4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 課前導(dǎo)引 情景導(dǎo)入 觀察下列式子：1+,1+,…,則可以猜想的結(jié)論為：__________ 考注意到所給出的不等式的左右兩邊分子、分母與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系，則容易得出結(jié)論：1+…+. 這個(gè)不等式成立嗎？如何證明呢？ 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 證明不等式是數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用之一，在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，要注意利用不等式的傳遞性.證明不等式的其他常用方法,如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法等也是證明P(k+1)成立的基本方法.〔這里的P(k+1)是n=k+1時(shí)不等式成立〕 使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)除了以上方法外，還要注意發(fā)現(xiàn)或設(shè)法創(chuàng)設(shè)歸納假設(shè)與n=k+1時(shí)命題之間的聯(lián)系，充分利用這樣的聯(lián)系來(lái)證明n=k+1時(shí)命題成立. 課堂導(dǎo)學(xué) 三點(diǎn)剖析 一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧（一） 【例1】 對(duì)于n∈N,證明>1. 證明：當(dāng)n=1時(shí)，左邊=>1=右邊； 設(shè)n=k時(shí)，有>1; 當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊 >1=右邊. 所以對(duì)一切自然數(shù)n不等式均成立. 溫馨提示 解此題的關(guān)鍵是湊出歸納假設(shè)的形式，這里要把握不等式左邊式子的結(jié)構(gòu)特征，明確從n=k到n=k+1增減的項(xiàng). 各個(gè)擊破 類題演練1 對(duì)于n∈N，試比較2n與n2的大小. 解析： 先驗(yàn)算n=1時(shí)，2n>n2，n=2和n=4時(shí)，2n=n2,n=3時(shí),2n<n2. 而當(dāng)n=5時(shí)，有2n>n2,猜測(cè)對(duì)n≥5有2n>n2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （1）當(dāng)n=5時(shí)，已證. （2）設(shè)當(dāng)n=k(k≥5)時(shí)，2k>k2且k2>2k+1. 當(dāng)n=k+1時(shí)，2k+1=2·2k>2k2>k2+2k+1=(k+1)2, 即n=k+1時(shí)成立. 由（1）、（2），知猜測(cè)正確. 變式提升1 求證：1+. 證明：用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時(shí)，顯然不等式成立. 根據(jù)歸納假設(shè)，當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即 1+.① 要證明n=k+1時(shí)，命題也成立，即 1+.② 要用①來(lái)證明②,事實(shí)上，對(duì)不等式①兩邊加上（）,就湊好了不等式②的左邊.接下來(lái)，只需證≥.③ ③式左邊共有2k項(xiàng)，且最小，故,這就證明了③式成立. 綜上，知不等式成立. 二、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧（二） 【例2】 已知n是大于1的自然數(shù)，求證： (1+)(1+)(1+)…(1+)>. 證明：假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)，原不等式成立，即（1+）(1+)(1+)…(1+)>. 則當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=（1+）（1+）（1+）…（1+）·()> ·(1+)=().現(xiàn)在關(guān)鍵證()>,直接證較繁,下面用分析法證之. 欲證（）>,即證,只需證2k+1++2>2k+3,即>0.這顯然是成立的，故當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式成立. 綜上，當(dāng)n為大于1的自然數(shù)時(shí)，原不等式成立. 溫馨提示 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，從P(k)到P(k+1)的過渡往往用到不等式的傳遞性，即要證n=k+1時(shí)不等式成立〔不妨用A(k+1)≥B(k+1)表示〕，需n=k時(shí)，A（k）≥B(k)成立,然后有A（k+1）=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k), 類題演練2 在數(shù)列{an}中，|an|<2,且an+1an-2an+1+2an<0, 求證：an>(n∈N). 證明：∵|an|<2, ∴-2<an<2.∴2-an>0. 由題設(shè)an+1(2-an)>2an,則an+1>. 1°當(dāng)n=1時(shí)，由|an|<2,得a1>-2=成立. 2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，有ak>成立.（下證ak+1>成立） 設(shè)f(x)=,易知f(x)在(-2,2)內(nèi)是單調(diào)遞增的，又ak+1>f(ak),由歸納假設(shè),可知ak>, ∴ak+1>f(ak)>f()=,即當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1>成立.故對(duì)任意n∈N，an>成立. 變式提升2 設(shè)a,b∈R*,n∈N*,求證：≥()n. 證明：①n=1時(shí)，左邊=右邊=,原不等式成立. ②設(shè)n=k時(shí),原不等式成立，即≥()k成立. ∵a,b∈R+,∴·≥成立. ∴要證明n=k+1時(shí)原不等式成立，即證明k+1成立. 只需證明:成立. 只需證明:ak+1+bk+1≥abk+akb成立. 下面證明:ak+1+bk+1≥abk+akb成立. 不妨設(shè)a≥b>0,則ak+1+bk+1-abk-akb=(ak-bk)(a-b)≥0. ∴ak+1+bk+1≥abk+akb成立. 故n=k+1時(shí)原不等式成立. 由①②,可知對(duì)于任何n∈N*，原不等式成立. 三、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的點(diǎn)問題 【例3】 證明n為一切自然數(shù)時(shí)，（1+2+…+n）·（1++…+）≥n2. 證明： 先看下面的證明 （1）n=1時(shí)，左邊=右邊=1,命題正確. （2）假設(shè)n=k(k∈N且k≥1)命題正確，即(1+2+…+k)·(1++…+)≥k2，則n=k+1時(shí)， 左邊=［1+2+…+k+(k+1)］［1++…+］=(1+2+…+k)·(1++…+) ++(k+1)·（1++…+）+1≥k2+k+(k+1)(1++…+)+1， ∵1++…+≥1+, ∴左邊≥k2+k+(k+1)(1+)+1 =k2+2k+1+≥k2+2k+1=(k+1)2. ∴n=k+1時(shí)命題正確. 綜合（1）、（2）,知n為一切自然數(shù)時(shí)命題正確. 初看“證明”天衣無(wú)縫，仔細(xì)推敲便會(huì)發(fā)現(xiàn)“證明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.歸納步的證明用了結(jié)論“1++…+≥1+”,此結(jié)論成立的前提條件是k≥2,即歸納步建立的自動(dòng)遞推機(jī)制只能在n≥2(n∈N)的范圍內(nèi)行使遞推職能，其得以起動(dòng)的初始條件是n=2時(shí)命題正確.因此數(shù)學(xué)歸納法的奠基應(yīng)是n=2時(shí)命題正確的驗(yàn)證，n=1時(shí)的驗(yàn)證只是對(duì)命題的補(bǔ)充證明，并非為奠基.該命題嚴(yán)格的證明過程應(yīng)該是： （1）n=1,2時(shí)命題正確， （2）n≥2時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明 假設(shè)n=k(k∈N且k≥2)時(shí)命題正確，證明n=k+1時(shí)命題也正確. 綜合（1）、（2）,知n為一切自然數(shù)時(shí)命題正確. 溫馨提示 對(duì)于一個(gè)n≥n0(n∈N)的真命題，如果用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一步總是n=n0時(shí)命題正確的驗(yàn)證.這種想法是不對(duì)的，到底“奠基”步中從哪個(gè)數(shù)字開始，要看問題的條件. 類題演練3 若ai>0(i=1,2,…,n),且a1+a2+…+an=1, 求證：a12+a22+…+an2≥(n∈N且n≥2). 證明：(1)n=2時(shí)，∵a1+a2=1,∴a12+a22=a12+(1-a1)2=2(a1-)2+≥. ∴n=2時(shí)命題正確. （2）假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)命題正確，即如果a1+a2+…+ak=1且ai>0(i=1,2,…,k), 那么a12+a22+…+ak2≥,則n=k+1時(shí)， ∵a1+a2+…+ak+ak+1=1, ∴a1+a2+…+ak=1-ak+1. ∵0<ak+1<1,∴0<1-ak+1<1. ∴k個(gè)正數(shù)的和=1,從而由歸納假設(shè)得 , 即a12+a22+…+ak2≥(1-ak+1)2,從而有a12+a22+…+ak2+ak+12≥(1-ak+1)2+ak+12. 下面只要證明(1-ak+1)2+ak+12≥, 即證(k+1)2ak+12-2(k+1)ak+1+1≥0， 即證［(k+1)ak+1-1］2≥0,∴上式成立. 故n=k+1時(shí)命題正確. 變式提升3 設(shè)x>0，x≠1,求證： （1+xn）(1+x)n>2n+1xn(n∈N). 證明：（1）n=1時(shí)，左邊=(1+x)2,右邊=4x, ∵(1+x)2-4x=(1-x)2>0, ∴(1+x)2>4x.∴n=1時(shí)命題正確. （2）假設(shè)n=k(k∈N且k≥1)時(shí)命題正確，即(1+xk)(1+x)k>2k+1xk,則n=k+1時(shí)，（1+xk+1）(1+x)k+1-2k+2xk+1=(1+xk+1)(1+x)k+1-2x·2k+1xk>(1+xk+1)(1+x)k+1-2x(1+xk)(1+x)k =(1+x)k［(1+x)(1+xk+1)-2x(1+xk)］ =(1+x)k(1+x+xk+1+xk+2-2x-2xk+1) =(1+x)k(1-x)(1-xk+1), ∵x>0且x≠1, ∴1-x與1-xk+1同號(hào). ∴（1+x）k·(1-x)(1-xk+1)>0. ∴（1+xk+1）(1+x)k+1>2(k+1)+1xk+1. ∴n=k+1時(shí)命題正確. 精品資料，你值得擁有！