頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)是單值函數(shù) 什么樣的函數(shù)存在單值的反函數(shù)？第57頁/共80頁第五十八頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。Oxy-xxy=x2y yx2 的反函數(shù)是多值函數(shù)：x 。y 把 x限制在區(qū)間 0,)，則yx2 的反函數(shù)是單值的，即x 。它稱為函數(shù)y=x2 的反函數(shù)的一個單值分支。y反函數(shù)的單值分支：反函數(shù)的單值分支：y 另一個單值分支為x 。 第58頁/共80頁第五十九頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。反函數(shù)的圖形：反函數(shù)的圖形： 反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形關(guān)于直線y = x對稱。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)關(guān)于反函數(shù)的變量符號：關(guān)于反函數(shù)的變量符號：第59頁/共80頁第六十頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。例:設(shè)函數(shù)y=f（x），求其反函數(shù)y=f-1（x）第60頁/共80頁第六十一頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 對于任一 x 1，1，先計算 u=1x2，然后再計算 y= ，這就是說函數(shù) y= 的對應(yīng)法則是由函數(shù)u=1x2和y= 所決定的，我們稱函數(shù) y= 是由函數(shù)u=1x2和y= 復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，變量 u稱為中間變量例例 函數(shù) y= 表示 y是 x的函數(shù)，它的定義域為 1，1設(shè) u=1x2，則函數(shù) y= 的值可以按如下方法計算：2復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)第61頁/共80頁第六十二頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。D1D2u=j(x)y =f(u)y =f j(x)復(fù)合函數(shù)： 一般地，設(shè)函數(shù)y =f(u)的定義域為D1，函數(shù)u=j(x)在數(shù)集D2上有定義，如果 u | u= j(x)， xD2 D1則對于任一 xD2，通過變量u能確定一個變量y的值，這樣就得到了一個以x為自變量、y為因變量的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由函數(shù) y =f(u)和u=j(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記為y =f j(x) ，其中定義域為D2(?)，u稱為中間變量第62頁/共80頁第六十三頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。復(fù)合而成的其中u， v 都是中間變量函數(shù)y= 可看作是由y= ，u=1+v2，v=lnxx2ln1u函數(shù)y= ，u=cot v，v= 經(jīng)復(fù)合可得函數(shù)u2x問：函數(shù)y=arcsin u與u=2+x2能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)嗎？2cotxy = 例 函數(shù)y=arctan (x)2可看作是由y=arctanu和u=x2復(fù)合而成的第63頁/共80頁第六十四頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第64頁/共80頁第六十五頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。1. 冪函數(shù)xyO11y = x 2y = xy =xxyO11y=x1y=x3第65頁/共80頁第六十六頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。1a1 y=( )x1ay=axxyO常用的指數(shù)函數(shù)為 y=ex.2指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 函數(shù) y=ax (a是常數(shù)，且a0，a 1)叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域：D=（ ，+ ） 單調(diào)性： 若a1，則指數(shù)函數(shù)單調(diào)增加； 若0a1y=axxyOy=logax3對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，記為y=logax(a0，a 1) 對數(shù)函數(shù)的定義域是區(qū)間(0，+ ) 自然對數(shù)函數(shù)：y=ln x=loge x.第67頁/共80頁第六十八頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。1-1y=cos x余弦函數(shù)： y=cos x1-1y=sin xyxOxyO4三角函數(shù)三角函數(shù)第68頁/共80頁第六十九頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。正切函數(shù)：正切函數(shù)： y=tan x 余切函數(shù)： y=cot xxyOpp p 2 p 2xyOpp p 2 p 2y=tan xy=cot x第69頁/共80頁第七十頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。正割、余割函數(shù)的性質(zhì)：是以2p為周期的函數(shù)，在區(qū)間(0, )正割函數(shù)：p2余割函數(shù)：內(nèi)是無界函數(shù) y sec x 。1cos x1sin x y csc x 。第70頁/共80頁第七十一頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 反正弦函數(shù)的主值： y=arcsin x，x ， . p 2p2反正弦函數(shù)： y=Arcsin x， 定義域為-1，1.反余弦函數(shù)： y=Arccos x 定義域為-1，1 反余弦函數(shù)的主值： y=arccos x，x(0，p)-11yxO p 2p2y=Arcsin xy=arcsin xyxOp-11y=Arccos xy=arccos x5反三角函數(shù)反三角函數(shù)第71頁/共80頁第七十二頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。反正切函數(shù)的主值： y=arctan x，反正切函數(shù)： y=Arctan x,定義域為(- ， ).Oxy p 2p2y=arctan x p 2p2 其值域規(guī)定為( ， )第72頁/共80頁第七十三頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。反余切函數(shù)的主值： y=arccot x，其值域規(guī)定為(0，p)反余切函數(shù)： y=Arccot x，定義域為(- ， +).y=arccot xOxyp第73頁/共80頁第七十四頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。6基本初等函數(shù)與初等函數(shù)都是初等函數(shù)例如21xy，2cotxy ，第74頁/共80頁第七十五頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。7雙曲函數(shù)（實(shí)際上是初等函數(shù)）雙曲函數(shù)（實(shí)際上是初等函數(shù)） 應(yīng)用上常遇到的雙曲函數(shù)是：雙曲正弦：sh x= (exe-x)12雙曲余弦：ch x= (exe-x)12雙曲正切：th x = =xxxxeeeesh xch xy=ch xy=sh x1xyOy= e-x12y= ex121-1Oxyy=th x第75頁/共80頁第七十六頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。雙曲函數(shù)的性質(zhì)：ch2 x sh2 x=1;sh 2x=2sh x ch x;ch 2x=ch2 x+sh2 x.第76頁/共80頁第七十七頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。7反雙曲函數(shù)arsh x ln(x+ )12xarch x ln(x+ )12xarth xxx11ln21第77頁/共80頁第七十八頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。 arsh x= ln(x+ )的證明：12xx= (eye-y) ，12u=x + ，12x y=arsh x是x=sh y的反函數(shù)，因此滿足令u=ey， 由上式得 u22xu 1=0，解方程得兩邊取對數(shù)得即 ey=x + ，12xy= ln(x+ )12x第78頁/共80頁第七十九頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。第79頁/共80頁第八十頁，編輯于星期日：十六點(diǎn) 六分。