1.5 三角函數(shù)的應(yīng)用 1．通過生活中的實際問題體會銳角三 角函數(shù)在解決問題過程中的作用； (重點 ) 2．能夠建立數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題． (難點 ) 一、情境導(dǎo)入 為倡導(dǎo)“低碳生活”， 人們常選擇自行車作為代步工具， 圖①所示的是一輛自行車的實物圖． 圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔 AC 與 CD 的長分別為 45cm 和 60cm，且它們互相垂直，座桿 CE 的長為 20cm.點 A、 C、 E 在同一條直線上，且∠ CAB＝ 75° . 你能求出車架檔 AD 的長嗎？ 二、合作探究 探究點：三角函數(shù)的應(yīng)用 【類型一】 利用方向角解決問題 某船以每小時 36 海里的速度向正東方向航行，在點 A 測得某島 C 在北偏東 60°方向上，航行半小時后到達(dá)點 B，測得該島在北偏東 30°方向上， 已知該島周圍 16 海里內(nèi)有暗礁． (1)試說明點 B 是否在暗礁區(qū)域外； (2) 若繼續(xù)向東航行有無觸礁危險？請說明理由．  解析： (1)求點 B 是否在暗礁區(qū)域內(nèi)，其實就是求 CB 的距離是否大于 16，如果大于則不在暗礁區(qū)域內(nèi)，反之則在．可通過構(gòu) 造直角三角形來求 CB 的長，作 CD ⊥ AB 于 D 點， CD 是 Rt△ ACD 和 Rt△ CBD 的公共直角邊，可先求出 CD 的長，再求出 CB 的長； (2) 本題實際上是問 C 到 AB 的距離即 CD 是否大于 16，如果大于則無觸礁危險，反之則有， CD 的值在第 (1) 問已經(jīng)求出，只要進(jìn)行比較即可． 解： (1)作 CD ⊥AB 于 D 點，設(shè) BC＝ x， 在 Rt△BCD 中，∠ CBD＝ 60°，∴BD ＝ 1x， 2 3 CD ＝ 2 x.在 Rt △ACD 中，∠ CAD ＝ 30°， 3 CD 3 2 x 3 tan∠ CAD ＝ AD ＝3，∴ 1 ＝ 3 .∴ x＝ 18＋ 2x 18.∵ 18>16，∴點 B 是在暗礁區(qū)域外； 3 (2) ∵ CD ＝ 2 x＝ 9 3， 9 3＜ 16，∴若 繼續(xù)向東航行船有觸礁的危險． 方法總結(jié)： 解決本題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題， 通過作輔助線構(gòu)造直角三角形， 再把條件和問題轉(zhuǎn)化到這個直角三角形中解決． 變式訓(xùn)練： 見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí) “課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第 4 題 【類型二】 利用仰角和俯角解決問題 某中學(xué)九年級學(xué)生在學(xué)習(xí)“直角 三角形的邊角關(guān)系”時， 組織開展測量物體 高度的實踐活動．在活動中，某小組為了測 量校園內(nèi)①號樓 AB 的高度 (如圖 )，站在② 第 1頁共3頁 號樓的 C 處，測得①號樓頂部 A 處的仰角 α ＝ 30°，底部 B 處的俯角 β＝ 45°.已知兩幢樓的水平距離 BD 為 18 米，求①號樓 AB 的 高度 (結(jié)果保留根號 )． 解析： 根據(jù)在 Rt△ BCE 中， tan∠BCE ＝ BE，求出 BE 的值，再根據(jù)在 Rt △ ACE CE 中， tan∠ ACE＝ AE ，求出 AE 的值， 最后根 CE 據(jù) AB＝ AE＋ BE，即可求出答案． 解： ∵AB⊥ BD， CD ⊥ BD ，CE⊥AB，∴四邊形 CDBE 是矩形，∴ CE ＝ BD ＝ 18 米．在 Rt△ BEC 中，∵∠ ECB＝ 45°，∴ EB ＝CE＝18 米．在 Rt△ AEC 中，∵ tan∠ ACE ＝ CEAE ， ∴ AE ＝ CE·tan ∠ ACE ＝ 18× tan30°＝ 6 3(米 )，∴ AB＝ AE＋EB ＝18 ＋ 6 3(米 )． 所以，①號樓 AB 的高為 (18＋ 6 3)米． 方法總結(jié)： 解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合仰角、俯角構(gòu)造直角三角形，然后再解直角三角形． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課 后鞏固提升” 第 1 題 【類型三】 求河的寬度 根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善 市區(qū)交通狀況， 計劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端 位于 A、 B 兩點，小張為了測量 A、 B 之間的河寬，在垂直于新大橋 AB 的直線型道路 l 上測得如下數(shù)據(jù)： ∠ BDA＝ 76.1°， ∠BCA ＝ 68.2°， CD＝ 82 米．求 AB 的長 (精確到 0.1 米，參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈ 0.97，cos76.1° ≈ 0.24， tan76.1°≈ 4.0， sin68.2°≈ 0.93， cos68.2°≈ 0.37， tan68.2°≈ 2.5)． 解析： 設(shè) AD＝ xm，則 AC＝ (x＋ 82)m. 在 Rt△ ABC 中，根據(jù)三角函數(shù)得到 AB＝ 2.5(x＋ 82)m，在 Rt△ABD 中，根據(jù)三角函  數(shù)得到 AB＝ 4x，依此得到關(guān)于 x 的方程，進(jìn)一步即可求解． 解： 設(shè) AD ＝ xm，則 AC＝ (x＋ 82)m. 在 AB Rt△ ABC 中，tan∠ BCA＝ AC，∴ AB＝AC ·tan ∠ BCA＝ 2.5(x＋ 82)．在 Rt△ ABD 中， tan∠ AB BDA ＝ AD，∴ AB＝ AD ·tan∠ BDA ＝ 4x，∴ 410 2.5(x＋ 82)＝ 4x，解得 x＝ 3 . ∴ AB＝ 4x＝ 4× 4103≈ 546.7m. 所以， AB 的長約為 546.7m. 方法總結(jié)： 解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計算出所要求的物體的高度或?qū)挾龋? 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》 本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第 5 題 【類型四】 仰角、俯角和坡度的綜合 應(yīng)用 如圖， 小麗假期在娛樂場游玩時， 想要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量某個娛樂場 地所在山坡 AE 的長度．她先在山腳下點 E 處測得山頂 A 的仰角是 30°，然后，她沿 著坡度是 i ＝ 1∶ 1( 即 tan∠ CED＝ 1)的斜坡 步行 15 分鐘抵達(dá) C 處，此時，測得 A 點的 俯角是 15° .已知小麗的步行速度是 18 米 / 分，圖中點 A、B、E、D 、C 在同一平面內(nèi)， 且點 D 、E、 B 在同一水平直線上．求出娛 樂場地所在山坡 AE 的長度 (參考數(shù)據(jù)： 2≈ 1.41，結(jié)果精確到 0.1 米 )． 解析： 作輔助線 EF⊥ AC 于點 F，根據(jù) 速度乘以時間得出 CE 的長度，通過坡度得 到 ∠ ECF ＝ 30°，通過平角減去其他角從而得到 ∠ AEF ＝ 45°，即可求出 AE 的長度． 解： 作 EF ⊥AC 于點 F，根據(jù)題意，得 CE ＝18× 15＝ 第 2頁共3頁 270(米 )． ∵ tan∠ CED ＝ 1，∴∠ CED＝∠ DCE ＝ 45° .∵∠ ECF ＝ 90°－ 45°－ 15°＝ 30°， 1 ∴ EF ＝ 2CE＝ 135 米．∵∠ CEF＝ 60°，∠ AEB＝ 30°，∴∠ AEF ＝180°－ 45°－ 60° － 30°＝ 45 °，∴ AE ＝ 2 EF＝ 135 2≈ 190.4(米 )． 所以，娛樂場地所在山坡 AE 的長度約 為 190.4 米． 方法總結(jié)： 解決本題的關(guān)鍵是能借助仰 角、俯角和坡度構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖 形利用三角函數(shù)解直角三角形． 三、板書設(shè)計 三角函數(shù)的應(yīng)用 1．方向角的概念 2．三角函數(shù)的實際應(yīng)用 本節(jié)課盡可能站在學(xué)生的角度上思考問題， 設(shè)計好教學(xué)的每一個細(xì)節(jié)，上課前多揣 摩．讓學(xué)生更多地參與到課堂的教學(xué)過程 中，讓學(xué)生體驗思考的過程，體驗成功的喜 悅和失敗的挫折，把課堂讓給學(xué)生， 讓學(xué)生 做課堂這個小小舞臺的主角． 教師盡最大可 能在課堂上投入更多的情感因素， 豐富課堂 語言，使課堂更加鮮活，充滿人性魅力，下 課后多反思， 做好反饋工作， 不斷總結(jié)得失， 不斷進(jìn)步． 只有這樣，才能真正提高課堂教 學(xué)效率 . 第 3頁共3頁