《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式學(xué)案 新人教A版選修4-5（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一　二維形式的柯西不等式 　1.認(rèn)識并理解平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式，以及定理1、定理2、定理3等幾種不同形式，理解它們的幾何意義． 2．會用柯西不等式的代數(shù)形式和向量形式以及定理1、定理2、定理3，證明比較簡單的不等式，會求某些函數(shù)的最值． 二維形式的柯西不等式 1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)·≥|ac＋bd|(當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號成立)．(　　) (2)(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d∈R＋，當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號成立)．(　　) (3)·≥|ac|＋|bd|(當(dāng)且僅當(dāng)|ad|＝|bc|時(shí)，等號成立)

2、．(　　) (4)在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中，取等號的條件可以是＝.(　　) (5)設(shè)α，β是兩個(gè)向量，則|α·β|≤|α||β|中等號成立的條件是存在實(shí)數(shù)k，使α＝k·β.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2．設(shè)a＝(－2，)，|b|＝6，則a·b的最小值為(　　) A．18　　 B．6 C．－18 D．12 解析：選C.因?yàn)閨a·b|≤|a||b|， 所以|a·b|≤18， 所以－18≤a·b≤18， a·b的最小值為－18，故選C. 3．設(shè)a，b∈R，若a2＋b2＝5，則a＋2b的最大值為(　　) A． B．－ C

3、．5 D．－5 解析：選C.由柯西不等式得(a2＋b2)(12＋22)≥(a＋2b)2， 所以(a＋2b)2≤5×5＝25，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝b時(shí)，等號成立． 所以(a＋2b)max＝5. 4．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最小值為________． 解析：根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值為. 答案： 　利用柯西不等式求最值[學(xué)生用書P40] 　(1)求f(x)＝2＋的最大值． (2)若3x＋4y＝2，求x2＋y2的最小值． 【解】　(1)因?yàn)閒(x)＝2＋

4、＝×＋1× ≤× ＝×＝3. 當(dāng)且僅當(dāng)×＝， 即x＝0時(shí)取等號， 故f(x)＝2＋的最大值是3. (2)因?yàn)?x＋4y＝2， 所以x2＋y2＝(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)“＝”成立． 所以x2＋y2的最小值為. 利用柯西不等式求最值 (1)先變形湊成柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，是利用柯西不等式求解的先決條件；　 (2)有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧； (3)有些最值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程

5、中，每運(yùn)用一次前后等號成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會出現(xiàn)錯(cuò)誤．多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一． 　1.若a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求ax＋by的最小值． 解：因?yàn)閍2＋b2＝1，x2＋y2＝1， 由柯西不等式(a2＋b2)(x2＋y2)≥(ax＋by)2，得1≥(ax＋by)2， 所以ax＋by的最小值為－1. 2．已知2x2＋y2＝1，求2x＋y的最大值． 解：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號． 所以2x＋y的最大值為. 　利用柯西不等式的代數(shù)形式證明不等式[學(xué)生用書P41] 　已知a1，a2，b1，b2為正

6、實(shí)數(shù)，求證：(a1b1＋a2b2)·(＋)≥(a1＋a2)2. 【證明】　(a1b1＋a2b2)(＋) ＝[()2＋()2][()2＋()2] ≥(·＋·)2＝(a1＋a2)2. 當(dāng)且僅當(dāng)b1＝b2時(shí)，等號成立． 利用柯西不等式的代數(shù)形式證明不等式的方法 利用柯西不等式的代數(shù)形式證明某些不等式時(shí)，有時(shí)需要將待證不等式進(jìn)行變形，以具備柯西不等式的運(yùn)用條件，這種變形往往要認(rèn)真分析題目的特征，根據(jù)題設(shè)條件，利用添項(xiàng)、拆項(xiàng)、分解、組合、配方、數(shù)形結(jié)合等方法，才能找到突破口． 　已知a，b都是正實(shí)數(shù)，且ab＝2，求證：(1＋2a)(1＋b)≥9. 證明：因?yàn)閍，b都是正實(shí)數(shù)， 所以

7、由柯西不等式可知(1＋2a)(1＋b) ＝[12＋()2][12＋()2]≥(1＋)2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝1，b＝2時(shí)取等號． 因?yàn)閍b＝2， 所以(1＋)2＝9， 所以(1＋2a)(1＋b)≥9. 　柯西不等式向量形式的應(yīng)用[學(xué)生用書P41] 　(1)已知θ為銳角，a，b∈R＋，求證：(a＋b)2≤＋. (2)已知x∈，求函數(shù)f(x)＝3cos x＋4的最大值，并說明等號成立的條件． 【解】　(1)設(shè)m＝，n＝(cos θ，sin θ)， 則|a＋b|＝ ＝|m·n|≤|m||n| ＝· ＝， 所以(a＋b)2≤＋. (2)設(shè)m＝(3，4)，n＝(cos x，)，

8、 則根據(jù)柯西不等式的向量形式可得： f(x)＝3cos x＋4 ≤·＝5. 當(dāng)且僅當(dāng)m∥n時(shí)上式取等號， 3－4cos x＝0，而且x∈， 解得sin x＝. 所以當(dāng)sin x＝時(shí)， f(x)＝3cos x＋4取最大值為5. 應(yīng)用二維形式柯西不等式向量形式 求最值及證明不等式的技巧 在應(yīng)用二維形式柯西不等式向量形式求式子的最值或證明不等式時(shí)要根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造兩個(gè)向量，通常我們使構(gòu)造的向量滿足積為待求式子或待證不等式一側(cè)的形式，再利用柯西不等式的向量形式求解或證明. 　已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，求證：(ax＋by)2≤ax2＋by2. 證明：設(shè)m＝(x，y

9、)，n＝(，)， 則|ax＋by|＝|m·n|≤|m||n| ＝· ＝· ＝， 所以(ax＋by)2≤ax2＋by2. 1．理解并記憶三種形式取“＝”的條件 (1)代數(shù)形式中當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)取等號． (2)向量形式中當(dāng)α＝kβ或β＝0時(shí)取等號． (3)三角形式中當(dāng)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，O(0，0)三點(diǎn)共線且P1，P2在原點(diǎn)O兩旁時(shí)取等號． 2．“二維”的含義 “二維”是對向量的個(gè)數(shù)來說的，在平面上一個(gè)向量有兩個(gè)量：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，因此“二維”就要有四個(gè)量，還可以認(rèn)為是四個(gè)數(shù)組合成的一種不等關(guān)系． 3．二維形式的柯西不等式的變式 (1)·≥|ac＋bd|. (2)·≥|ac|＋|bd|. (3)·≥ac＋bd. 1．已知a，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)，若y1＝，y2＝，求證：y1y2＞x1x2. 證明：y1y2＝· ＝ ＝ ≥ ＝＝x1x2.(※) 因?yàn)閍，b，x1，x2為互不相等的正數(shù)， 因此(※)式等號不成立， 所以y1y2＞x1x2. 2．已知x，y∈R＋，且x＋y＝2.求證：＋≥2. 證明：＋＝(x＋y) ＝[()2＋()2] ≥＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)x＝1，y＝1. 所以＋≥2. 7