第三章 統(tǒng)計案例 1回歸分析 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 提示 選取身高 cm 為自變量x 體重 kg 為因變量y 作散點圖如圖 兩個變量間的關(guān)系可分為確定性關(guān)系和 關(guān)系 前者又稱為 關(guān)系 后者又稱為相關(guān)關(guān)系 1 相關(guān)關(guān)系的概念 非確定性 函數(shù) 2 相關(guān)系數(shù) 2 線性相關(guān)系數(shù)r與相關(guān)關(guān)系的強弱 當 時 兩個變量正相關(guān) 當 時 兩個變量負相關(guān) 當 時 稱兩個變量線性不相關(guān) r的取值在 之間 值越大 變量之間的線性相關(guān)程度越高 r的絕對值越接近于 表示兩個變量之間的線性相關(guān)程度越低 r 0 r 0 r 0 1 1 r 0 相關(guān)分析的意義和作用函數(shù)關(guān)系是大家比較熟悉的概念 它是指變量之間的確定性關(guān)系 即當X取某一數(shù)值x時 變量Y按照某種規(guī)則總有一個或多個確定的數(shù)值與之對應(yīng) 相關(guān)關(guān)系則是指變量之間的非確定性關(guān)系 由于隨機因素的干擾 當變量X取確定值x時 變量Y的取值不確定 是一個隨機變量 但它的概率分布與X的取值有關(guān) 這里 我們看到了函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)區(qū)別 在函數(shù)關(guān)系中變量X對應(yīng)的是變量Y的確定值 而在相關(guān)關(guān)系中 變量X對應(yīng)的是變量Y的概率分布 換句話說 相關(guān)關(guān)系是隨機變量之間或隨機變量與非隨機變量之間的一種數(shù)量依存關(guān)系 對于這種關(guān)系 只能運用統(tǒng)計方法進行研究 通過對相關(guān)關(guān)系的研究又可以總結(jié)規(guī)律 從而指導(dǎo)人們的生活與生產(chǎn)實踐 3 線性回歸方程 怎樣確定回歸的模型1 確定研究對象 明確要考慮哪兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系 2 畫出確定好的兩個變量的散點圖 觀察它們之間的關(guān)系 如是否存在線性關(guān)系等 3 由經(jīng)驗確定回歸方程的類型 如觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系 則選用線性回歸方程 bx a 4 按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù) 如最小二乘法 得出回歸方程 1 下列屬于相關(guān)關(guān)系的是 A 利息和利率B 居民收入與儲蓄存款C 電視機產(chǎn)量與蘋果產(chǎn)量D 某種商品的銷售額與銷售價格解析 相關(guān)關(guān)系指的是自變量一定時 因變量的取值帶有一定的隨機性的兩個變量間的關(guān)系 既不是確定的函數(shù)關(guān)系 也不是沒有關(guān)系 這里選項A D是確定的函數(shù)關(guān)系 C中兩個變量沒有關(guān)系 答案 B 2 對有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量建立的線性回歸方程y a bx中 回歸系數(shù)b A 可以小于0B 大于0C 可能等于0D 只能小于0解析 b可能大于0 也可能小于0 但當b 0時 x y不具有線性相關(guān)關(guān)系 答案 A 3 如圖是x和y的一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖 去掉一組數(shù)據(jù) 后 剩下的4組數(shù)據(jù)的相關(guān)指數(shù)最大 解析 經(jīng)計算 去掉D 3 10 這一組數(shù)據(jù)后 其他4組數(shù)據(jù)對應(yīng)的點都集中在某一條直線附近 即兩變量的線性相關(guān)性最強 此時相關(guān)指數(shù)最大 答案 D 3 10 課堂互動講義 某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成績?nèi)缦卤?1 求物理成績y關(guān)于數(shù)學(xué)成績x的相關(guān)系數(shù) 2 求物理成績y對數(shù)學(xué)成績x的線性回歸方程 相關(guān)系數(shù) 思路導(dǎo)引 利用相關(guān)系數(shù)r判斷x與y是否相關(guān) 若相關(guān)再利用線性回歸模型求解 通過相關(guān)系數(shù) 來分析兩個變量是否相關(guān) 然后再利用回歸方程的公式求解回歸方程 借助回歸方程對實際問題進行分析 1 變量X與Y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為 10 1 11 3 2 11 8 3 12 5 4 13 5 變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為 10 5 11 3 4 11 8 3 12 5 2 13 1 r1表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù) r2表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù) 則 A r2 r1 0B 0 r2 r1C r2 0 r1D r2 r1 解析 對于變量Y與X而言 Y隨X的增大而增大 故Y與X正相關(guān) 即r1 0 對于變量V與U而言 V隨U的增大而減小 故V與U負相關(guān) 即r2 0 所以有r2 0 r1 故選C 答案 C 有一位同學(xué)家里開了一個小賣部 他為了研究氣溫對熱茶銷售杯數(shù)的影響 經(jīng)過統(tǒng)計 得到一個賣出熱茶杯數(shù)與當天氣溫的對比表 1 求熱茶銷售杯數(shù)與氣溫的線性回歸方程 2 預(yù)測氣溫為 10 時熱茶的銷售杯數(shù) 線性回歸分析 思路導(dǎo)引 根據(jù)樣本點數(shù)據(jù)畫出散點圖 利用散點圖直觀分析熱茶銷售杯數(shù)y與氣溫x具有線性相關(guān)關(guān)系 利用線性回歸方程中參數(shù)的計算公式可得線性回歸方程并進行預(yù)測 解析 1 所給數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示 求線性回歸方程的步驟 12分 在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點 數(shù)值如下表 試建立y與x之間的回歸方程 思路導(dǎo)引 先由數(shù)值表作出散點圖 然后根據(jù)散點的形狀模擬出近似函數(shù) 進而轉(zhuǎn)化為線性函數(shù) 由數(shù)值表求出回歸函數(shù) 可線性化的回歸分析 規(guī)范解答 由數(shù)值表可作散點圖如下2分 1 兩個變量不呈線性關(guān)系 不能直接利用線性回歸方程 建立兩個變量的關(guān)系 可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型 2 常遇到的冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的線性化問題如下 將冪函數(shù)y axm a為常數(shù) a x y取正值 化為線性函數(shù) 方法是y axm兩邊以10為底取對數(shù) 則有l(wèi)gy mlgx lga 令u lgy v lgx lga b 代入上式 得u mv b 其中m b是常數(shù) 它的圖像就是一直線 將指數(shù)函數(shù)y cax a 0 c 0 a c為常數(shù) 化為線性函數(shù) 方法是y cax兩邊以10為底取對數(shù) 則有l(wèi)gy xlga lgc 令lgy u lga k lgc b 代入上式得u kx b 其中k b是常數(shù) 它的圖像也是一條直線 與冪函數(shù)不同的是 在線性化過程中 x仍保持不變 只是用y的對數(shù)lgy代替了y 錯解 A 正解 C