習(xí)題課　天體運動問題分析 學(xué)習(xí)目標(biāo) 核心提煉 1.掌握解決天體運動問題的模型及思路。 1個模型——勻速圓周運動模型 3個問題——天體的運動問題、人造衛(wèi)星的變軌問題、雙星問題 2.會分析人造衛(wèi)星的變軌問題。 3.會分析雙星問題。 　解決天體運動問題的思路 1.一種模型：一天體圍繞中心天體(視為靜止)做勻速圓周運動。 2.兩條思路 (1)在中心天體表面或附近時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天體表面的重力加速度)。 (2)天體運動的向心力來源于中心天體的萬有引力，即 G＝m＝mrω2＝mr＝ma。 [試題案例] [例1] (多選)地球半徑為R0，地面重力加速度為g，若衛(wèi)星在距地面R0處做勻速圓周運動，則(　　) A.衛(wèi)星的線速度為 B.衛(wèi)星的角速度為 C.衛(wèi)星的加速度為 D.衛(wèi)星的加速度為 解析　由＝ma＝m＝mω2(2R0)及GM＝gR，可得衛(wèi)星的向心加速度a＝，角速度ω＝，線速度v＝，所以A、B、D正確，C錯誤。 答案　ABD [針對訓(xùn)練1] 如圖1所示，A是地球的同步衛(wèi)星，另一衛(wèi)星B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為h。已知地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心。 圖1 (1)求衛(wèi)星B的運行周期； (2)若衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近(O、B、A在同一直線上)，則至少經(jīng)過多長時間，他們再一次相距最近？ 解析　(1)由萬有引力定律和向心力公式得 G＝m(R＋h)① G＝mg② 聯(lián)立①②得TB＝2π。③ (2)由題意得(ωB－ω0)t＝2π④ 由③得ωB＝⑤ 由④⑤得t＝ 答案　(1)2π　(2) 　“赤道上的物體”與“同步衛(wèi)星”、“近地衛(wèi)星”的比較 1.相同點 (1)都以地心為圓心做勻速圓周運動。 (2)同步衛(wèi)星與赤道上的物體具有相同的周期和角速度。 2.不同點 (1)同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星均由萬有引力提供向心力，而赤道上的物體是萬有引力的一個分力提供向心力。 (2)三者的向心加速度各不相同。近地衛(wèi)星的向心加速度a＝，同步衛(wèi)星的向心加速度可用a＝或a＝rω2求解，而赤道上物體的向心加速度只可用a＝Rω2求解。 (3)三者的線速度大小也各不相同。近地衛(wèi)星v＝＝，同步衛(wèi)星v＝＝rω，而赤道上的物體v＝R·ω。 [試題案例] [例2] (多選)如圖2所示，a為地面上的待發(fā)射衛(wèi)星，b為近地圓軌道衛(wèi)星，c為地球同步衛(wèi)星。三顆衛(wèi)星質(zhì)量相同，三顆衛(wèi)星的線速度分別為va、vb、vc，角速度分別為ωa、ωb、ωc，周期分別為Ta、Tb、Tc，向心力分別為Fa、Fb、Fc，則(　　) 圖2 A.ωa＝ωc<ωb B.Fa＝Fc<Fb C.va＝vc<vb D.Ta＝Tc>Tb 解析　同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)同步，故Ta＝Tc，ωa＝ωc；由v＝ωr，得vc>va。地球同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星同是衛(wèi)星，根據(jù)＝m＝mω2r＝mr，知Tc>Tb，ωc<ωb，vc<vb，選項A、D正確，C錯誤；萬有引力F＝G，根據(jù)題意三者質(zhì)量相等，軌道半徑ra＝rb＜rc，可知Fa＝Fb＞Fc，選項B錯誤。 答案　AD [針對訓(xùn)練2] (多選)關(guān)于近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星、赤道上的物體，以下說法正確的是(　　) A.都是萬有引力等于向心力 B.赤道上的物體和同步衛(wèi)星的周期、線速度、角速度都相等 C.赤道上的物體和近地衛(wèi)星的線速度、周期不同 D.同步衛(wèi)星的周期大于近地衛(wèi)星的周期 解析　赤道上的物體是由萬有引力的一個分力提供向心力，A項錯誤；赤道上的物體和同步衛(wèi)星有相同周期和角速度，但線速度不同，B項錯誤；同步衛(wèi)星和近地衛(wèi)星有相同的中心天體，根據(jù)＝m＝mr得v＝，T＝2π，由于r同>r近，故v同<v近，T同>T近，D項正確；赤道上物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星三者間的周期關(guān)系為T赤＝T同>T近，根據(jù)v＝ωr可知v赤<v同，則線速度關(guān)系為v赤<v同<v近，故C項正確。 答案　CD 　人造衛(wèi)星、飛船的發(fā)射和變軌問題 1.當(dāng)衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動時，萬有引力提供向心力，滿足G＝m。 2.當(dāng)衛(wèi)星由于某種原因速度改變時，萬有引力不再等于向心力，衛(wèi)星將做變軌運動。 (1)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然增加時，G<m，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動。 (2)當(dāng)衛(wèi)星的速度突然減小時，G>m，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理。 3.衛(wèi)星到達橢圓軌道與圓軌道的公切點時，衛(wèi)星受到的萬有引力相同，所以加速度相同。 4.飛船對接問題 (1)低軌道飛船與高軌道空間站對接如圖3甲所示，低軌道飛船通過合理地加速，沿橢圓軌道(做離心運動)追上高軌道空間站與其完成對接。 圖3 (2)同一軌道飛船與空間站對接 如圖乙所示，后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過適當(dāng)控制，使飛船追上空間站時恰好具有相同的速度。 [試題案例] [例3] (多選)如圖4所示，發(fā)射同步衛(wèi)星的一般程序是：先讓衛(wèi)星進入一個近地的圓軌道，然后在P點變軌，進入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道(該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步圓軌道上的Q)，到達遠地點Q時再次變軌，進入同步軌道。設(shè)衛(wèi)星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點P點的速率為v2，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在同步軌道上的速率為v4，三個軌道上運動的周期分別為T1、T2、T3，則下列說法正確的是(　　) 圖4 A.在P點變軌時需要加速，Q點變軌時要減速 B.在P點變軌時需要減速，Q點變軌時要加速 C.T1＜T2＜T3 D.v2＞v1＞v4＞v3 解析　衛(wèi)星在橢圓形轉(zhuǎn)移軌道的近地點P時做離心運動，所受的萬有引力小于所需要的向心力，即G＜m，而在圓軌道時萬有引力等于向心力，即G＝m，所以v2＞v1；同理，由于衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上Q點做離心運動，可知v3＜v4；又由人造衛(wèi)星的線速度v＝可知v1＞v4，由以上所述可知選項D正確；由于軌道半徑R1＜R3，橢圓軌道半長軸R1<a<R3，由開普勒第三定律＝k(k為常量)得T1＜T2＜T3，故選項C正確。 答案　CD 判斷衛(wèi)星變軌時速度、加速度變化情況的思路 (1)判斷衛(wèi)星在不同圓軌道的運行速度大小時，可根據(jù)“越遠越慢”的規(guī)律判斷。 (2)判斷衛(wèi)星在同一橢圓軌道上不同點的速度大小時，可根據(jù)開普勒第二定律判斷，即離中心天體越遠，速度越小。 (3)判斷衛(wèi)星由圓軌道進入橢圓軌道或由橢圓軌道進入圓軌道時的速度大小如何變化時，可根據(jù)離心運動或近心運動的條件進行分析。 (4)判斷衛(wèi)星的加速度大小時，可根據(jù)a＝＝G判斷。 [針對訓(xùn)練3] 如圖5所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星被月球捕獲后，首先穩(wěn)定在橢圓軌道Ⅰ上運動，其中P、Q兩點分別是軌道Ⅰ的近月點和遠月點，Ⅱ是衛(wèi)星繞月球做圓周運動的軌道，軌道Ⅰ和Ⅱ在P點相切，則(　　) 圖5 A.衛(wèi)星沿軌道Ⅰ運動，在P點的速度大于Q點的速度 B.衛(wèi)星沿軌道Ⅰ運動，在P點的加速度小于Q點的加速度 C.衛(wèi)星分別沿軌道Ⅰ、Ⅱ運動到P點的加速度不相等 D.衛(wèi)星要從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ，須在P點加速 解析　在近月點速度較大，故A正確；在P點從軌道Ⅰ運動到軌道Ⅱ，衛(wèi)星做近心運動，需減速，故D錯誤；根據(jù)牛頓第二定律，加速度大小取決于衛(wèi)星受到的萬有引力，在同一點加速度是相同的，故B、C均錯誤。 答案　A 　雙星運行問題 兩個離得比較近的天體，在彼此間的引力作用下繞兩者連線上的某一點做圓周運動，這樣的兩顆星組成的系統(tǒng)稱為雙星。如圖6所示。 圖6 1.雙星特點：兩星具有相同的角速度和周期。 2.處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力。即G＝m1ω2r1＝m2ω2r2。 3.雙星的兩個結(jié)論 (1)運動半徑：與質(zhì)量成反比，即＝。 (2)質(zhì)量之和(周期T已知)：m1＋m2＝。 [試題案例] [例4] 兩個靠得很近的天體，離其他天體非常遙遠，它們以其連線上某一點O為圓心各自做勻速圓周運動，兩者的距離保持不變，科學(xué)家把這樣的兩個天體稱為“雙星”，如圖7所示。已知雙星的質(zhì)量分別為m1和m2，它們之間的距離為L，求雙星的運行軌道半徑r1和r2及運行周期T。 圖7 解析　雙星間的引力提供了各自做圓周運動的向心力 對m1：＝m1r1ω2， 對m2：＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L， 解得r1＝，r2＝。 由G＝m1r1及r1＝得 周期T＝。 答案　r1＝　r2＝　T＝ [針對訓(xùn)練4] (2018·全國卷Ⅰ，18)(多選)2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學(xué)知識，可以估算出這一時刻兩顆中子星(　　) A.質(zhì)量之積 B.質(zhì)量之和 C.速率之和 D.各自的自轉(zhuǎn)角速度 解析　由題意可知，合并前兩中子星繞連線上某點每秒轉(zhuǎn)動12圈，則兩中子星的周期相等，且均為T＝ s，兩中子星的角速度均為ω＝，兩中子星構(gòu)成了雙星模型，假設(shè)兩中子星的質(zhì)量分別為m1、m2，軌道半徑分別為r1、r2，速率分別為v1、v2，則有G＝m1ω2r1、G＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A錯誤，B正確；又由v1＝ωr1、v2＝ωr2，則v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正確；由題中的條件不能求解兩中子星自轉(zhuǎn)的角速度，D錯誤。 答案　BC 1.(天體運動規(guī)律的理解及應(yīng)用)如圖8所示，甲、乙兩顆衛(wèi)星以相同的軌道半徑分別繞質(zhì)量為M和2M的行星做勻速圓周運動。下列說法正確的是(　　) 圖8 A.甲的向心加速度比乙的小 B.甲的運行周期比乙的小 C.甲的角速度比乙的大 D.甲的線速度比乙的大 解析　由G＝ma知a＝，因M甲＝M，M乙＝2M，r甲＝r乙，故a甲<a乙，選項A正確；由G＝mr知T2＝，據(jù)已知條件得T甲>T乙，選項B錯誤；由G＝mω2r知ω2＝，據(jù)已知條件得ω甲<ω乙，選項C錯誤；由G＝知v2＝，據(jù)已知條件得v甲<v乙，選項D錯誤。 答案　A 2.(“赤道上的物體”與“同步衛(wèi)星”以及“近地衛(wèi)星”的區(qū)別)四顆地球衛(wèi)星a、b、c、d的排列位置如圖9所示，其中a是靜止在地球赤道上還未發(fā)射的衛(wèi)星，b是近地軌道衛(wèi)星，c是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測衛(wèi)星，四顆衛(wèi)星相比較(　　) 圖9 A.a的向心加速度最大 B.相同時間內(nèi)b轉(zhuǎn)過的弧長最長 C.c相對于b靜止 D.d的運動周期可能是23 h 解析　赤道上面未發(fā)射的衛(wèi)星a和同步衛(wèi)星c相對靜止，角速度相同，所以向心加速度a＝rω2，rc>ra，所以ac>aa，選項A錯誤；根據(jù)線速度v＝rω可得vc>va，衛(wèi)星b、c、d都是萬有引力提供向心力，圓周運動線速度v＝，rd>rc>rb，所以vb>vc>vd，即b的線速度最大，相同時間內(nèi)通過的弧長s＝vt，b的最長，選項B正確；c同步衛(wèi)星相對地面、相對a靜止，根據(jù)萬有引力提供向心力可得ω＝，進而判斷b、c角速度不等，所以c不可能相對于b靜止，選項C錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力可得T＝，同步衛(wèi)星周期為24 h，那么d衛(wèi)星的軌道半徑比同步衛(wèi)星大，所以運動周期比同步衛(wèi)星長，大于24 h，選項D錯誤。 答案　B 3.(衛(wèi)星、飛船的發(fā)射和變軌問題)如圖10所示，假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ運動，到達軌道的A點變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到達軌道的近月點B再次點火進入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運動，則(　　) 圖10 A.飛船在軌道Ⅰ上的運行速度為 B.飛船在A點處點火時，速度增加 C.飛船在軌道Ⅰ上運行時通過A點的加速度大于在軌道Ⅱ上運行時通過A點的加速度 D.飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間為2π 解析　據(jù)題意，飛船在軌道Ⅰ上運動時有G＝m，經(jīng)過整理得v＝，而GM＝g0R2，代入上式計算得v＝，所以選項A錯誤；飛船在A點處點火使速度減小，飛船做靠近圓心的運動，選項B錯誤；據(jù)a＝可知，飛船兩條運行軌跡的A點距月心的距離均相等，所以加速度相等，所以選項C錯誤；飛船在軌道Ⅲ上運行一周的時間為T，G＝mR，經(jīng)過整理得T＝2π，所以選項D正確。 答案　D 4.(雙星運行問題)現(xiàn)代觀測表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特點，眾多的恒星組成了不同層次的恒星系統(tǒng)，最簡單的恒星系統(tǒng)是兩顆互相繞轉(zhuǎn)的雙星，事實上，冥王星也是和另一星體構(gòu)成雙星，如圖11所示，這兩顆行星m1、m2各以一定速率繞它們連線上某一中心O勻速轉(zhuǎn)動，這樣才不至于因萬有引力作用而吸引在一起，現(xiàn)測出雙星間的距離始終為L，且它們做勻速圓周運動的半徑r1與r2之比為3∶2，則(　　) 圖11 A.它們的角速度大小之比為2∶3 B.它們的線速度大小之比為3∶2 C.它們的質(zhì)量之比為3∶2 D.它們的周期之比為2∶3 解析　雙星的角速度和周期都相同，故A、D均錯誤；由＝m1ω2r1，＝m2ω2r2，解得m1∶m2＝r2∶r1＝2∶3，C錯誤；由v＝ωr知，v1∶v2＝r1∶r2＝3∶2，B正確。 答案　B 合格性檢測 1.(多選)a是放置在地球赤道上的物體，b是近地衛(wèi)星，c是地球同步衛(wèi)星，a、b、c在同一平面內(nèi)繞地心做逆時針方向的圓周運動，某時刻，它們運行到過地心的同一直線上，如圖1所示。一段時間后，它們的位置可能是下列選項中的(　　) 圖1 解析　地球赤道上的物體與同步衛(wèi)星做圓周運動的角速度相同，故c始終在a的正上方，近地衛(wèi)星轉(zhuǎn)動的角速度比同步衛(wèi)星大，故一段時間后b可能在a、c的連線上，也可能不在其連線上，故選項A、C正確。 答案　AC 2.(多選)如圖2所示，同步衛(wèi)星與地心的距離為r，運行速率為v1，向心加速度為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則下列比值正確的是(　　) 圖2 A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 解析　地球同步衛(wèi)星：軌道半徑為r，運行速率為v1，向心加速度為a1；地球赤道上的物體：軌道半徑為R，隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2；以第一宇宙速度運行的衛(wèi)星為近地衛(wèi)星，其軌道半徑為R。對于衛(wèi)星，其共同特點是萬有引力提供向心力，則G＝m，故＝。對于同步衛(wèi)星和地球赤道上的物體，其共同特點是角速度相等，則a＝ω2r，故＝。 答案　AD 3.兩個質(zhì)量不同的天體構(gòu)成雙星系統(tǒng)，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動，下列說法正確的是(　　) A.質(zhì)量大的天體線速度較大 B.質(zhì)量小的天體角速度較大 C.兩個天體的向心力大小一定相等 D.兩個天體的向心加速度大小一定相等 解析　雙星系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是穩(wěn)定的，故它們的角速度相等，故B項錯誤；兩個星球間的萬有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第三定律可知，兩個天體的向心力大小相等，而天體質(zhì)量不一定相等，故兩個天體的向心加速度大小不一定相等，故C項正確，D項錯誤；根據(jù)牛頓第二定律有 G＝m1ω2r1＝m2ω2r2 其中：r1＋r2＝L 故r1＝L r2＝L 故＝＝ 故質(zhì)量大的天體線速度較小，故A項錯誤。 答案　C 4.如圖3所示，地球赤道上的山丘e、近地衛(wèi)星p和同步衛(wèi)星q均在赤道平面上繞地心做勻速圓周運動。設(shè)e、p、q的線速度大小分別為v1、v2、v3，向心加速度分別為a1、a2、a3，則(　　) 圖3 A.v1＞v2＞v3 B.v1＜v2＜v3 C.a1＞a2＞a3 D.a1＜a3＜a2 解析　衛(wèi)星的速度v＝，可見衛(wèi)星距離地心越遠，即r越大，則線速度越小，所以v3＜v2。q是同步衛(wèi)星，其角速度ω與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，所以其線速度v3＝ωr3＞v1＝ωr1，選項A、B錯誤；由G＝ma，得a＝，同步衛(wèi)星q的軌道半徑大于近地衛(wèi)星p的軌道半徑，可知向心加速度a3＜a2。由于同步衛(wèi)星q的角速度ω與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，即與地球赤道上的山丘e的角速度相同，但q的軌道半徑大于e的軌道半徑，根據(jù)a＝ω2r可知a1＜a3。根據(jù)以上分析可知，選項D正確，C錯誤。 答案　D 5.設(shè)地球半徑為R，a為靜止在地球赤道上的一個物體，b為一顆近地繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星，c為地球的一顆同步衛(wèi)星，其軌道半徑為r。下列說法中正確的是(　　) A.a與c的線速度大小之比為 B.a與c的線速度大小之比為 C.b與c的周期之比為 D.b與c的周期之比為 解析　物體a與同步衛(wèi)星c角速度相等，由v＝rω可得，二者線速度大小之比為，選項A、B均錯誤；而b、c均為衛(wèi)星，由T＝2π可得，二者周期之比為，選項C錯誤，D正確。 答案　D 6.探測器繞月球做勻速圓周運動，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運動，則變軌后與變軌前相比(　　) A.軌道半徑變小 B.向心加速度變小 C.線速度變小 D.角速度變小 解析　由G＝m知T＝2π，變軌后T減小，則r減小，故選項A正確；由G＝ma知r減小，a變大，故選項B錯誤；由G＝m知v＝，r減小，v變大，故選項C錯誤；由ω＝知T減小，ω變大，故選項D錯誤。 答案　A 7.某雙星由質(zhì)量不等的星體S1和S2構(gòu)成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點C做勻速圓周運動。由天文觀察測得其運動周期為T，S1到C點的距離為r1，S1和S2之間的距離為r，已知萬有引力常量為G，由此可求出S2的質(zhì)量為(　　) A. B. C. D. 解析　設(shè)S1和S2的質(zhì)量分別為m1、m2，對于S1有 G＝m1r1，得m2＝。 答案　D 等級性檢測 8.國務(wù)院批復(fù)，自2016年起將4月24日設(shè)立為“中國航天日”。1970年4月24日我國首次成功發(fā)射的人造衛(wèi)星東方紅一號，目前仍然在橢圓軌道上運行，其軌道近地點高度約為440 km，遠地點高度約為2 060 km；1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號衛(wèi)星運行在赤道上空35 786 km的地球同步軌道上。設(shè)東方紅一號在遠地點的加速度為a1，東方紅二號的加速度為a2，固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為a3，則a1、a2、a3的大小關(guān)系為(　　) 圖4 A.a2＞a1＞a3 B.a3＞a2＞a1 C.a3＞a1＞a2 D.a1＞a2＞a3 解析　由于東方紅二號衛(wèi)星是同步衛(wèi)星，則其角速度和赤道上的物體角速度相等，根據(jù)a＝ω2r，r2>r3，則a2>a3；由萬有引力定律和牛頓第二定律得G＝ma，由題目中數(shù)據(jù)可以得出r1<r2，則a2<a1；綜合以上分析有a1>a2>a3，選項D正確。 答案　D 9.(多選)圖5中的甲是地球赤道上的一個物體，乙是“神舟十號”宇宙飛船(周期約90 min)，丙是地球的同步衛(wèi)星，它們運行的軌道示意圖如圖5所示，它們都繞地心做勻速圓周運動。下列有關(guān)說法中正確的是(　　) 圖5 A.它們運動的向心加速度大小關(guān)系是a乙>a丙>a甲 B.它們運動的線速度大小關(guān)系是v乙<v丙<v甲 C.已知甲運動的周期T甲＝24 h，可計算出地球的密度ρ＝ D.已知乙運動的周期T乙及軌道半徑r乙，可計算出地球質(zhì)量M＝ 解析　乙和丙都是人造衛(wèi)星，由G＝ma＝m可得a＝G，v＝，所以a乙>a丙，v乙>v丙，B錯誤；又因為甲和丙的角速度相同，由a＝ω2r可得，a丙>a甲，故a乙>a丙>a甲，A正確；甲是赤道上的一個物體，不是近地衛(wèi)星，故不能由ρ＝計算地球的密度，C錯誤；由G＝mr乙可得，地球質(zhì)量M＝，D正確。 答案　AD 10.宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在形式之一是：如圖6所示，三顆星位于同一直線上，兩顆環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行，設(shè)每個星體的質(zhì)量均為M，則(　　) 圖6 A.環(huán)繞星運動的線速度為 B.環(huán)繞星運動的角速度為 C.環(huán)繞星運動的周期為T＝4π D.環(huán)繞星運動的周期為T＝2π 解析　對于某一個環(huán)繞星而言，受到兩個星的萬有引力，兩個萬有引力的合力提供環(huán)繞星做圓周運動的向心力。 對某一個環(huán)繞星： G＋G＝M＝MRω2＝MR 得v＝，ω＝，T＝4π，故C正確。 答案　C 11.中國自行研制、具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的“神舟號”飛船，目前已經(jīng)達到或優(yōu)于國際第三代載人飛船技術(shù)，其發(fā)射過程簡化如下：飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，由長征運載火箭送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，A點距地面的高度為h1，飛船飛行5圈后進行變軌，進入預(yù)定圓軌道，如圖7所示。設(shè)飛船在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，若已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R。 圖7 (1)飛船在B點經(jīng)橢圓軌道進入預(yù)定圓軌道時是加速還是減速？ (2)求飛船經(jīng)過橢圓軌道近地點A時的加速度大小； (3)求橢圓軌道遠地點B距地面的高度h2。 解析　(1)飛船在B點經(jīng)橢圓軌道進入預(yù)定圓軌道時是加速過程。 (2)在地球表面重力等于萬有引力，有mg＝① 根據(jù)牛頓第二定律有G＝maA② 由①②式聯(lián)立解得，飛船經(jīng)過橢圓軌道近地點A時的加速度大小為aA＝。 (3)飛船在預(yù)定圓軌道上飛行時由萬有引力提供向心力，有G＝m(R＋h2)③ 由題意可知，飛船在預(yù)定圓軌道上運行的周期為 T＝④ 由①③④式聯(lián)立解得h2＝－R。 答案　(1)加速　(2)　(3)－R 12.宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，已觀測到的穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種形式是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運動；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，設(shè)每個星體的質(zhì)量均為m。 (1)試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期； (2)假設(shè)兩種形式下星體的運動周期相同，則第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？ 解析　(1)對于第一種運動情況，以某個運動星體為研究對象，受力分析如圖甲所示，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有 F1＝，F(xiàn)2＝ F1＋F2＝ 運動星體的線速度v＝ 設(shè)周期為T，則有T＝ T＝4π。 (2)設(shè)第二種形式星體之間的距離為r，則三個星體做圓周運動的半徑為 R′＝ 由于星體做圓周運動所需要的向心力靠其他兩個星體的萬有引力的合力提供，受力分析如圖乙所示，由力的合成和牛頓運動定律有F合＝2cos 30° F合＝mR′，解得r＝R。 答案　(1)　4π　(2)R 18