類型六 二次函數(shù)與三角形相似問(wèn)題 例1、如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B。 ⑴求拋物線的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為） ⑵若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)； ⑶連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。 例1題圖 圖1 圖2 【答案】解:⑴由題意可設(shè)拋物線的解析式為 ∵拋物線過(guò)原點(diǎn)， ∴ ∴. 圖1 拋物線的解析式為,即 ⑵如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時(shí),CDOB, 由得, ∴B(4,0),OB＝4. ∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6 將x＝6代入,得y＝－3, ∴D(6,－3); 根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,－3), 當(dāng)OB為對(duì)角線即四邊形OCBD是平行四邊形時(shí),D點(diǎn)即為A點(diǎn),此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1) ⑶如圖2，由拋物線的對(duì)稱性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO. 若△BOP與△AOB相似,必須有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 圖2 設(shè)OP交拋物線的對(duì)稱軸于A′點(diǎn),顯然A′(2,－1) ∴直線OP的解析式為 由, 得 .∴P(6,－3) 過(guò)P作PE⊥x軸,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3, ∴PB＝≠4. ∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO與△BAO不相似, 同理可說(shuō)明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn). 所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得△BOP與△AOB相似. 例2、已知拋物線經(jīng)過(guò)及原點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式．（由一般式得拋物線的解析式為） （2）過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形．是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由． （3）如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個(gè)三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？ 【答案】解：（1）由已知可得： 解之得，． 因而得，拋物線的解析式為：． （2）存在． 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則， 要使，則有，即 解之得，． 當(dāng)時(shí)，，即為點(diǎn)，所以得 要使，則有，即 解之得，，當(dāng)時(shí)，即為點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)，，所以得． 故存在兩個(gè)點(diǎn)使得與相似． 點(diǎn)的坐標(biāo)為． （3）在中，因?yàn)椋裕? 當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，． 所以． 因此，都是直角三角形． 又在中，因?yàn)椋裕? 即有． 所以， 又因?yàn)椋? 所以． 例3、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處。已知折疊，且。 （1）判斷與是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由； （2）求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）是否存在過(guò)點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請(qǐng)直接寫出其解析式并畫(huà)出相應(yīng)的直線；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 O x y C B E 【答案】解：（1）與相似。 O x y 圖1 C B E D 3 1 2 A 理由如下： 由折疊知，， ， 又， 。 （2），設(shè)AE=3t， 則AD=4t。 圖2 O x y C B E D P M G l N A F 由勾股定理得DE=5t。 。 由（1），得， ， 。 在中，， ，解得t=1。 OC=8，AE=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）， 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3）， 設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b， 解得 ，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16，0）。 （3）滿足條件的直線l有2條：y=－2x+12， y=2x－12。 如圖2：準(zhǔn)確畫(huà)出兩條直線。 例4、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過(guò)點(diǎn)和． （1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式得拋物線的解析式為） （2）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （3）若點(diǎn)是位于該二次函數(shù)對(duì)稱軸右邊圖象上不與頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，試比較銳角與的大?。ú槐刈C明），并寫出此時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍． y C x B A O 【答案】解：（1）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過(guò)點(diǎn)和， 由 解得 此二次函數(shù)的表達(dá)式為 ． （2）假設(shè)存在直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似． 在中，令，則由，解得 ． 令，得．． 設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)． 點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為． y x B E A O C D ． 要使或， 已有，則只需， ① 或 ② 成立． 若是①，則有． 而． 在中，由勾股定理，得． 解得 （負(fù)值舍去）． ． 點(diǎn)的坐標(biāo)為． 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得． 滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為． ［或求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為．此時(shí)易知，再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為．聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為．］ 若是②，則有． 而． 在中，由勾股定理，得． 解得 （負(fù)值舍去）． ． 點(diǎn)的坐標(biāo)為． 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得． 滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為． 存在直線或與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或． （3）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)． 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得． 此直線的函數(shù)表達(dá)式為． 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并代入，得． 解得（不合題意，舍去）． x B E A O C P · ． 點(diǎn)的坐標(biāo)為． 此時(shí)，銳角． 又二次函數(shù)的對(duì)稱軸為， 點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為． 當(dāng)時(shí)，銳角； 當(dāng)時(shí)，銳角； 當(dāng)時(shí)，銳角． 例5 、如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C． （1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)． （2）過(guò)點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積． （3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由． C B A P y 【答案】圖1 C P B y A 解：（1）令，得 解得 令，得 ∴ A B C （2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO= ∵AP∥CB， ∴PAB= 過(guò)點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形 令OE=，則PE= ∴P ∵點(diǎn)P在拋物線上 ∴ 解得，（不合題意，舍去） ∴PE= ∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE= (3)． 假設(shè)存在 ∵PAB=BAC = ∴PAAC ∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G， ∴MGA=PAC = 在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC= 在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP= 設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M ①點(diǎn)M在軸左側(cè)時(shí)，則 G M 圖2 C B y P A (ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)，有= ∵AG=，MG=即 解得（舍去） （舍去） (ⅱ) 當(dāng)MAG PCA時(shí)有= 即 解得：（舍去） G M 圖3 C B y P A ∴M ② 點(diǎn)M在軸右側(cè)時(shí)，則 (ⅰ) 當(dāng)AMG PCA時(shí)有= ∵AG=，MG= ∴ 解得（舍去） ∴M (ⅱ) 當(dāng)MAGPCA時(shí)有= 即 解得：（舍去） ∴M ∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似 M點(diǎn)的坐標(biāo)為，， 例6、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，． （1）求過(guò)點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)，，， （2）在軸上找一點(diǎn)，連接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，如分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，連接，設(shè)，問(wèn)是否存在這樣的使得與相似，如存在，請(qǐng)求出的值；如不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． A C O B x y 【答案】解：（1）點(diǎn)， ，，點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式為， 由 得， 圖1 直線的函數(shù)表達(dá)式為 （2）如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)， 在和中， ， 點(diǎn)為所求又， ， （3）這樣的存在 在中，由勾股定理得如圖1，當(dāng)時(shí)， 圖2 則，解得 如圖2，當(dāng)時(shí)， 則，解得 11