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1、
《連續(xù)介質(zhì)力學(xué)》例題和習(xí)題
第一章 矢量和張量分析
第一節(jié) 矢量與張量代數(shù)
一、矢量代數(shù)
令, , 則有
又因?yàn)? ;;;;;;
;;
則:
習(xí)題:
1、證明下列恒等式:
1)
2)
2、請(qǐng)判斷下列矢量是否線性無(wú)關(guān)?
.
其中為單位正交基矢量。
3、試判斷是否有逆矩陣;如有,請(qǐng)求出其逆陣。
二、張量代數(shù)
例1:令是一個(gè)張量,其使得矢量,經(jīng)其變換后變?yōu)?,,假定一個(gè)矢量,求。
解:利用張量的線性性質(zhì),有:
=
例2:假定一個(gè)張量將基矢變換成以下形
2、式:
那么該張量將變換成什么樣的結(jié)果?
解:由對(duì)基矢量的變換張量可知的矩陣表示為:
則有:
即
例3:利用張量的變換定義證明:
1)若為一個(gè)二階張量,則為一四階張量;
2)若為一矢量,則對(duì)任意坐標(biāo)系滿足的為一矢量。
證明:1)因?yàn)闉橐欢A張量,由張量的變換定義有:
則有
令
則有
3、 即為一四階張量。
2)由于和分別是矢量和張量,則有
由此可得:
(*)
又因?yàn)閷?duì)于任意坐標(biāo)系都成立,則有
由(*)式可得:
等式兩邊同時(shí)乘以可得:
又因?yàn)?,則
或
所以
由于上式對(duì)任一張量都成立,則有
即
這即是矢量的定義所滿足的方程變換,因此是一個(gè)矢量的分量。
習(xí)題
1、證明:如果和為任意二階張量和的
4、分量,且對(duì)任意坐標(biāo)系都成立,則為一四階張量。
例4:已知張量的矩陣形式為:,求張量的特征值和特征向量。
解:由求特征值和特征向量的特征方程有:
由此,可得三個(gè)不同的特征值:
對(duì),由可得: (為待求的特征向量)
利用可解得:
則與對(duì)應(yīng)的特征向量為:
對(duì)于,同理有:
同樣利用可解得:
則與對(duì)應(yīng)的特征向量為:
同理,對(duì)應(yīng)的特
5、征向量為:
習(xí)題:
1、令一張量可用矩陣形式表示,則:
a)求的主值和主方向;
b)求的主不變量;
c)如果、、是的主方向,則寫出
d)針對(duì)同樣的基矢量,矩陣能否表示同樣的張量?
2、令和是任意兩個(gè)張量,試證明:
a)是一個(gè)張量;
b);
c)
3、令一張量的矩陣形式為:,則:
a)求張量的對(duì)稱部分和反對(duì)稱部分;
b)求的反對(duì)稱部分的對(duì)偶矢量(或軸矢量)。
第二節(jié) 矢量和張量的分析
例1:利用指標(biāo)定義證明下列等式:
1),
2),p是整數(shù);
3),F(xiàn)為任一標(biāo)量函數(shù)。
證明:
(1)對(duì)于任意矢量,有。
則
6、 由此也可得:
(2)對(duì)
(3)因?yàn)?
且關(guān)于i和j對(duì)稱,則對(duì)于該矢量的第k個(gè)分量有
(i,j互換)
(重新將i變?yōu)閖,j變?yōu)閕)
(利用其對(duì)稱性)
則
例2:證明
證明:令為任一二階張量,則有:
其中 ;因?yàn)?
結(jié)合二階張量的主不變量的定義可得:
這表明:
由張量的
7、標(biāo)量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義有:
(對(duì)任一二階張量)
則
又因?yàn)椋?
則有
由的任意性可得:
習(xí)題
1、令和為矢量場(chǎng),為標(biāo)量場(chǎng),證明下列不等式:
a)
b)
c) ()
d)
2、對(duì)于,其中為一常值二階張量,證明:
3、考慮一張量值函數(shù),證明:
(其中為一任意二階張量)
第二章 運(yùn)動(dòng)學(xué)
第一節(jié) 物體的運(yùn)動(dòng)
例1:考
8、慮如下運(yùn)動(dòng):,其中是質(zhì)點(diǎn)P在t時(shí)刻的位置矢量,而是質(zhì)點(diǎn)P在t=0時(shí)刻的位置矢量。請(qǐng)畫出初始時(shí)刻(t=0)具有如下圖所示邊長(zhǎng)為單位1的立方體形狀的物體在t時(shí)刻的構(gòu)型。
解:由已知運(yùn)動(dòng)可得:
,,
a)在t=0時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)O位于原點(diǎn)(0, 0, 0),對(duì)該點(diǎn)t=0坐標(biāo)為:
, ,
由此可得對(duì)任意時(shí)刻,質(zhì)點(diǎn)O的坐標(biāo)保持為:
換句話說(shuō),該點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中保持在(0, 0, 0)點(diǎn)處。
同樣,對(duì)質(zhì)點(diǎn)A,t=0時(shí)刻有:
而t時(shí)刻為:
這也表明了質(zhì)點(diǎn)A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中也保持不動(dòng)。實(shí)際上,在OA線段上所有的點(diǎn)都保持不動(dòng)。
b)然而對(duì)線
9、段CB上的點(diǎn),t=0時(shí)刻的坐標(biāo)為:
而由給定的運(yùn)動(dòng)方程可得t時(shí)刻的坐標(biāo)為:
這表明線段CB在水平方向上移動(dòng)一個(gè)距離kt。
c)對(duì)于線段OC上的點(diǎn),t=0時(shí)刻的坐標(biāo)為:
而t時(shí)刻的坐標(biāo)則為:
表示直線OC在t時(shí)刻還是一條直線,即如圖所示的
d)同樣,線段AB在t時(shí)刻也保持為一條直線,即。
這一個(gè)運(yùn)動(dòng)實(shí)際上就是距形平面在面內(nèi)的簡(jiǎn)單剪切運(yùn)動(dòng)。
第二節(jié) 變形梯度
例1、一個(gè)連續(xù)體變形以后的構(gòu)形為:
,,
求其位移場(chǎng)。
解:
這表示受壓縮過(guò)程。
例2、在直角坐標(biāo)系下給定一個(gè)運(yùn)動(dòng)為:,
10、,
。求t=0,和時(shí)刻的變形梯度。
解:因?yàn)?
所以t=0時(shí)刻,
時(shí)刻,
例3、如果,,,求a)、變形梯度;b)、右伸長(zhǎng)張量;c)、旋轉(zhuǎn)張量;d)、左伸長(zhǎng)張量
解:(a)
(b)因?yàn)?
所以 (因?yàn)樯鲜揭粋€(gè)正定的根)
(c)
(d)
或者
例4:給定在t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng): ,,。求如圖所示的材料線段:(a)OP,(b)、OQ,(c)、OB的伸長(zhǎng)。
解:由給定的運(yùn)動(dòng)方程可得變形梯度張量
11、為:
(對(duì)稱的定張量)
可見給定的變形是均勻的純伸長(zhǎng)變形。其特征向量為、、,而對(duì)應(yīng)的特征值分別為:3、4、1。
由此可得:(a)對(duì)OP線段,其伸長(zhǎng)即為3
(b)對(duì)OQ線段,其伸長(zhǎng)即為4
(c)對(duì)材料線段OB,有
變形后為:
則
即
其伸長(zhǎng)為:
變形前,線段OB和軸的夾角為,但變形后該夾角變?yōu)椤?
例5:對(duì)簡(jiǎn)單的剪切變形:,,。
求:1)Lagrange應(yīng)變張量;
12、 2)線段OB變形后的長(zhǎng)度;
3)比較和線段OB變形后的長(zhǎng)度值關(guān)系。
解:1)因?yàn)?
所以
則由可得:
2)由圖所示的幾何關(guān)系可得OB段的長(zhǎng)度變形后為,即
3) 因?yàn)?,則有
因?yàn)椋瑒t有:
可見和有關(guān),當(dāng)k很小時(shí),有。
例6:考慮如下單軸應(yīng)變場(chǎng)對(duì)應(yīng)的位移分量
13、為:
,
(a)計(jì)算其Lagrange應(yīng)變張量和無(wú)限小張量;
(b)利用和來(lái)計(jì)算,變形前后的伸長(zhǎng);
(c)對(duì)線段,利用和分別計(jì)算其。
解:(a)
(b)由,有,則有,
即
另外,由=k,有,也可得
(c)令,則
則 (這可以由如圖所示的幾何關(guān)系而得)
同樣,對(duì),有:
則
注意到,當(dāng)k很小時(shí),,兩者一致。
例7:對(duì)簡(jiǎn)
14、單的剪切變形:,,
(a)求Caudy-Green變形張量和;
(b)利用驗(yàn)證對(duì)這一變形,
;
(c)驗(yàn)證:
(d)計(jì)算和
(e)畫出線元和變形前后的位置。由圖計(jì)算這兩個(gè)線元的伸長(zhǎng)并與和比較。
解:(a)因?yàn)?
所以 ,
(b)因?yàn)?
所以給出的滿足要求。
(c)因?yàn)?
所以給出的正確。
(d)由前面給出的可得為:
15、 則可得:
令
(e)由圖可見,由表示,變形后變?yōu)椤?
由于E和點(diǎn)之間的距離為kd,其保證是關(guān)于線段的 鏡像,其長(zhǎng)度與相同,則該線元的伸長(zhǎng)為1,這與的值相同。
同樣,由表示,變形后為,則長(zhǎng)度的平方為:
而的長(zhǎng)度dS=1,則有:
習(xí)題:
1、對(duì)于一運(yùn)動(dòng),其中為一個(gè)小的常數(shù)張量(即其分量值小且與無(wú)關(guān)),證明其無(wú)限小應(yīng)變張量可寫為:
2、考慮如下運(yùn)動(dòng):;令和為求
16、變形構(gòu)形中的兩個(gè)微材料線元。
(a)求變形后的和;
(b)計(jì)算這些線元的伸長(zhǎng),以及它們之間的夾角的變化;
(c)令和,重復(fù)(b)的計(jì)算;
(d)比較(c)的結(jié)果和由小應(yīng)變張量得到的結(jié)果。
3、給定如下運(yùn)動(dòng):,,,求:
(a);(b)和;(c);(d);(e)Lagrange應(yīng)變;(f)Euler應(yīng)變;(g)變形前后的體積比;(h)法向矢量為,大小為1的單位面積變形后的大小和法向量。
4、給定如下大小的剪切變形:,,,
(a)求伸長(zhǎng)張量,并驗(yàn)證(右Caudy-Green張量);
(b)方向?yàn)樯暇€元的伸長(zhǎng)為多少?
(c)計(jì)算方向?yàn)樯系木€元的伸長(zhǎng);
(d)線元和變形后的夾角為多少?
5、給定位移場(chǎng):,,。確定如圖所示的對(duì)角線線段OA的長(zhǎng)度增加量:(a)利用應(yīng)變張量;(b)利用幾何關(guān)系。已知:的方向?yàn)椤?