3.6 直線和圓的位置關(guān)系 第 1 課時(shí) 直線和圓的位置關(guān)系及切線的性質(zhì) 1．理解直線和圓的相交、相切、相離三種位置關(guān)系； (重點(diǎn) ) 2．掌握直線和圓的三種位置關(guān)系的判定方法； (難點(diǎn) ) 3．掌握切線的性質(zhì)定理，會(huì)用切線的性質(zhì)解決問題． (重點(diǎn) )  A ． 2cm B． 2 2cm C． 2 3cm D． 4cm 解析： 如圖所示，∵在 Rt△ ABC 中， ∠ C＝ 90°， AC＝ BC， CD⊥ AB，∴△ ABC 是等腰直角三角形． 一、情境導(dǎo)入 在紙上畫一條直線， 把硬幣的邊緣看作圓，在紙上移動(dòng)硬幣，你能發(fā)現(xiàn)直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化情況嗎？公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最少時(shí)有幾個(gè)？最多時(shí)有幾個(gè)？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：直線和圓的位置關(guān)系 【類型一】 判定直線和圓的位置關(guān)系 已知⊙ O 半徑為 3， M 為直線 AB 上一點(diǎn)，若 MO ＝ 3，則直線 AB 與⊙ O 的位 置關(guān)系為 ( ) A．相切 B ．相交 C．相切或相離 D．相切或相交 解析：因?yàn)榇咕€段最短， 所以圓心到直線的距離小于等于 3，則直線和圓相交、相切都有可能．故選 D. 方法總結(jié)： 判斷直線和圓的位置關(guān)系， 必須明確圓心到直線的距離．特別注意： 這里的 3 不一定是圓心到直線的距離． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 3 題 【類型二】 根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，求線段的長(zhǎng)或取值范圍 在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC ＝ BC， CD ⊥ AB 于點(diǎn) D ，若以點(diǎn) C 為圓心， 以 2cm 長(zhǎng)為半徑的圓與斜邊 AB 相切， 那么 BC 的長(zhǎng)等于 ( )  ∵以點(diǎn) C 為圓心，以 2cm 長(zhǎng)為半徑的圓與斜邊 AB 相切，∴ CD ＝ 2cm.∵∠ B＝ 45 ° ， ∴ CD ＝ BD ＝ 2cm ， ∴ BC ＝ CD 2＋ BD 2＝ 22＋ 22＝ 2 2(cm) ．故選 B. 方法總結(jié)： 解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形， 利用直線和圓的三種位置關(guān)系解答． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 2 題 【類型三】 在平面直角坐標(biāo)系中，解決直線和圓的位置關(guān)系的問題 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已 知⊙ O 的半徑為 1，動(dòng)直線 AB 與 x 軸交于 點(diǎn) P(x，0)，且滿足直線 AB 與 x 軸正方向夾角為 45°，若直線 AB 與⊙ O 有公共點(diǎn)，則 x 的取值范圍是 ( ) A ．－ 1≤ x≤ 1 B．－ 2 ＜x＜ 2 C． 0≤ x≤ 2 D ．－ 2 ≤ x≤ 2 解析： 當(dāng)直線 AB 與 ⊙ O 相切且與 x 軸 正半軸相交時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為 C，連接 OC.∵直 線 AB 與 x 軸正方向夾角為 45°， ∴△ POC 是等腰直角三角形． ∵⊙ O 的半徑為 1，∴ OC＝ PC＝ 1，∴ OP＝ 12＋ 12＝ 2，∴點(diǎn) P 第 1頁(yè)共3頁(yè) 的坐標(biāo)為 ( 2，0)．同理可得，當(dāng)直線 AB 與 x 軸負(fù)半軸相交時(shí)，點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (－ 2， 0)，∴ x 的取值范圍為－ 2≤x≤ 2.故選 D. 方法總結(jié)： 解決本題要熟知直線和圓的三種位置關(guān)系， 關(guān)鍵是有公共點(diǎn)的情況不要遺漏． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 3 題 探究點(diǎn)二：切線的性質(zhì) 【類型一】 利用切線的性質(zhì)求線段長(zhǎng) 如圖，CB 是⊙ O 的直徑， P 是 CB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， PB＝ 2， PA 切⊙ O 于 A 點(diǎn)，PA＝4.求⊙ O 的半徑． 解析： 設(shè)圓的半徑是 x，利用勾股定理可得關(guān)于 x 的方程，求出 x 的值． 解： 如圖，連接 OA，∵ PA 切⊙ O 于 A 點(diǎn)，∴ OA⊥ PA.設(shè) OA＝ x，∴ OP＝ x＋ 2.在 Rt△ OPA 中， x2＋ 42＝ (x＋ 2)2，∴ x＝ 3，∴ ⊙ O 的半徑為 3. 方法總結(jié)： 運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或證明時(shí)，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 8 題 【類型二】 圓的切線與相似三角形的 綜合 如圖，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°，以 AC 為直徑的⊙ O 與 AB 邊交于點(diǎn) D ，過點(diǎn) D 作⊙ O 的切線，交 BC 于 E，連 接 CD. (1)求證：點(diǎn) E 是邊 BC 的中點(diǎn)； (2)求證： BC2＝ BD ·BA； (3)當(dāng)以點(diǎn) O、 D、 E、C 為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)， 求證： △ ABC 是等腰直角三角形．  解析：(1) 利用切線的性質(zhì)及圓周角定理證明； (2) 利用相似三角形證明； ( 3)利用正方形的性質(zhì)證明． 證明： (1)如圖，連接 OD.∵ DE 為切線， ∴∠ EDC ＋∠ ODC ＝ 90° .∵∠ ACB ＝ 90°， ∴∠ ECD ＋∠ OCD ＝ 90° .又∵ OD ＝ OC，∴ ∠ ODC ＝∠ OCD ，∴∠ EDC ＝∠ ECD ，∴ ED ＝ EC.∵ AC 為直徑，∴∠ ADC＝ 90°， ∴∠ BDE ＋∠ EDC ＝ 90°，∠ B＋∠ ECD ＝ 90°，∴∠ B＝∠ BDE，∴ ED ＝ BE.∴ EB＝EC，即點(diǎn) E 為邊 BC 的中點(diǎn)； (2) ∵ AC 為直徑， ∴∠ ADC ＝∠ ACB ＝∠ BDC ＝ 90° .又∵∠ B＝∠ B，∴△ ABC ∽△ CBD ，∴ AB ＝ BC，∴ BC2＝BD ·BA ； BC BD (3) 當(dāng)四邊形 ODEC 為正方形時(shí)， ∠ OCD ＝ 45° .∵ AC 為直徑，∴∠ ADC＝ 90°，∴ ∠ CAD ＝ 180 °－∠ ADC －∠ OCD ＝ 180° － 90°－ 45°＝ 45°，∴ Rt△ABC 為等腰直角 三角形． 方法總結(jié)： 本題的綜合性比較強(qiáng)，但難度不大， 解決問題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)解答．另外，連接圓心和切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形也是解題的關(guān)鍵． 【類型三】 圓的切線與三角函數(shù)的綜 合 如圖， AB 為⊙ O 的直徑，弦 CD ⊥ AB 于點(diǎn) H，過點(diǎn) B 作⊙ O 的切線與 AD 的延長(zhǎng)線交于 F 點(diǎn)． (1) 求證：∠ ABC ＝∠ F ； 3 (2) 若 sinC＝ 5，DF ＝ 6，求⊙ O 的半徑． 解析： (1) 由切線的性質(zhì)得 AB⊥ BF，因 第 2頁(yè)共3頁(yè) 為 CD⊥ AB，所以 CD∥ BF ，由平行線的性質(zhì)得 ∠ ADC ＝ ∠F ，由圓周角定理的推論得 ∠ ABC ＝ ∠ADC ，于是證得 ∠ ABC＝ ∠ F；(2) 連接 BD . 由直徑所對(duì)的圓周角是直角得 ∠ ADB ＝ 90°，因?yàn)?∠ ABF ＝ 90°，然后運(yùn)用解直角三角形解答． (1)證明： ∵ BF 為⊙ O 的切線，∴ AB ⊥ BF .∵CD ⊥ AB，∴∠ ABF ＝∠ AHD ＝ 90°， ∴ CD ∥ BF.∴∠ ADC ＝∠ F.又∵∠ ABC ＝ ∠ ADC ，∴∠ ABC＝∠ F； (2)解： 連接 BD，∵ AB 為⊙ O 的直徑， ∴∠ ADB ＝90°，∴∠ A＋∠ ABD＝ 90° .由 (1) 可知∠ ABF ＝ 90°，∴∠ ABD＋∠ DBF ＝ 90°， ∴∠ A＝∠ DBF .又∵∠ A＝∠ C，∴∠ C＝∠ DBF .在 Rt△ DBF 中，sin∠ DBF ＝ sinC ＝ 3， DF ＝6，∴ BF ＝ 10，∴ BD＝ 8.在 Rt△ 5 ABD 中，sinA＝ sinC＝ 3，BD＝ 8，∴ AB＝ 40. 5 3 ∴⊙ O 的半徑為 203. 方法總結(jié)： 運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算 或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)， 利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題． 三、板書設(shè)計(jì) 直線和圓的位置關(guān)系及切線的性質(zhì) 1．直線和圓的位置關(guān)系： ①直線 l 與圓 O 相交 ? d＜ r； ②直線 l 與圓 O 相切 ? d＝ r； ③直線 l 與圓 O 相離 ? d＞ r. 2．切線的性質(zhì)及運(yùn)用 在探索直線和圓位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān) 系時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生回顧點(diǎn)和圓的位置關(guān)系所 對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系， 啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用類比的思想 來(lái)思考問題，解決問題， 學(xué)生很輕松地就能 夠得出結(jié)論，從而突破本節(jié)課的難點(diǎn)，使學(xué) 生充分理解位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn) 化 . 第 3頁(yè)共3頁(yè)