閱讀理解、圖表信息 一．選擇題 1．（2013廣西欽州，12，3分）定義：直線l1與l2相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，點(diǎn)M到直線l1、l2的距離分別為p、q，則稱有序?qū)崝?shù)對(duì)（p，q）是點(diǎn)M的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　　） 　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 考點(diǎn)： 點(diǎn)到直線的距離；坐標(biāo)確定位置；平行線之間的距離． 專題： 新定義． 分析： “距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)表示的含義是該點(diǎn)到直線l1、l2的距離分別為1、2．由于到直線l1的距離是1的點(diǎn)在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上，到直線l2的距離是2的點(diǎn)在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上，它們有4個(gè)交點(diǎn)，即為所求． 解答： 解：如圖， ∵到直線l1的距離是1的點(diǎn)在與直線l1平行且與l1的距離是1的兩條平行線a1、a2上， 到直線l2的距離是2的點(diǎn)在與直線l2平行且與l2的距離是2的兩條平行線b1、b2上， ∴“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)是M1、M2、M3、M4，一共4個(gè)． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了點(diǎn)到直線的距離，兩平行線之間的距離的定義，理解新定義，掌握到一條直線的距離等于定長(zhǎng)k的點(diǎn)在與已知直線相距k的兩條平行線上是解題的關(guān)鍵． 2．（2013濰坊，12，3分）對(duì)于實(shí)數(shù)，我們規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例如，，，若，則的取值可以是（ ）． A．40 B．45 C．51 D．56 答案：C 考點(diǎn)：新定義問(wèn)題． 點(diǎn)評(píng)：本題需要學(xué)生先通過(guò)閱讀掌握新定義公式，再利用類似方法解決問(wèn)題．考查了學(xué)生觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力． 3．（2013?東營(yíng)，6，3分）若定義：， ，例如，，則=（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：由題意得f(2，3)=(－2，－3)，所以g(f(2，－3))=g(－2，－3)=(－2，3)，故選B． 4．(2013浙江湖州,10,3分)如圖，在1010的網(wǎng)格中，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．若拋物線經(jīng)過(guò)圖中的三個(gè)格點(diǎn)，則以這三個(gè)格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為拋物線的“內(nèi)接格點(diǎn)三角形”．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，若拋物線與網(wǎng)格對(duì)角線OB的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且這兩個(gè)交點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)是拋物線的內(nèi)接格點(diǎn)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則滿足上述條件且對(duì)稱軸平行于軸的拋物線條數(shù)是（ ） A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】C 【解析】如圖，開口向下，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0），（1，3），（3，3）的拋物線的解析式為y=-x2+4x，然后向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位一次得到一條拋物線，可平移6次，所以，一共有7條拋物線，同理可得開口向上的拋物線也有7條，所以，滿足上述條件且對(duì)稱軸平行于y軸的拋物線條數(shù)是：7+7=14．故選C． 【方法指導(dǎo)】本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的知識(shí)與二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，作出圖形更形象直觀．根據(jù)在OB上的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為3 可知兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差為3，然后作出最左邊開口向下的拋物線，再向右平移1個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位得到開口向下的拋物線的條數(shù)，同理可得開口向上的拋物線的條數(shù)，然后相加即可得解． 二．填空題 1．（2013鞍山，14，2分）劉謙的魔術(shù)表演風(fēng)靡全國(guó)，小明也學(xué)起了劉謙發(fā)明了一個(gè)魔術(shù)盒，當(dāng)任意實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）進(jìn)入其中時(shí)，會(huì)得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)：a2+b－1，例如把（3，－2）放入其中，就會(huì)得到32+（－2）－1＝6．現(xiàn)將實(shí)數(shù)對(duì)（－1，3）放入其中，得到實(shí)數(shù)m，再將實(shí)數(shù)對(duì)（m，1）放入其中后，得到實(shí)數(shù)是 ． 考點(diǎn)：代數(shù)式求值． 專題：應(yīng)用題． 分析：觀察可看出未知數(shù)的值沒(méi)有直接給出，而是隱含在題中，需要找出規(guī)律，代入求解． 解答：解：根據(jù)所給規(guī)則：m＝（－1）2+3－1＝3∴最后得到的實(shí)數(shù)是32+1－1＝9． 點(diǎn)評(píng)：依照規(guī)則，首先計(jì)算m的值，再進(jìn)一步計(jì)算即可．隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運(yùn)算的能力． 2．（2013濰坊，12，3分）對(duì)于實(shí)數(shù)，我們規(guī)定表示不大于的最大整數(shù)，例如，，，若，則的取值可以是（ ）． A．40 B．45 C．51 D．56 答案：C 考點(diǎn)：新定義問(wèn)題． 點(diǎn)評(píng)：本題需要學(xué)生先通過(guò)閱讀掌握新定義公式，再利用類似方法解決問(wèn)題．考查了學(xué)生觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力． 3．（2013?東營(yíng)，6，3分）若定義：， ，例如，，則=（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：由題意得f(2，3)=(－2，－3)，所以g(f(2，－3))=g(－2，－3)=(－2，3)，故選B． 4．（2013山東臨沂，19，3分）對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“*”：a*b＝例如：4*2，因?yàn)?＞2，所以4*2＝42－42＝8．若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的兩個(gè)根，則x1*x2＝_________________． 【答案】3或－3． 【解析】可以用公式法求出方程x2－5x＋6＝0的兩個(gè)根是2和3，可能是x1=2，x2=3，也可能是x1=3，x2=2，根據(jù)所給定義運(yùn)算可知原題有兩個(gè)答案. 【方法指導(dǎo)】用公式法或因式分解法求出方程對(duì)兩個(gè)根. 【易錯(cuò)點(diǎn)分析】忽視討論思想，會(huì)少一種情況. 5．（2013浙江臺(tái)州，16，5分）任何實(shí)數(shù)a，可用表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，如=4， =1，現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：72 第1次 =8第2次 =2第3次 =1，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似地，①對(duì)81只需進(jìn)行 次操作后變?yōu)?；②只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是 ?。? 【答案】：3；255． 【解析】①首先理解的意義，它表示不超過(guò)a的最大整數(shù)，然后仿照“72”的操作， 81 第1次 =9第2次 =3第3次 =1，，所以對(duì)81只需進(jìn)行 3次操作后變?yōu)?； ②只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中找出最大的，需要進(jìn)行逆向思維，若=1，則a可以取的最大整數(shù)為3；若=3，則a可以取的最大整數(shù)為15；若=15，則a可以取的最大整數(shù)為255，∴最大為255. 【方法指導(dǎo)】本題考查學(xué)生的閱讀理解能力和算術(shù)平方根的計(jì)算，本題定義了一種新的運(yùn)算，需要學(xué)生清楚如何計(jì)算，并且能夠結(jié)合算術(shù)平方根的運(yùn)算，進(jìn)行求值計(jì)算。 三．解答題 1．（2013廣東珠海，20，9分）閱讀下面材料，并解答問(wèn)題． 材料：將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式． 解：由分母為﹣x2+1，可設(shè)﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b 則﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b） ∵對(duì)應(yīng)任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1 ∴==x2+2+ 這樣，分式被拆分成了一個(gè)整式x2+2與一個(gè)分式的和． 解答： （1）將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式． （2）試說(shuō)明的最小值為8． 考點(diǎn)： 分式的混合運(yùn)算． 專題： 閱讀型． 分析： （1）由分母為﹣x2+1，可設(shè)﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b，按照題意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和的形式； （2）對(duì)于x2+7+當(dāng)x=0時(shí)，這兩個(gè)式子的和有最小值，最小值為8，于是求出的最小值． 解答： 解：（1）由分母為﹣x2+1，可設(shè)﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b 則﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b） ∵對(duì)應(yīng)任意x，上述等式均成立， ∴， ∴a=7，b=1， ∴===x2+7+ 這樣，分式被拆分成了一個(gè)整式x2+7與一個(gè)分式的和． （2）由=x2+7+知， 對(duì)于x2+7+當(dāng)x=0時(shí)，這兩個(gè)式子的和有最小值，最小值為8， 即的最小值為8． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查分式的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是能熟練的理解題意，此題難度不是很大． 2. （2013?衢州10分）【提出問(wèn)題】 （1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN． 【類比探究】 （2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【拓展延伸】 （3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【思路分析】（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論； （2）也可以通過(guò)證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣． （3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到=，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論 【解析】（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （3）解：∠ABC=∠ACN． 理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴=， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN． 【方法指導(dǎo)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論． 3 2013?寧波12分）若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形． （1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120，∠C=75，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線； （2）如圖2，在1216的網(wǎng)格圖上（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）有一個(gè)扇形BAC，點(diǎn)A．B．C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找一個(gè)點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對(duì)角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形； （3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)． 【思路分析】（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以； （2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，只要D在上任意一點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個(gè)以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形， （3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)． 【解析】（1）∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180，∠ADB=∠DBC． ∵∠BAD=120， ∴∠ABC=60． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30， ∴∠ABD=∠ADB， ∴△ADB是等腰三角形． 在△BCD中，∠C=75，∠DBC=30， ∴∠BDC=∠C=75， ∴△BCD為等腰三角形， ∴BD是梯形ABCD的和諧線； （2）由題意作圖為：圖2，圖3 （3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB=AD=BC， 如圖4，當(dāng)AD=AC時(shí)， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60． ∵∠BAD=90， ∴∠CAD=30， ∴∠ACD=∠ADC=75， ∴∠BCD=60+75=135． 如圖5，當(dāng)AD=CD時(shí)， ∴AB=AD=BC=CD． ∵∠BAD=90， ∴四邊形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90 如圖6，當(dāng)AC=CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD．CE⊥AD， ∴AE=AD，∠ACE=∠DCE． ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90， ∴四邊形ABFE是矩形． ∴BF=AE． ∵AB=AD=BC， ∴BF=BC， ∴∠BCF=30． ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC． ∵AB∥CE， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15， ∴∠BCD=153=45． 【方法指導(dǎo)】本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，30的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時(shí)合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵． 4.（2013山西，25，13分）數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分的面積。 問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題： 如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G。 求重疊部分（△DCG）的面積。 （1）獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題。 【解析】解：∵∠ACB=90D是AB的中點(diǎn), （25題（1）） ∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB 又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B ∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90∴DG⊥AC 又∵DC=DA,∴G是AC的中點(diǎn), ∴CG=AC=8=4,DG=BC=6=3 ∴SDCG=CGDG=43=6 （2）合作交流：“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請(qǐng)寫出解答過(guò)程。 （25題（2）） 【解析】解法一：∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1 ∵∠C=90,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90, ∠A+∠2=90, ∴∠B=∠2,∴∠1=∠2 ∴GH=GD ∵∠A+∠2=90,∠1+∠3=90 ∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH ∴點(diǎn)G是AH的中點(diǎn)， 在Rt△ABC中，AB= 10 ∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=AB=5 在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90, ∴△ADH∽△ACB, ∴=,=,∴DH=, ∴S△DGH＝S△ADH＝DHAD=5= （25題（2）） 解法二：同解法一，G是AH的中點(diǎn)， 連接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中點(diǎn)，∴AH=BH，設(shè)AH=x則CH＝８-ｘ 在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x= ∴S△ABH=AHBC=6= （25題（2）） ∴S△ＤＧＨ=S△ADH= S△ABH==. 解法三：同解法一，∠1=∠2 連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC, 作DM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90 ∴CD=AD=BD，∴點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴DM=BC=6=3 在Rt△ABC中，AB==10，ACBC=ABCN， ∴CN＝. ∵△DGH∽△BDC, ∴, ∴= ∴ （3）提出問(wèn)題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題。“愛(ài)心”小組提出的問(wèn)題是：如圖(3)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN求重疊部分(△DMN)的面積、 任務(wù)：①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組所提出的問(wèn)題，直接寫出△DMN的面積是 ②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題，并在圖中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）。 （25題（3）） （25題（4）） 【答案】① ②注：此題答案不唯一，語(yǔ)言表達(dá)清晰、準(zhǔn)確得1分，畫圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點(diǎn)M，DF交AC于點(diǎn)N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。 5.（2013四川樂(lè)山，25，12分）閱讀下列材料： 如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M、N分別在邊AB、BC上，且MN∥AD，記AD=a，BC=b，若，則有結(jié)論：。 請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問(wèn)題： 如圖2，3，BE、CF是△ABC的兩條角平分線，過(guò)EF上一點(diǎn)P分別作△ABC三邊的垂線段PP1、PP2、PP3，交BC于點(diǎn)P1，交AB于點(diǎn)P2，交AC于點(diǎn)P3。 （1）若點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，求證：PP1=PP2＋PP3； （2）若點(diǎn)P在線段EF上任意位置時(shí)，試探究PP1、PP2、PP3的數(shù)量關(guān)系，給出證明。 6. （2013?衢州10分）【提出問(wèn)題】 （1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN． 【類比探究】 （2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由． 【拓展延伸】 （3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由． 【思路分析】（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論； （2）也可以通過(guò)證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣． （3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到=，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論 【解析】（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立． 理由如下：∵△ABC、△AMN是等邊三角形， ∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60， ∴∠BAM=∠CAN， ∵在△BAM和△CAN中， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴∠ABC=∠ACN． （3）解：∠ABC=∠ACN． 理由如下：∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN， ∴底角∠BAC=∠MAN， ∴△ABC∽△AMN， ∴=， 又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC， ∴∠BAM=∠CAN， ∴△BAM∽△CAN， ∴∠ABC=∠ACN． 【方法指導(dǎo)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論． 7. 2013?寧波12分）若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，我們把這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形．如菱形就是和諧四邊形． （1）如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120，∠C=75，BD平分∠ABC．求證：BD是梯形ABCD的和諧線； （2）如圖2，在1216的網(wǎng)格圖上（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）有一個(gè)扇形BAC，點(diǎn)A．B．C均在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诖痤}卷給出的兩個(gè)網(wǎng)格圖上各找一個(gè)點(diǎn)D，使得以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形的兩條對(duì)角線都是和諧線，并畫出相應(yīng)的和諧四邊形； （3）四邊形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90，AC是四邊形ABCD的和諧線，求∠BCD的度數(shù)． 【思路分析】（1）要證明BD是四邊形ABCD的和諧線，只需要證明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以； （2）根據(jù)扇形的性質(zhì)弧上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離相等，只要D在上任意一點(diǎn)構(gòu)成的四邊形ABDC就是和諧四邊形；連接BC，在△BAC外作一個(gè)以AC為腰的等腰三角形ACD，構(gòu)成的四邊形ABCD就是和諧四邊形， （3）由AC是四邊形ABCD的和諧線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖4，圖5，圖6三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和30的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)． 【解析】（1）∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180，∠ADB=∠DBC． ∵∠BAD=120， ∴∠ABC=60． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC=30， ∴∠ABD=∠ADB， ∴△ADB是等腰三角形． 在△BCD中，∠C=75，∠DBC=30， ∴∠BDC=∠C=75， ∴△BCD為等腰三角形， ∴BD是梯形ABCD的和諧線； （2）由題意作圖為：圖2，圖3 （3）∵AC是四邊形ABCD的和諧線， ∴△ACD是等腰三角形． ∵AB=AD=BC， 如圖4，當(dāng)AD=AC時(shí)， ∴AB=AC=BC，∠ACD=∠ADC ∴△ABC是正三角形， ∴∠BAC=∠BCA=60． ∵∠BAD=90， ∴∠CAD=30， ∴∠ACD=∠ADC=75， ∴∠BCD=60+75=135． 如圖5，當(dāng)AD=CD時(shí)， ∴AB=AD=BC=CD． ∵∠BAD=90， ∴四邊形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90 如圖6，當(dāng)AC=CD時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CE于F， ∵AC=CD．CE⊥AD， ∴AE=AD，∠ACE=∠DCE． ∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90， ∴四邊形ABFE是矩形． ∴BF=AE． ∵AB=AD=BC， ∴BF=BC， ∴∠BCF=30． ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC． ∵AB∥CE， ∴∠BAC=∠ACE， ∴∠ACB=∠ACE=∠BCF=15， ∴∠BCD=153=45． 【方法指導(dǎo)】本題是一道四邊形的綜合試題，考查了和諧四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，和諧四邊形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，30的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答如圖6這種情況容易忽略，解答時(shí)合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵． 8.（2013山西，25，13分）數(shù)學(xué)活動(dòng)——求重疊部分的面積。 問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題： 如圖，將兩塊全等的直角三角形紙片△ABC和△DEF疊放在一起，其中∠ACB=∠E=90，BC=DE=6，AC=FE=8，頂點(diǎn)D與邊AB的中點(diǎn)重合，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，DF交AC于點(diǎn)G。 求重疊部分（△DCG）的面積。 （1）獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題。 【解析】解：∵∠ACB=90D是AB的中點(diǎn), （25題（1）） ∴DC=DB=DA,∴∠B=∠DCB 又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B ∴∠FDE=∠DCB,∴DG∥BC∴∠AGD=∠ACB=90∴DG⊥AC 又∵DC=DA,∴G是AC的中點(diǎn), ∴CG=AC=8=4,DG=BC=6=3 ∴SDCG=CGDG=43=6 （2）合作交流：“希望”小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥AB交AC于點(diǎn)H，DF交AC于點(diǎn)G，如圖(2)，你能求出重疊部分(△DGH)的面積嗎？請(qǐng)寫出解答過(guò)程。 （25題（2）） 【解析】解法一：∵△ABC≌△FDE,∴∠B=∠1 ∵∠C=90,ED⊥AB,∴∠A+∠B=90, ∠A+∠2=90, ∴∠B=∠2,∴∠1=∠2 ∴GH=GD ∵∠A+∠2=90,∠1+∠3=90 ∴∠A=∠3,∴AG=GD，∴AG=GH ∴點(diǎn)G是AH的中點(diǎn)， 在Rt△ABC中，AB= 10 ∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD=AB=5 在△ADH與△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90, ∴△ADH∽△ACB, ∴=,=,∴DH=, ∴S△DGH＝S△ADH＝DHAD=5= （25題（2）） 解法二：同解法一，G是AH的中點(diǎn)， 連接BH，∵DE⊥AB，D是AB的中點(diǎn)，∴AH=BH，設(shè)AH=x則CH＝８-ｘ 在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2，即（8-x）2+36=x2，解得x= ∴S△ABH=AHBC=6= （25題（2）） ∴S△ＤＧＨ=S△ADH= S△ABH==. 解法三：同解法一，∠1=∠2 連接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，∠1=∠2=∠B=∠DCB，△DGH∽△BDC, 作DM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，∵D是AB的中點(diǎn)，∠ACB=90 ∴CD=AD=BD，∴點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴DM=BC=6=3 在Rt△ABC中，AB==10，ACBC=ABCN， ∴CN＝. ∵△DGH∽△BDC, ∴, ∴= ∴ （3）提出問(wèn)題：老師要求各小組向“希望”小組學(xué)習(xí)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，再提出一個(gè)求重疊部分面積的問(wèn)題?！皭?ài)心”小組提出的問(wèn)題是：如圖(3)，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE，DF分別交AC于點(diǎn)M，N，使DM=MN求重疊部分(△DMN)的面積、 任務(wù)：①請(qǐng)解決“愛(ài)心”小組所提出的問(wèn)題，直接寫出△DMN的面積是 ②請(qǐng)你仿照以上兩個(gè)小組，大膽提出一個(gè)符合老師要求的問(wèn)題，并在圖中畫出圖形，標(biāo)明字母，不必解答（注：也可在圖（1）的基礎(chǔ)上按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)）。 （25題（3）） （25題（4）） 【答案】① ②注：此題答案不唯一，語(yǔ)言表達(dá)清晰、準(zhǔn)確得1分，畫圖正確得1分，重疊部分未涂陰影不扣分。示例：如圖，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使DE⊥BC于點(diǎn)M，DF交AC于點(diǎn)N，求重疊部分（四邊形DMCN）的面積。 9.（2013四川樂(lè)山，25，12分）閱讀下列材料： 如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)M、N分別在邊AB、BC上，且MN∥AD，記AD=a，BC=b，若，則有結(jié)論：。 請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解答下列問(wèn)題： 如圖2，3，BE、CF是△ABC的兩條角平分線，過(guò)EF上一點(diǎn)P分別作△ABC三邊的垂線段PP1、PP2、PP3，交BC于點(diǎn)P1，交AB于點(diǎn)P2，交AC于點(diǎn)P3。 （1）若點(diǎn)P為線段EF的中點(diǎn)，求證：PP1=PP2＋PP3； （2）若點(diǎn)P在線段EF上任意位置時(shí)，試探究PP1、PP2、PP3的數(shù)量關(guān)系，給出證明。 10．（2013貴州省六盤水，22，10分）閱讀材料： 關(guān)于三角函數(shù)還有如下的公式： sin（αβ）=sinαcosβcosasinβ tan（αβ）= 利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值． 例：tan15=tan（45﹣30）=== 根據(jù)以上閱讀材料，請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣旅鎲?wèn)題 （1）計(jì)算：sin15； （2）烏蒙鐵塔是六盤水市標(biāo)志性建筑物之一（圖1），小華想用所學(xué)知識(shí)來(lái)測(cè)量該鐵塔的高度，如圖2，小華站在離塔底A距離7米的C處，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5，小華的眼睛離地面的距離DC為1.62米，請(qǐng)幫助小華求出烏蒙鐵塔的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)，） 考點(diǎn)： 解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題． 分析： （1）把15化為45﹣30以后，再利用公式sin（αβ）=sinαcosβcosasinβ計(jì)算，即可求出sin15的值； （2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)AB=AE+BE即可得出結(jié)論． 解答： 解：（1）sin15=sin（45﹣30）=sin45cos30﹣cos45sin30=﹣=﹣=； （2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90，∠BDE=75，DE=AC=7米， ∴BE=DE?tan∠BDE=DE?tan75． ∵tan75=tan（45+30）===2+， ∴BE=7（2+）=14+7， ∴AB=AE+BE=1.62+14+7≈27.7（米）． 答：烏蒙鐵塔的高度約為27.7米． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了： （1）特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來(lái)求解． （2）解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出BE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵． 11．（2013貴州省黔西南州，25，14分）閱讀材料： 小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索： 設(shè)a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b=m2+2n2+2mn． ∴a=m2+2n2，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法． 請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題： （1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b=，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=　m2+3n2　，b=　2mn??； （2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：　4　+　2　=（　1　+　1?。?； （3）若a+4=，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值？ 考點(diǎn)： 二次根式的混合運(yùn)算． 分析： （1）根據(jù)完全平方公式運(yùn)算法則，即可得出a、b的表達(dá)式； （2）首先確定好m、n的正整數(shù)值，然后根據(jù)（1）的結(jié)論即可求出a、b的值； （3）根據(jù)題意，4=2mn，首先確定m、n的值，通過(guò)分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可確定好a的值． 解答： 解：（1）∵a+b=， ∴a+b=m2+3n2+2mn， ∴a=m2+3n2，b=2mn． 故答案為m2+3n2，2mn． （2）設(shè)m=1，n=1， ∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2． 故答案為4、2、1、1． （3）由題意，得： a=m2+3n2，b=2mn ∵4=2mn，且m、n為正整數(shù)， ∴m=2，n=1或者m=1，n=2， ∴a=22+312=7，或a=12+322=13． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于熟練運(yùn)算完全平方公式和二次根式的運(yùn)算法則． 12. （2013江蘇揚(yáng)州，28，12分）如果，那么稱為的勞格數(shù)，記為=，由定義可知：與=所表示的是，兩個(gè)量之間的同一關(guān)系. （1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，填空：= ，= ； （2）勞格數(shù)有如下運(yùn)算性質(zhì)： 若，為正數(shù)，則=＋，=－. 根據(jù)運(yùn)算性質(zhì)，填空： = （為正數(shù)）， 若=0.3010，則= ，= ，= ； （3）下表中與數(shù)對(duì)應(yīng)的勞格數(shù)有且只有兩個(gè)是錯(cuò)誤的，請(qǐng)找出錯(cuò)誤的勞格數(shù)，說(shuō)明理由并改正. 【思路分析】本題首先要理解“如果，那么稱為的勞格數(shù)，記為=，”明確與=所表示的是，兩個(gè)量之間的同一關(guān)系，從而找到規(guī)律，才可以解決問(wèn)題． 【解】（1）1，－2； （2）3，0.6020，0.6990，-1.0970； （3）當(dāng)時(shí)，可推出，符合，同理也符合， 如果錯(cuò)誤，則和兩個(gè)也都錯(cuò)誤，不可能，所以、和全部正確. 當(dāng)時(shí)，可推出， 則，，全部符合. 如果錯(cuò)誤，則和兩個(gè)也都錯(cuò)誤，不可能，所以、和全部正確. 所以、錯(cuò)誤.改正如下： ， 【方法指導(dǎo)】本題是一道定義新運(yùn)算題，關(guān)鍵是理解“如果，那么稱為的勞格數(shù)，記為=，”明確與=所表示的是，兩個(gè)量之間的同一關(guān)系． 【易錯(cuò)警示】沒(méi)找出新定義運(yùn)算的方法，導(dǎo)致錯(cuò)誤．由于找不到規(guī)律，而采用錯(cuò)誤的計(jì)算方法，出現(xiàn)錯(cuò)誤． 13．（2013湖南益陽(yáng)，21，10分）閱讀材料：如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， ，中點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，得，A P B O 圖9 同理，所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為．由勾股定理得，所以、兩點(diǎn)間的距離公式為． 注：上述公式對(duì)、在平面直角坐標(biāo)系中其它位置也成立． 解答下列問(wèn)題： 如圖10，直線：與拋物線交于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)． （1）求、兩點(diǎn)的坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）連結(jié)，求證為直角三角形； （3）將直線平移到點(diǎn)時(shí)得到直線，求兩直線與的距離． 圖10 y x A B P C O 1 1 【思路分析】（1）把直線與拋物線人解析式聯(lián)立起來(lái)組成方程，其解即為A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；要求C點(diǎn)的坐標(biāo)，先求出中點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而知道C點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（2）有兩種方法：一是先用兩點(diǎn)間距離公式分別求出AC、BC、AB的長(zhǎng)，然后運(yùn)用勾股定理的逆定理判定為直角三角形；二是證明PC=AP=BP，進(jìn)而證得是直角。（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求出CG的長(zhǎng)即可，可以考慮用面積法。 【答案】：解：（1）由，解得， ． 則,兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：，， ∵是,的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得點(diǎn)坐標(biāo)為， 又軸交拋物線于點(diǎn)，將代入中得, ∴點(diǎn)坐標(biāo)為． （2）由兩點(diǎn)間距離公式得： ，， ∴， ∴，， ∴，即 圖10 y x A B P C O 1 1 H G ∴ 為直角三角形． （3）過(guò)點(diǎn)作于 ，過(guò)點(diǎn)作于 ， 則點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∴ , ∴． 又直線與之間的距離等于點(diǎn)C到的距離CG， ∴直線與之間的距離為． 【方法指導(dǎo)】這是一道閱讀理解題，這類問(wèn)題是今后的熱點(diǎn)，主要考查學(xué)生理解和運(yùn)用新知識(shí)的能力，其取材往往來(lái)自于高中課本或其他數(shù)學(xué)書籍。兩點(diǎn)間距離公式雖然初中不講，但在初中經(jīng)常涉及求兩點(diǎn)間距離，學(xué)生一般用構(gòu)造直角三角形以及勾股定理來(lái)求，這樣往往比較麻煩。而如果運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式，則會(huì)方便得多。本題的最后一題求CG的長(zhǎng)，運(yùn)用面積法來(lái)求顯得比較巧妙。 14．（2013山東德州,22,10分）設(shè)A是由24個(gè)整數(shù)組成的2行4列的數(shù)表，如果某一行（或某一列）各數(shù)之和為負(fù)數(shù)，則改變?cè)撔校ɑ蛟摿校┲兴袛?shù)的符號(hào)，稱為一次“操作”。 （1）數(shù)表A如表1所示，如果經(jīng)過(guò)兩次“操作”，使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，請(qǐng)寫出每次“操作”后所得的數(shù)表；（寫出一種方法即可） （2）數(shù)表A如表2所示，若經(jīng)過(guò)任意一次“操作”以后，便可使得到的數(shù)表每行的各數(shù)之和與每列的各數(shù)之和均為非負(fù)整數(shù)，求整數(shù)a的值。 【思路分析】1）根據(jù)提供信息，理解題目要達(dá)到要求，答案不唯一，屬于開放題（2）分析各行、各列上數(shù)字和情況，同時(shí)注意其和要符合非負(fù)數(shù)（≥0）. 【解】（1）法1： 法2： （寫出一種即可） （2）每一列所有數(shù)之和分別為2,0,-2,0,每一行所有數(shù)之和分別為-1,1. ①如果操作第三列，則 則第一行之和為2a-1，第二行這和為5-2a， 2a-1≥0, 5-2a≥0 解得 又∵a為整數(shù)， ∴a=1 ，或a=2 ②如果操作第一行， 則每一列之和分別為2-2a,2-2a2,2a-2,2a2, 2-2a≥0, 2a-2≥0 解得a=1,此時(shí)2-2a2=0, 2a2=2. 綜上可知a=1 【方法指導(dǎo)】本題考查了新定義閱讀題、分類討論思想.本題是一道以數(shù)列為素材的新定義閱讀理解題，解這類題的關(guān)鍵是順著題意，理解題目的告訴了什么，要做什么？模仿或拓展運(yùn)用相關(guān)知識(shí)內(nèi)容解決. 本題中運(yùn)用了分類討論思想，發(fā)揮解題的多樣性與嚴(yán)謹(jǐn)性.