《函數(shù)與極限函數(shù)學習教案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《函數(shù)與極限函數(shù)學習教案（80頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、會計學1函數(shù)與極限函數(shù)函數(shù)與極限函數(shù)第一頁，編輯于星期日：十六點 六分。第1頁/共80頁第二頁，編輯于星期日：十六點 六分。第2頁/共80頁第三頁，編輯于星期日：十六點 六分。x yOy=x21xi微積分的基本思想和方法速度問題面積問題l瞬時速度l曲邊圖形的面積第3頁/共80頁第四頁，編輯于星期日：十六點 六分。區(qū)別 思維.它的方法是孤立 的靜止的，屬形式邏輯。第4頁/共80頁第五頁，編輯于星期日：十六點 六分。第5頁/共80頁第六頁，編輯于星期日：十六點 六分。二、微積分歷史簡介簡介： 我們即將學習的高等數(shù)學高等數(shù)學，它的主要內容是微積分微積分。研究函數(shù)的一門學科，它產生于十六.七世紀，主要

2、是為解決當時 而創(chuàng)立的。個問題個問題第6頁/共80頁第七頁，編輯于星期日：十六點 六分。 求物體在任意時刻的瞬時速度、加速度。 求曲線在一點的切線（光線穿過凸透鏡 的一系列問題） 求最大值、最小值（炮彈的最大射程、行星 離開太陽的最遠、最近距離等） 求面積、體積、物體的重心等第7頁/共80頁第八頁，編輯于星期日：十六點 六分。 這四個問題引起了當時大多數(shù)科學家的注意，他們在研究這些問題的過程中所產生的數(shù)學思想、方法就是微積分的萌芽。微積分問題至少被十七世紀十幾個大數(shù)學家和幾十個小的數(shù)學家探索過，位于他們全部貢獻的頂峰是牛頓、萊布尼茲。第8頁/共80頁第九頁，編輯于星期日：十六點 六分。牛頓牛頓

3、 牛頓對微積分的研究偏重物理方向。 偉大英國數(shù)學家、物理學家、天文學家和自然哲學家。 第9頁/共80頁第十頁，編輯于星期日：十六點 六分。 萊布尼茲是哲學博士、 外交官、法學家、歷史學 家 、語言學家、地質學家 、邏輯學家。并在力學、光學、流體力學、氣體力學、航海學、計算機方面也做了重要工作。萊布尼茲對微積分的研究偏重于哲學方向。萊布尼茲第10頁/共80頁第十一頁，編輯于星期日：十六點 六分。有人說: 牛頓牛頓和萊布尼茲是微積分的創(chuàng)始人，實際上這樣說是不準確的。因為在數(shù)學和科學的巨大進展中，幾乎總是建立在幾百年中作出過一點一滴貢獻的許多人的工作之上，需要有一個人走那最高和最后的一步。這個人要能

4、夠敏銳地從這些紛亂的猜測和說明中清理出前人有價值的想法，有足夠的想象力把這些碎片重新組織起來，這個人就是牛頓。第11頁/共80頁第十二頁，編輯于星期日：十六點 六分。 歷史上曾有過牛頓萊布尼茨學派之爭達一百年之久，互相指責剽竊了對方，后經調查證實：他們兩人對微積分的研究都是獨立的。牛頓早一些，但他并沒有把研究成果即時公布于世，以致誤會。牛頓創(chuàng)立了許多方法，是經驗的、具體的、謹慎的； 第12頁/共80頁第十三頁，編輯于星期日：十六點 六分。而萊布尼茲富于想象，是大膽的，喜歡推廣，關心符號、法則、公式廣泛意義下的微積分。側重點不同，但可以互補。 十七世紀的微積分是不嚴密的。他們都滿足于計算，只要結

5、果有用就行，包括都沒有把微積分的基本概念弄清楚，更不用說精確了。他們不能正確解釋這些概念，而是依靠成果的彼此一致和方法的多產，沒有嚴密地向前推進。十八世紀也是糊里糊涂十八世紀也是糊里糊涂。第13頁/共80頁第十四頁，編輯于星期日：十六點 六分。 十九世紀以后，由于數(shù)學自身的發(fā)展，才有一些數(shù)學家作了這方面的工作，以至成了現(xiàn)在的有嚴謹理論體系的微積分。教學內容決定教學方法，因此我們有意識地在教材的處理上做一些嘗試，準備多種教法并用。第14頁/共80頁第十五頁，編輯于星期日：十六點 六分。第15頁/共80頁第十六頁，編輯于星期日：十六點 六分。極限與連續(xù)函數(shù)導數(shù)與微分導數(shù)的應用不定積分定積分及 其應

6、用常微方程第16頁/共80頁第十七頁，編輯于星期日：十六點 六分。第17頁/共80頁第十八頁，編輯于星期日：十六點 六分。第18頁/共80頁第十九頁，編輯于星期日：十六點 六分。第19頁/共80頁第二十頁，編輯于星期日：十六點 六分。第20頁/共80頁第二十一頁，編輯于星期日：十六點 六分。 常量與變量用什么符號不是絕對的，但應尊重數(shù)常量與變量用什么符號不是絕對的，但應尊重數(shù) 學的習慣。學的習慣。 還有一些量在過程中是變化著的，也就是可以取 不同的數(shù)值，這種量叫做變量。常用字母為x，y，z， u，v，w，s，t 等。第21頁/共80頁第二十二頁，編輯于星期日：十六點 六分。第22頁/共80頁第

7、二十三頁，編輯于星期日：十六點 六分。有限區(qū)間有限區(qū)間: 設ab, 稱數(shù)集x|axb為開區(qū)間開區(qū)間, 記為(a, b), 即 (a, b)x|axb. 類似地有 a, b x | a xb 稱為閉區(qū)間閉區(qū)間, a, b) x | axb 、(a, b x | axb 稱為半開區(qū)間半開區(qū)間. 其中a和b稱為區(qū)間(a, b)、a, b、a, b)、(a, b的端點端點, ba稱為區(qū)間區(qū)間的長度的長度. 無限區(qū)間無限區(qū)間: a, ) x | ax , (, b x | x b , (, )x | | x | . 區(qū)間在數(shù)軸上的表示: 第23頁/共80頁第二十四頁，編輯于星期日：十六點 六分。xOad

8、a+d去心鄰域去心鄰域: (a,d) x |0| xa |d。UxOada+da第24頁/共80頁第二十五頁，編輯于星期日：十六點 六分。：All，任意一個，或任意，所有；，任意一個，或任意，所有；：Exist，存在，能找到。，存在，能找到。第25頁/共80頁第二十六頁，編輯于星期日：十六點 六分。例例1. 圓的面積的計算公式為A=pr2，半徑r可取(0, +)內的任意值,就可確定A的對應確定的數(shù)值。例例2. 圓內接正n邊形的周長的計算公式為 Sn2nr sin ， n可取3，4，5， 。pn第26頁/共80頁第二十七頁，編輯于星期日：十六點 六分。 設 x 和 y 是兩個變量，D 是一個給定

9、的數(shù)集。如果對于每個數(shù)xD，變量變量 y 按照一定法則按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對應，則稱 y 是 x 的函數(shù)，記作yf(x)。 定義中，數(shù)集D叫做這個函數(shù)的定義域， x叫做自變量，y叫做因變量。 函數(shù)符號函數(shù)符號: 函數(shù)yf(x)中表示對應關系的記號f 也可改用其它字母，例如j 、F 等。此時函數(shù)就記作yj(x)，y=F(x)。第27頁/共80頁第二十八頁，編輯于星期日：十六點 六分。 值域：值域：Vf=f(X)=y | y=f(x)，xD。定義域：定義域： 在數(shù)學中，有時不考慮函數(shù)的實際意義，而抽象地研究用算式表達的函數(shù)。這時約定函數(shù)的定義域就是自變量所能取的使算式有意義的一切實數(shù)值。

10、函數(shù)值：函數(shù)值： 當 x取數(shù)值 x0D時，與 x0對應的 y的數(shù)值稱為函數(shù) yf(x)在點 x0處的函數(shù)值，記為 f(x0)。第28頁/共80頁第二十九頁，編輯于星期日：十六點 六分。第29頁/共80頁第三十頁，編輯于星期日：十六點 六分。第30頁/共80頁第三十一頁，編輯于星期日：十六點 六分。第31頁/共80頁第三十二頁，編輯于星期日：十六點 六分。例如: y=arcsin(X2+2)第32頁/共80頁第三十三頁，編輯于星期日：十六點 六分。例：下列各函數(shù)對中，（例：下列各函數(shù)對中，（）中的兩個函數(shù)相等）中的兩個函數(shù)相等，(A)(B)(C)(D)題型一：判斷函數(shù)的等價性題型一：判斷函數(shù)的等

11、價性解題方法：利用兩個函數(shù)當且僅當它們的定義域和對應解題方法：利用兩個函數(shù)當且僅當它們的定義域和對應法則完全一致時，才表示同一函數(shù)，否則它們就是兩個法則完全一致時，才表示同一函數(shù)，否則它們就是兩個函數(shù)。函數(shù)。第33頁/共80頁第三十四頁，編輯于星期日：十六點 六分。例：若函數(shù)的定義域是0，1，則函數(shù) 的定義域是() 題型二：求函數(shù)的定義域題型二：求函數(shù)的定義域解題方法解題方法：（1）對于一般函數(shù)）對于一般函數(shù).，（2）對于復雜函數(shù)）對于復雜函數(shù).，（3）直接代入）直接代入， （4）對于復合函數(shù)）對于復合函數(shù)f(x)，可用已知的，可用已知的y=f(x)的定義域的定義域，令，令t= (x)，解出，

12、解出x的變化范圍即可。的變化范圍即可。第34頁/共80頁第三十五頁，編輯于星期日：十六點 六分。例題：設 ， ，且 求 定義域。第35頁/共80頁第三十六頁，編輯于星期日：十六點 六分。題型三：求函數(shù)題型三：求函數(shù)f(x)的表達式的表達式解題方法：利用變量代換法和變量無關性。解題方法：利用變量代換法和變量無關性。例題：設f（x）滿足方程 其中a、b、c為常數(shù)，且求f（x）。 第36頁/共80頁第三十七頁，編輯于星期日：十六點 六分。 函數(shù)的定義域為D(, +)。 函數(shù)的值域為W0, + )。yxOy|x| x, x 0 x, x0 0, 當x01, 當xM。Oxyy=f(x)y= My= M第

13、43頁/共80頁第四十四頁，編輯于星期日：十六點 六分。函數(shù)的有界性舉例：例1. f(x) sin x在(, +)上是有界的： 即| sin x | 1。-11yxO-2p pp 2py=sin x例2. 第44頁/共80頁第四十五頁，編輯于星期日：十六點 六分。Oxy1 2y=1/x 函數(shù)f(x)1/x在開區(qū)間(0,1)內是無界的。無界函數(shù)舉例： 函數(shù)f(x) 1/x在(0, 1)內有下界，無上界。 這是因為，任取M1，總有0 x1=(2M) 1M，所以函數(shù)無上界。 但此函數(shù)在(1, 2)內是有 界的。第45頁/共80頁第四十六頁，編輯于星期日：十六點 六分。注意：若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有

14、界函數(shù)f(x)在區(qū)間I上既有上界，又有下界第46頁/共80頁第四十七頁，編輯于星期日：十六點 六分。第47頁/共80頁第四十八頁，編輯于星期日：十六點 六分。2. 函數(shù)的單調性函數(shù)的單調性x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 設函數(shù)y f(x)在區(qū)間I上有定義。如果對于區(qū)間 I 上任意兩點x1及x2，當x1 x2時，恒有f(x1) f(x2)，(?)則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調增加(?)的。第48頁/共80頁第四十九頁，編輯于星期日：十六點 六分。 如果對于區(qū)間I上任意兩點x1及x2，當 x1 f(x2)， 單調增加和單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)。第49頁/共80頁第五十頁，

15、編輯于星期日：十六點 六分。第50頁/共80頁第五十一頁，編輯于星期日：十六點 六分。第51頁/共80頁第五十二頁，編輯于星期日：十六點 六分。 設函數(shù)f(x)的定義域D關于原點對稱(或稱函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上)。如果對于任意的xD，有f(x) f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。3. 函數(shù)的奇偶性Oxy-xxf(-x)f(x)yf(x)偶函數(shù)舉例： yx2， ycos x都是偶函數(shù) 偶函數(shù)的圖形關于y軸對稱。第52頁/共80頁第五十三頁，編輯于星期日：十六點 六分。奇偶函數(shù)舉例： yx3， ysin x都是奇函數(shù)。101x -22y3xy 如果對于任意的xD，有 f(x)f(x)，則稱f(x

16、)為奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖形關于原點對稱。第53頁/共80頁第五十四頁，編輯于星期日：十六點 六分。第54頁/共80頁第五十五頁，編輯于星期日：十六點 六分。yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性第55頁/共80頁第五十六頁，編輯于星期日：十六點 六分。 對于任一數(shù)值 yV，D上至少可以確定一個數(shù)值 x 與 y 對應，這個數(shù)值 x 適合關系 f(x)y。 如果把 y看作自變量，x 看作因變量，按照函數(shù)的定義就得到一個新的函數(shù)，這個新函數(shù)稱為函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作 x f -1(y)= j(y)。1. 反函數(shù)反函數(shù) 設函數(shù)yf(x)的定義域為D，值域為V。y=y0Ox

17、yx1x2y0Dy=f(x)(x1, y0)(x2, y0)W第56頁/共80頁第五十七頁，編輯于星期日：十六點 六分。Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y 單調函數(shù)的反函數(shù)是單值函數(shù) 什么樣的函數(shù)存在單值的反函數(shù)？第57頁/共80頁第五十八頁，編輯于星期日：十六點 六分。Oxy-xxy=x2y yx2 的反函數(shù)是多值函數(shù)：x 。y 把 x限制在區(qū)間 0,)，則yx2 的反函數(shù)是單值的，即x 。它稱為函數(shù)y=x2 的反函數(shù)的一個單值分支。y反函數(shù)的單值分支：反函數(shù)的單值分支：y 另一個單值分支為x 。 第58頁/共80頁第五十九頁，編輯于星期日：十六點 六分。反函數(shù)的圖形：反函數(shù)的

18、圖形： 反函數(shù)的圖形與直接函數(shù)的圖形關于直線y = x對稱。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)關于反函數(shù)的變量符號：關于反函數(shù)的變量符號：第59頁/共80頁第六十頁，編輯于星期日：十六點 六分。例:設函數(shù)y=f（x），求其反函數(shù)y=f-1（x）第60頁/共80頁第六十一頁，編輯于星期日：十六點 六分。 對于任一 x 1，1，先計算 u=1x2，然后再計算 y= ，這就是說函數(shù) y= 的對應法則是由函數(shù)u=1x2和y= 所決定的，我們稱函數(shù) y= 是由函數(shù)u=1x2和y= 復合而成的復合函數(shù)，變量 u稱為中間變量例例 函數(shù) y= 表示 y是 x的函數(shù)，它的定義域為 1，

19、1設 u=1x2，則函數(shù) y= 的值可以按如下方法計算：2復合函數(shù)復合函數(shù)第61頁/共80頁第六十二頁，編輯于星期日：十六點 六分。D1D2u=j(x)y =f(u)y =f j(x)復合函數(shù)： 一般地，設函數(shù)y =f(u)的定義域為D1，函數(shù)u=j(x)在數(shù)集D2上有定義，如果 u | u= j(x)， xD2 D1則對于任一 xD2，通過變量u能確定一個變量y的值，這樣就得到了一個以x為自變量、y為因變量的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由函數(shù) y =f(u)和u=j(x)復合而成的復合函數(shù)，記為y =f j(x) ，其中定義域為D2(?)，u稱為中間變量第62頁/共80頁第六十三頁，編輯于星期日：十六

20、點 六分。復合而成的其中u， v 都是中間變量函數(shù)y= 可看作是由y= ，u=1+v2，v=lnxx2ln1u函數(shù)y= ，u=cot v，v= 經復合可得函數(shù)u2x問：函數(shù)y=arcsin u與u=2+x2能構成復合函數(shù)嗎？2cotxy = 例 函數(shù)y=arctan (x)2可看作是由y=arctanu和u=x2復合而成的第63頁/共80頁第六十四頁，編輯于星期日：十六點 六分。第64頁/共80頁第六十五頁，編輯于星期日：十六點 六分。1. 冪函數(shù)xyO11y = x 2y = xy =xxyO11y=x1y=x3第65頁/共80頁第六十六頁，編輯于星期日：十六點 六分。1a1 y=( )x1

21、ay=axxyO常用的指數(shù)函數(shù)為 y=ex.2指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 函數(shù) y=ax (a是常數(shù)，且a0，a 1)叫做指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義域：D=（ ，+ ） 單調性： 若a1，則指數(shù)函數(shù)單調增加； 若0a1y=axxyOy=logax3對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，記為y=logax(a0，a 1) 對數(shù)函數(shù)的定義域是區(qū)間(0，+ ) 自然對數(shù)函數(shù)：y=ln x=loge x.第67頁/共80頁第六十八頁，編輯于星期日：十六點 六分。1-1y=cos x余弦函數(shù)： y=cos x1-1y=sin xyxOxyO4三角函數(shù)三角函數(shù)第68頁/共80頁第六十九頁，編輯于星期日

22、：十六點 六分。正切函數(shù)：正切函數(shù)： y=tan x 余切函數(shù)： y=cot xxyOpp p 2 p 2xyOpp p 2 p 2y=tan xy=cot x第69頁/共80頁第七十頁，編輯于星期日：十六點 六分。正割、余割函數(shù)的性質：是以2p為周期的函數(shù)，在區(qū)間(0, )正割函數(shù)：p2余割函數(shù)：內是無界函數(shù) y sec x 。1cos x1sin x y csc x 。第70頁/共80頁第七十一頁，編輯于星期日：十六點 六分。 反正弦函數(shù)的主值： y=arcsin x，x ， . p 2p2反正弦函數(shù)： y=Arcsin x， 定義域為-1，1.反余弦函數(shù)： y=Arccos x 定義域為

23、-1，1 反余弦函數(shù)的主值： y=arccos x，x(0，p)-11yxO p 2p2y=Arcsin xy=arcsin xyxOp-11y=Arccos xy=arccos x5反三角函數(shù)反三角函數(shù)第71頁/共80頁第七十二頁，編輯于星期日：十六點 六分。反正切函數(shù)的主值： y=arctan x，反正切函數(shù)： y=Arctan x,定義域為(- ， ).Oxy p 2p2y=arctan x p 2p2 其值域規(guī)定為( ， )第72頁/共80頁第七十三頁，編輯于星期日：十六點 六分。反余切函數(shù)的主值： y=arccot x，其值域規(guī)定為(0，p)反余切函數(shù)： y=Arccot x，定義域

24、為(- ， +).y=arccot xOxyp第73頁/共80頁第七十四頁，編輯于星期日：十六點 六分。6基本初等函數(shù)與初等函數(shù)都是初等函數(shù)例如21xy，2cotxy ，第74頁/共80頁第七十五頁，編輯于星期日：十六點 六分。7雙曲函數(shù)（實際上是初等函數(shù)）雙曲函數(shù)（實際上是初等函數(shù)） 應用上常遇到的雙曲函數(shù)是：雙曲正弦：sh x= (exe-x)12雙曲余弦：ch x= (exe-x)12雙曲正切：th x = =xxxxeeeesh xch xy=ch xy=sh x1xyOy= e-x12y= ex121-1Oxyy=th x第75頁/共80頁第七十六頁，編輯于星期日：十六點 六分。雙曲

25、函數(shù)的性質：ch2 x sh2 x=1;sh 2x=2sh x ch x;ch 2x=ch2 x+sh2 x.第76頁/共80頁第七十七頁，編輯于星期日：十六點 六分。7反雙曲函數(shù)arsh x ln(x+ )12xarch x ln(x+ )12xarth xxx11ln21第77頁/共80頁第七十八頁，編輯于星期日：十六點 六分。 arsh x= ln(x+ )的證明：12xx= (eye-y) ，12u=x + ，12x y=arsh x是x=sh y的反函數(shù)，因此滿足令u=ey， 由上式得 u22xu 1=0，解方程得兩邊取對數(shù)得即 ey=x + ，12xy= ln(x+ )12x第78頁/共80頁第七十九頁，編輯于星期日：十六點 六分。第79頁/共80頁第八十頁，編輯于星期日：十六點 六分。