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2019-2020年高三數學上學期第一次模擬考試試題 理（含解析） 第Ⅰ卷(共60分) 【試卷綜析】本試題是一份高三一模考試的好題，涉及范圍廣，包括集合、不等式、簡易邏輯、函數、導數、程序框圖、平面向量、三角函數等高考核心考點，又涉及了集合與簡易邏輯、基本函數、三角向量、導數應用的方方面面等必考解答題型。本題難易程度設計比較合理，梯度分明；既有考查基礎知識的經典題目，如17,18,19,20又有考查能力的創(chuàng)新題目，如21,22；從10,12,16等題能看到在創(chuàng)新方面的努力，從1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,13,14,15等題可以看出考基礎，考規(guī)范；從22題可以看出考融合，考拓展，考創(chuàng)新。 一．選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 【題文】1.若集合，且，則集合可能是 A.　　　　 B. 　　　　C.　　　　D. 【知識點】集合及其運算A1 【答案解析】A 解析：，易知A對 【思路點撥】轉化是關鍵。 【題文】2.已知，則下列結論錯誤的是 A. B. C. D. 【知識點】不等式的概念與性質E1 【答案解析】C 解析：由易得兩邊都乘，且，所以，故C錯。 【思路點撥】不等式的性質要嫻熟運用。尤其倒數不等式的性質。 【題文】3.若不等式對一切實數都成立，則的取值范圍為 A. B. C. D. 【知識點】不等式 E8 【答案解析】 D 解析：顯然時滿足題意，故排除A、B； 時，不滿足題意。故選D 【思路點撥】恒成立問題是高考特別能考的問題，一定要掌握。含參數的二次不等式恒成立主要要討論。 【題文】4.規(guī)定，若，則函數的值域 A. B． C． D． 【知識點】函數及其表示B1 【答案解析】A 解析：由得， 【思路點撥】新定義關鍵是會“套”模式，套的合適，準確。 【題文】5. 設命題函數在定義域上為減函數；命題,當時, ，以下說法正確的是 A.為真 B.為真 C.真假　 D.，均假 【知識點】命題及其關系 函數單調性 不等式的性質A2 B3 E1 【答案解析】 D 解析：因為的定義域是，知道假；而由，得，故也假。 【思路點撥】復合命題真假判斷關鍵是簡單命題判斷準確。 【題文】6.某流程圖如圖所示，現輸入如下四個函數，則可以輸出的 函數是 A． B． C． D． 【知識點】程序框圖 函數奇偶性 函數的零點 L1 B4 B9 【答案解析】 B 解析：從程序框圖讀出的信息是是否是奇函數，有沒有函數零點。答案A是奇函數，但沒有零點；答案B是奇函數，且是零點，滿足題意；答案C一看沒有零點；答案D是偶函數。 【思路點撥】破獲題中信息是關鍵，再一個個檢驗。 【題文】7.函數為偶函數，且上單調遞減，則 的一個單調遞增區(qū)間為 A. B. C. D. 【知識點】復合函數的單調性 函數的奇偶性B3 B4 【答案解析】 C 解析：由題易知函數圖像在單增，在上單調遞減；而內層函數在單增，在上單調遞減。由； 因此：時，外層函數增，內層函數增，復合函數增； 時，外層函數增，內層函數減，復合函數減； 時，外層函數減，內層函數減，復合函數增； 時，外層函數減，內層函數增，復合函數減；故選C 【思路點撥】分清外層、內層函數，熟悉組合規(guī)則。 【題文】8.下列命題正確的個數是 ①“在三角形中，若,則”的否命題是真命題； ②命題或，命題則是的必要不充分條件； ③“”的否定是“”. A.0 B.1 C.2 D.3 【知識點】簡易邏輯A2 A3 A4 【答案解析】 D 解析：①在三角形中，等價于；②由，易知他的逆否命題成立；③符合全稱命題的否定形式。 【思路點撥】高考對細節(jié)的考查，就是對非主干知識的聯合考查，基礎要扎實。 【題文】9．已知函數若互不相等，且，則的取值范圍是 A．（1，xx） B．（1，xx） C．（2，xx） D．[2，xx] 【知識點】函數圖像 函數圖像的交點 對稱 不等式 B8 B9 E8 【答案解析】 C 解析：先畫出函數圖像，再分析 由于函數的周期為，，故它的圖象關于直線對稱，不妨設，則．故有，再由正弦函數的定義域和值域可得，故有，解得，綜上可得，，故選C． 【思路點撥】從圖像中讀出對稱，讀出c的范圍 【題文】10.下列四個圖中,函數的圖象可能是 【知識點】函數圖像B1 B8 【答案解析】 C 解析：從研究函數出發(fā)，，由推得，由推得；∴在上，函數遞增，在，圖像下降；因此研究函數易知它是奇函數，x大于零時符合上面結論，而當函數變?yōu)樵瓉砗瘮禃r對稱中心應為，只有圖形C符合。 【思路點撥】學會把復雜問題分解為簡單而且易操作的問題是能力。由此及彼，由簡單到復雜。 【題文】11.設函數,.若實數滿足,，則 A． B． C． D． 【知識點】函數的零點B9 【答案解析】 A解析：畫圖知且，因此選A 【思路點撥】數形結合是最好的破解途徑。 【題文】12.已知定義在R上的偶函數在上是增函數，不等式對任意恒成立，則實數的取值范圍是 A. B. C. D. 【知識點】函數的單調性與奇偶性 不等式恒成立 B3 B4 E8 【答案解析】 B解析：此時檢驗和即可 【思路點撥】偶函數性質，轉化是關鍵。解不等式常規(guī)是平方，但選擇題可以從選擇支的細微差別入手代入檢驗。 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分 【題文】13.設,函數,則的值等于 ． 【知識點】三角運算 函數值運算B1 C2 【答案解析】 8 解析：首先， ∴ 【思路點撥】分段函數的值要關注自變量的范圍 【題文】14.實數滿足若目標函數的最大值為4，則實數的值為 . 【知識點】線性規(guī)劃E5 【答案解析】 2 解析：畫出可行域，由目標函數的最大值為4，知道目標函數經過點時達到最大值，∴ 【思路點撥】畫圖是基礎，平移是關鍵，頂點是突破。 【題文】15.已知，則滿足不等式的實數的最小值是 . 【知識點】對數運算 不等式B4 C3 D1 【答案解析】 1 解析： ∵ ∴ 【思路點撥】恒成立問題轉化為求不等式的最小值。 【題文】16.定義在上的函數滿足，當,，則函數的在上的零點個數是 ． 【知識點】函數的周期、函數圖像、函數與方程B4 B8 B9 【答案解析】 605 解析：由，可知，則，所以是以10為周期的周期函數. 在一個周期上，函數在區(qū)間內有3個零點，在區(qū)間內無零點，故在一個周期上僅有3個零點，由于區(qū)間中包含了201個周期還多5個單位，有個零點，又時也存在一個零點，故在上的零點個數為 【思路點撥】第一會破解周期性；第二注意到函數的零點個數；第三要回統計整個函數的零點個數。 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 【題文】17．（本小題滿分10分） 已知冪函數在上單調遞增，函數 ． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）當時，記，的值域分別為集合，若，求實數的取值范圍. 【知識點】化學與環(huán)境B4 C3 D1 【答案解析】 解析： 【知識點】冪函數 單調性 指數函數 集合B8 B3 B6 A1 【答案解析】 解析：（Ⅰ）依題意得：或 當時，在上單調遞減，與題設矛盾，舍去 ． ……………5分 （Ⅱ）當時，，單調遞增，， ，，． ……………12分 【思路點撥】本題屬于函數集合知識的小綜合題，雖然不難，但牽扯面廣，多加注意。 【題文】18．（本小題滿分12分） 已知向量，設函數 （Ｉ）求的單調遞增區(qū)間； （ＩＩ）求在上的最大值和最小值 【知識點】三角函數 平面向量 函數最值 函數單調性C7 F3 B3 【答案解析】 解析： (Ⅰ) = . ……………4分 當時，解得， 的單調遞增區(qū)間為. ……………8分 (Ⅱ)當時，，由標準函數在上的圖像知道 所以, 在上的最大值和最小值分別為. ……………12分 【思路點撥】本題有幾個關注點：1是數量積公式會用，2是三角函數式的化簡；3是單調區(qū)間的套用；4是函數在閉區(qū)間上的最值求法。都屬基礎范疇。 【題文】19. （本小題滿分12分） 已知函數，設命題：“的定義域為”; 命題:“的值域為” ． （Ⅰ）分別求命題、為真時實數的取值范圍； （Ⅱ）是的什么條件?請說明理由. 【知識點】函數的定義域與值域 充要條件 B1 A2 【答案解析】 解析： 解:(Ⅰ)命題為真,即的定義域是,等價于恒成立, 等價于或 解得或.∴實數的取值范圍為,, ……………4分 命題為真,即的值域是, 等價于的值域, 等價于或 解得.∴實數的取值范圍為, ……………8分 (Ⅱ)由(Ⅰ)(Ⅱ)知,:;:. 而,∴是的必要而不充分的條件 ……………12分 【思路點撥】復合對數型函數的定義域與值域問題是比較難理解的問題，本題通過命題形式綜合考察了這兩個方面。都歸結為判別式問題。第二問相互之間是啥條件主要歸到范圍的包含關系上。 【題文】20.（本小題滿分12分） 已知函數(其中). （Ⅰ）若為的極值點,求的值； （Ⅱ）在(Ⅰ)的條件下,解不等式. 【知識點】導數 不等式 B12 E8 【答案解析】 解析： (Ⅰ)因為 ∴ = 因為為的極值點,所以由,解得 檢驗,當時, ,當時, ,當時, . 所以為的極值點,故. ……………4分 (Ⅱ) 當時,不等式 整理得, 即或 令,,, 當時, ；當時, , 所以在單調遞減,在單調遞增,所以,即, 所以在上單調遞增,而； 故；, 所以原不等式的解集為. ……………12分 【思路點撥】第一問最容易出錯的地方是不驗證；第二問不等式證明問題通常轉化為函數問題來研究。二次求導現在是比較常用的手段了。 【題文】21.（本小題滿分12分） 已知，函數.設，記曲線在點 處的切線為，與軸的交點是，為坐標原點. （Ⅰ）證明：； （Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求的取值范圍. 【知識點】拋物線 切線 平面向量 恒成立 H7 B12 F3 E8 【答案解析】 （Ⅰ)解：曲線在點處的切線的方程為 令，得 ……………4分 (Ⅱ) 在上恒成立 設， 令，解得， 當時，取極大值 10當,即時，，滿足題設要求； 20當，即，， 若，解得. 綜上，實數的取值范圍為. …………12分 【思路點撥】第一問屬于常規(guī)切線知識，易求；第二問把不等式問題轉化為求函數的最大值，倒也不難。 【題文】22.（本小題滿分12分） 已知函數，且． （Ⅰ）討論函數的單調性； （Ⅱ）當時，若，證明:. 【知識點】導數綜合應用 不等式證明B12 E7 【答案解析】.解：（1）由題， . …………………………………………………2分 令，因為故. 當時，因且所以上不等式的解為, 從而此時函數在上單調遞增. ……………………4分 當時，因所以上不等式的解為， 從而此時函數在上單調遞增. 同理此時在上單調遞減. ……………………………6分 （2）（方法一）要證原不等式成立，只須證明， 只須證明. 因為所以原不等式只須證明， 函數在內單調遞減. ……………8分 由（1）知， 因為， 我們考察函數,. 因， 所以. ……………………………10分 從而知在上恒成立， 所以函數在內單調遞減. 從而原命題成立 ……………………………………………12分 （方法二）要證原不等式成立，只須證明， 只須證明. 又， 設， 則欲證原不等式只須證明函數在內單調遞減 ………………8分 由（1）可知 . 因為，所以在上為增函數， 所以. 從而知在上恒成立， 所以函數在內單調遞減. 從而原命題成立. …………………12分 【思路點撥】第一問較常規(guī)，力爭得滿分；第二問實際上就是兩點連線的斜率。轉化為函數在內單調遞減很關鍵。