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,,材 料 力 學 復 習,,第二章 軸向拉伸與壓縮,,,軸向拉伸（壓縮）強度條件：,軸向拉伸（壓縮）時的變形：,（胡克定律）,剪切強度條件：,擠壓強度條件：,,,,,,F,l,l,a,a,a,1,2,A,B,C,D,,,SMB= 0 FN1 a – F a + FN2 2a= 0 （a）,解： 1) 計算各桿軸力(受力圖如圖1示),2) 變形幾何關系(位移圖如圖示),Dl2= 2Dl1 (b),3) 物理關系,代入(b),SFy= 0 FB +FN2– F a - FN1 = 0,例1.圖示結(jié)構中，水平梁為剛性梁，桿1和桿2的抗拉剛度相同，F(xiàn)=100kN, A=200mm2 ,許用應力 [? ]=160 MPa ，試求1)在力作用下桿1和桿2的軸力; 2)校核桿的強度。,,,,,例1.圖示結(jié)構中，水平梁為剛性梁，桿1和桿2的抗拉剛度相同，F(xiàn)=100kN, A=400mm2 ,許用應力 [? ]=160 MPa ，試求1)在力作用下桿1和桿2的軸力; 2)校核桿的強度。,F,l,l,a,a,a,1,2,A,B,C,D,,,SMB= 0 FN1 a – F a + FN2 2a= 0 （a）,解： 1) 計算各桿軸力(受力圖如圖1示),聯(lián)立(a) (c) 解之,Dl2= 2Dl1 (b),2) 桿的強度校核,桿1：,桿2：,由上知：桿1和桿2均滿足強度要求,例2 設橫梁為剛性梁，桿 1、2 長度相同為 l ，橫截面面積分別 為A1、A2，彈性模量分別為 E1、E2，F(xiàn)、a 已知。 試求：桿 1、2的軸力。,解： 1) 計算各桿軸力,SMA= 0 FN1a + FN2 2a – F 2a = 0,FN1+ 2FN2 – 2F = 0 (a),2) 變形幾何關系,Dl2= 2Dl1 (b),3) 物理關系,代入(b),,例2 設橫梁為剛性梁，桿 1、2 長度相同為 l ，橫截面面積分別 為A1、A2，彈性模量分別為 E1、E2，F(xiàn)、a 已知。 試求：桿 1、2的軸力。,解： 1) 計算各桿軸力,SMA= 0 FN1a + FN2 2a – F 2a = 0,FN1+ 2FN2 – 2F = 0 (a),代入(b),聯(lián)立(a) (c) 解之,,例3. 已知結(jié)構如圖示，梁AB為剛性，鋼桿CD直徑 d = 20 mm， 許用應力 [? ]=160 MPa，F(xiàn) = 25 kN。 求：(1) 校核CD桿的強度； (2) 確定結(jié)構的許可載荷[ F ] ； (3) 若F = 50 kN，設計CD桿的直徑。,解：(1) 校核CD桿的強度,CD桿軸力FNCD：,SMA= 0 FNCD2a – F 3a = 0,∴ FNCD = 1.5F,CD桿應力 ?CD：,∵ ?CD [? ] ∴ CD桿強度足夠。,,(2) 確定結(jié)構的許可載荷[ F ],∵,∴,∴ [ F ] = 33.5 kN,(3) 若F = 50 kN，設計CD桿的直徑。,∵,∴,,圓整，取直徑 d = 25 mm。,例4. 已知支架如圖示，F(xiàn) = 10 kN， A1= A2= 100 mm2。 兩桿許用應力 [? ]=160 MPa，試校核兩桿強度。,截面法：取銷B和桿1、2的一部分分析,解： 1) 計算兩桿軸力,2) 校核兩桿強度,受力：F、軸力FN1、 FN2,SFx= 0 – FN2 –FN1 cos 45 = 0,∴ FN1 = 1.414 F =14.14 kN,SFy= 0 FN1 sin45 – F = 0,FN2 = – F = –10 kN (圖中方向相反),AB桿：,BC桿：,綜上：兩桿均滿足強度要求,,例5. 圖示結(jié)構，BC桿[? ]BC=160 MPa，AC桿[? ]AC=100 MPa， 兩桿橫截面面積均為 A = 2 cm2。 求：結(jié)構的許可載荷[ F ] 。,解：(1) 各桿軸力,∴ FNAC = 0.518F FNBC = 0.732F,∴ F ≤ 3.86 104 N= 38.6 kN,SFx= 0 FNBC sin30 – FNAC sin 45 = 0,SFy= 0 FNBC cos30 – FNAC cos 45 – F = 0,(2) 由AC桿強度條件：,0.518F ≤ A[? ]AC = 210–4 100 106,∴ F ≤ 4.37104 N= 43.7 kN,(3) 由BC桿強度條件：,0.732F ≤ A[? ]BC = 210–4 160 106,,(4) 需兩桿同時滿足強度條件：應取較小值，[F ] = 38.6 kN,例6 桿 1、2、3 用鉸鏈連接如圖，各桿長為：l1=l2 =l、l3，各桿 面積為A1=A2=A、A3 ；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。 F、a 已知。 求各桿的軸力。,解： 1) 計算各桿軸力,SFx= 0 –FN1sina + FN2sina = 0,SFy= 0 2FN1cosa + FN3 – F = 0 (a),FN1= FN2,,A1,2) 變形幾何關系,,Dl1= Dl3 cosa (b),3) 物理關系,(b),代入(b),聯(lián)立(a) (c) 解之,,第三章 扭 轉(zhuǎn),,,例題：3-1，3-2，3-4 習題：3-8, 3-11, 3-14,外力偶矩Me的計算公式：,圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件：,P : kW n : r/min,圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件：,極慣性矩Ip 和抗扭截面系數(shù)Wt,實心圓截面：,空心圓截面：,,,,,2.59、一螺栓將拉桿與厚為8㎜的兩塊蓋板相連接。各零件材料相同，許用應力均為[? ] = 80MPa，[? ]=60MPa ， [?bs ] = 160MPa 。若拉桿的厚度d=16mm，拉力F=120kN，試設計螺栓直徑d及拉桿寬度b。（14分）,,解： 1) 按拉伸強度要求設計拉桿的寬度,拉桿的軸力FN = F, 其強度條件為,解上式得,,,,2.59 、一螺栓將拉桿與厚為8㎜的兩塊蓋板相連接。各零件材料相同，許用應力均為[? ] = 80MPa，[? ]=60MPa ， [?bs ] = 160MPa 。若拉桿的厚度d=16mm，拉力F=120kN，試設計螺栓直徑d及拉桿寬度b。（14分）,,2) 按剪切強度要求設計螺栓的直徑,螺栓所承受的剪力Fs= F/2, 應滿足剪切強度條件,解上式得,,,,2.59 、一螺栓將拉桿與厚為8㎜的兩塊蓋板相連接。各零件材料相同，許用應力均為[? ] = 80MPa，[? ]=60MPa ， [?bs ] = 160MPa 。若拉桿的厚度d=16mm，拉力F=120kN，試設計螺栓直徑d及拉桿寬度b。（14分）,,3) 按擠壓強度要求設計螺栓的直徑,擠壓強度條件為,解上式得,1) 按拉伸強度要求設計拉桿的寬度,b = 93.75mm,2) 按剪切強度要求設計螺栓的直徑,d = 35.7mm,比較以上三種結(jié)果，取,d = 47mm, b = 94mm,例1.實心軸和空心軸通過牙嵌式離合器連接在一起.已知：P＝7.5kW, n=100r/min,許用切應力???＝40MPa,空心圓軸的內(nèi)外徑之比 ? = 0.5。求: 實心軸的直徑d1和空心軸的外徑D2。,,解：軸所傳遞的扭矩,扭轉(zhuǎn),,,,,實心圓軸的強度條件,實心圓軸的直徑:,扭轉(zhuǎn),,,,空心圓軸的強度條件,空心圓軸的外徑:,,例2 已知一傳動軸為鋼制實心軸，許用切應力 [? ] = 30 MPa， [? ] = 0.3 /m，G = 80 GPa， n = 300 r/min，主動輪輸入 PA = 500 kW，從動輪輸出 PB =150 kW，PC= 150 kW，PD= 200 kW。 試按強度條件和剛度條件設計軸的直徑 D。,解：1.應先作出軸的扭矩圖， 確定Tmax， (1) 計算外力偶矩,,(2) 各段扭矩,BC段：截面1-1,S Mx=0 T1 + MB = 0,∴ T1 = – MB= –4.775 kNm,CA段：截面2-2,S Mx=0 T2 + MB + MC = 0,∴ T2 = – MB – MC = –9.55 kNm,AD段：截面3-3,S Mx=0 T3 – MD = 0,∴ T3 = MD = 6.336 kNm,,(3) 繪制扭矩圖,∴ CA 段為危險截面：,4.775,9.55,6.336,,,,| T |max = 9.55 kNm,T1 = –4.775 kNm,T2 = –9.55 kNm,T3 = 6.336 kNm,(kNm),,CA 段：|T |max = 9.55 kNm。,2.設計軸的直徑 D (1) 強度條件,(2)剛度條件,∴ D ≥ 12.34 cm， 圓整，取 D = 12.5 cm,,例3 某傳動軸轉(zhuǎn)速 n = 500 r/min，輸入功率 P1 = 370 kW，輸出 功率分別 P2 = 148 kW及 P3 = 222 kW。已知：G = 80 GPa， [? ] = 70 MPa，[? ] = 1/m。試確定：,解：(1) 外力偶矩、扭矩圖,,,–7.066,– 4.24,作扭矩圖：,(1) AB 段直徑 d1 和 BC 段直徑 d2？ (2) 若全軸選同一直徑，應為多少？ (3) 主動輪與從動輪如何安排合理？,,由強度條件：,(2) AB 段直徑 d1 和 BC 段直徑 d2,由剛度條件：,,,–7.066,– 4.24,,∴ 取 AB段直徑：d1= 85 mm， BC段直徑 ：d2 = 75 mm,(3) 若全軸選同一直徑時,∴ ?。篸 = 85 mm,(4) 主動輪與從動輪如何安排合理,將主動輪A設置在從動輪之間：,此時軸的扭矩圖為：,| T |max = 4.24 kNm,軸的直徑：d = 75 mm,較為合理。,,,–7.066,– 4.24,,,– 4.24,2.826,,第 四 章 彎 曲 內(nèi) 力,剪力方程和彎矩方程,剪力圖和彎矩圖,,,,,彎曲內(nèi)力,● 剪力Fs: 構件受彎時，作用線平行于其橫截面的內(nèi)力。,● 剪力和彎矩的符號規(guī)則:,,● 彎矩M: 構件受彎時作用面垂直于其橫截面的內(nèi)力偶矩。,,②彎矩 M：使梁變成凹形的為正彎矩；使梁變成凸形的為負彎矩。,M(x)圖為一向上凸的二次拋物線.,FS(x)圖為一向右下方傾斜的直線.,q(x)、FS(x)圖、M（x）圖三者間的關系,1.梁上有向下的均布荷載,即 q(x) 0,,,,彎曲內(nèi)力,,,2.梁上無載荷區(qū)段，q(x) = 0,FS(x)圖為一條水平直線.,M(x)圖為一斜直線.,當 FS(x) 0 時,向右上方傾斜.,當 FS(x) 0 時,向右下方傾斜.,,,,5.最大剪力可能發(fā)生在集中力所在截面的一側(cè);或分布載荷發(fā)生變化的區(qū)段上. 梁上最大彎矩 Mmax可能發(fā)生在FS(x) = 0 的截面上; 或發(fā)生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用處的一側(cè).,3.在集中力作用處剪力圖有突變,其突變值等于集中力的值.彎矩圖有轉(zhuǎn)折.,4.在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化.,,,,彎曲內(nèi)力,,,剪力、彎矩與分布載荷間的關系及特點：,,,,,,,,外力,,無外力,均布載荷,集中力處,集中力偶處,FS圖特征,M圖特征,,,水平直線,,斜直線,向下突變,無變化,,斜直線,,,拋物線,產(chǎn)生折點,,,,,,,,,,,向下突變,,作梁 FS 圖、M 圖步驟：,(1) 求梁約束力；,(2) 分段寫FS 方程、M 方程；,(3) 分段作 FS 圖、M 圖；,(4) 確定 | FS |max、| M |max 及其所在截面位置。,,例1、作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖，并寫出|Fs|max和|M|max.,,,解：(1) 約束力FA 、FB,,解上兩式得：,,,qa,,qa2,,(2) FS 方程、M 方程,AB段：,,FS = FA = qa ( 0 x a ),,當x = 0時：,Fs = qa, M = 0,當x = a時：,Fs = qa, M = qa2,( 0 x a ),例1、作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖，并寫出|Fs|max和|M|max.,,,解：(1) 約束力FA 、FB：,,,,qa,,qa2,,(2) FS 方程、M 方程,AB段：,,FS = FA = qa ( 0 x a ),,( 0 ≤ x ≤a ),當x = a時：,Fs = qa, M = qa2,當x = 2a左時：,BC段：,F,FS = FA –q(x-a)=2qa-qx ( a x 2 a ),( a≤ x ≤2a ),,,例1、作圖示簡支梁的剪力圖和彎矩圖，并寫出|Fs|max和|M|max.,,,解：(1) 約束力FA 、FB：,,,,qa,,qa2,,(2) FS 方程、M 方程,AB段：,,FS = FA = qa ( 0 x a ),,( 0 ≤ x ≤a ),當 x = 3a 時：,當 x = 2a右 時：,BC段：,FS = FA –q(x-a)=2qa-qx ( a x 2 a ),( a≤ x ≤2a ),,,CD段：,FS = q(3a-x)-FD= q(3a-x) -2qa ( 2a x 3 a ),( 2a≤ x ≤3a ),,,,|FS|max = 2qa,|M|max = 1.5qa2,例2. 求下列各圖示梁的剪力方程和彎矩方程,并畫出剪力圖和彎矩圖。,解：①求支反力,②寫出剪力方程 和彎矩方程,,F,,YO,,,L,③根據(jù)方程畫剪力圖 和彎矩圖,,,(a),,解：①寫出剪力方程 和彎矩方程,②根據(jù)方程畫剪力圖 和彎矩圖,,,,L,,q,(b),,,例3 作圖示簡支梁的 FS 圖、M 圖, 并寫出|Fs|max 和|M|max 。 。,解：(1) 約束力FA 、FB,SMB(F) = 0 – FAl + Fb = 0,FA = Fb/ l,SFy= 0 FA + FB – F = 0,FB = F – FA = Fa /l,(2) FS 方程、M 方程,AC段：,FS = FA = Fb/ l ( 0 x a ),( 0 ≤ x ≤a ),CB段：,FS = FA – F = – Fa / l ( a x l ),( a ≤ x ≤ l ),,AC段：,FS = FA = Fb/ l ( 0 x a ),( 0 ≤ x ≤a ),CB段：,FS = FA – F = – Fa / l ( a x l ),( a ≤ x ≤ l ),(3) 作FS 圖、M 圖,AC段：x = 0，F(xiàn)S = 0 x = a ，F(xiàn)S = Fb /l,Fb /l,CB段：x = a，F(xiàn)S = Fb /l x = l ，F(xiàn)S = – Fa /l,,十,,一,Fa /l,,AC段：,FS = FA = Fb/ l ( 0 x a ),( 0 ≤ x ≤a ),BC段：,FS = FA – F = – Fa / l ( a x l ),( a ≤ x ≤ l ),(3) 作FS 圖、M 圖,,,,AC段：x = 0， M = 0,CB段：,x = a，,x = a ，,x = l ， M = 0,,,十,,Fb /l,,十,,一,Fa /l,,由FS 圖可知：,稱|FS |max、Mmax 所在截面為危險截面。,注意：|FS |max、|M|max不一定為同一 截面。,另外：,C截面：x = a，,CB段：|FS |max= Fa / l,由M 圖可知：,在集中力作用處，F(xiàn)S圖上有突變，突變值等于集中力數(shù)值，突變方向與集中力方向相同。,,,,,,十,,Fb /l,,十,,一,Fa /l,,例4 作圖示簡支梁的 FS 圖、M 圖。,解：(1) 約束力FA 、FB,SMB(F) = 0 FA= Me/l,SFy= 0 FB = – Me/l,(2) FS 方程、M 方程,AC段：,FS = FA = Me/l ( 0 x a ),( 0 ≤ x ≤a ),CB段：,FS = FA = Me/l ( a x l ),( a ≤ x ≤ l ),,,(3) FS 圖、M 圖,AC段：,FS = FA = Me/l ( 0 x a ),( 0 ≤ x ≤a ),CB段：,FS = FA = Me/l ( a x l ),( a ≤ x ≤ l ),,一,Me /l,FS 圖：為一水平線。,十,,十,M 圖：,AC段：為一斜直線。,x = 0，M = 0,CB段：為一斜直線。,x = a，,x = l，M = 0,,,,x = a，,可知：,x = a+,另外：,在集中力偶作用處，M 圖上有突變，突變值等于集中力偶矩數(shù)值，突變方向與集中力偶矩對其右側(cè)梁的作用效果而定。,,,一,Me /l,十,,十,,,,由例題可知 FS 圖、M 圖的一些特征：,(1) 梁上無均布載荷 q 作用處，F(xiàn)S 圖為一水平線，M 圖為一直 線，常為斜直線；,(2) 在 q 作用處，F(xiàn)S 圖為斜直線，M 圖為一拋物線；,(3) 在集中力 F 作用處，F(xiàn)S 圖上有突變，M 圖上有一折點；,(4) 在集中力偶 Me 作用處，F(xiàn)S 圖上無影響，M 圖上有一突變；,(5) | M |max可能發(fā)生在集中力或集中力偶作用處。,,例5 .一簡支梁受均布載荷作用，其集度q=100kN/m, 如圖所示.試用簡易法作此梁的剪力圖和彎矩圖.,解：（1）計算梁的支反力,將梁分為 AC、CD、DB 三段. AC和DB上無載荷， CD段有向下的均布載荷.,,,E,,,,,,,,q,,,,,,,,,A,B,C,D,0.2,1.6,1,2,,AC段 水平直線,CD段 向右下方的斜直線,DB段 水平直線,最大剪力發(fā)生在 AC 和 DB 段的任一橫截面上.,,（2）剪力圖,,,AC段 向上傾斜直線,CD段 向上凸二次拋物線,DB段 向下傾斜直線,,（3）彎矩圖,在FS= 0的截面上彎矩有極值,,（4）對圖形進行校核,在AC段，剪力為正值，彎矩圖為向上傾斜的直線.,在CD段，方向向下的均布載荷作用,剪力為向下傾斜的直線，彎矩圖為向上凸二次拋物線.,,在DB段，剪力為負值，彎矩圖為向下傾斜的直線.,,最大彎矩發(fā)生在FS= 0的截面E上.說明剪力圖和彎矩圖是正確的.,例6. 作梁的內(nèi)力圖(剪力圖和彎矩圖 ).,解:(1)支座反力,將梁分為AC、CD、 DB、BE 四段.,(2)剪力圖,AC段 向下斜的直線(?),CD段 向下斜的直線 ( ? ),,,DB段 水平直線 (-),EB段 水平直線 (-),AC段 向下斜的直線(?),CD段 向下斜的直線 ( ? ),F點剪力為零,令其距 A截面的距離為x,x = 5m,,,（3）彎矩圖,CD段,,AC段,,,,,,,DB段,,,BE段,20,16,6,6,,,,,+,,,,,,,,,,,,20.5,(4) 校 核,,,,,,Fs(kN),M (kNm),,x,x,,第 五章 彎 曲 應 力,書上例題 習題: 5-12, 5-16, 5-17,,,● 梁彎曲正應力強度條件,,,,抗拉壓強度不等的材料 （截面上承受的是負彎矩時）,,,,,,抗拉壓強度不等的材料: （截面上承受的是正彎矩時）,,,,,,,,,慣性矩Iz 和抗彎截面系數(shù)Wz,實心圓截面：,空心圓截面：,矩形截面：,,解：(1) 作 FS、M 圖,例1 圖示矩形截面木梁，已知 b = 0.12m，h = 0.18m，l = 3m， 材料 [? ] = 7 MPa，[? ]= 0.9 MPa。試校核梁的強度。,可知： FSmax = 5400 N Mmax = 4050Nm,(2) 校核梁的強度,= 6.25 MPa, [? ],= 0.375 MPa, [? ],,∴ 梁安全。,例2 圖示減速箱齒輪軸，已知 F = 70 kN ，d1 = 110mm， d2= 100 mm，材料 [? ] =100 MPa。 試校核軸的強度。,12.25,9.8,,,解：(1) 作M 圖，確定危險截面,C截面：Mmax= 12.25 kNm ， 為危險截面,D截面：MD = 9.8 kNm， 但其直徑較小，也可能 為危險截面。,(2) 強度校核,C截面：,= 93.9 MPa, [? ],D截面：,= 99.9 MPa, [? ],∴ 梁滿足強度要求。,（kNm）,,解：(1) 作 M 圖,確定危險截面,例3 圖示T形截面鑄鐵梁，已知 Iz = 8.8410-6m4，y1 = 45mm， y2= 95mm，材料 [? t] = 35 MPa，[s c]= 140 MPa。 試校核梁的強度。,可知危險截面：D 截面、B 截面,D 截面：最大正彎矩 MD = 5.56 kNm,5.56kNm,,B 截面：最大負彎矩 MB = 3.13 kNm,= 59.8 MPa, [? c],∴ 梁安全。,∵ | MD | | MB | ， | y2 | | y1 |,∴ |sa | |sd | 即最大壓應力 為D 截面上a點。,而最大拉應力為D 截面上b點或B 截面上c點，由計算確定。,stmax= 33.6 MPa [? t],注意：若將梁倒置，則,stmax= 59.8 MPa [? t],梁不安全。,(2) 校核梁的強度,5.56kNm,,例4 T形截面鑄鐵梁的荷載和截面尺寸如圖所示. 鑄鐵的許用拉應力為 [?t] = 30MPa ，許用壓應力為[?c] =160MPa. 已知截面對形心軸z的慣性矩為 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的強度.,,解：,最大正彎矩在截面C上,最大負彎矩在截面B上,,,M (kNm),x,(1) 作M 圖，確定危險截面,a.先求支反力,b.作彎矩圖如圖示,,C截面（上壓下拉）,,,M (kNm),x,綜上: 梁安全,B截面（上拉下壓）,(2) 校核梁的強度,,祝大家學習愉快,,