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數學教學中的歸納與類比 摘要：數學教師要想有所發(fā)現、有所創(chuàng)造并培養(yǎng)出有創(chuàng)新能力的學生, 就要認真研究數學發(fā)現中的規(guī)律, 研究數學的思想方法，只有掌握了正確的數學思想方法, 才能學得深刻, 理解得透徹, 才能用學到的知識解決實際問題。 關鍵詞 教學 歸納 類比 學習數學史, 看看數學家們實際的工作, 我們會發(fā)現, 和其他自然科學一樣, 數學家們的科學研究工作也是從觀察和實驗開始, 通過歸納和類比, 經歷失敗和挫折, 終于領悟而發(fā)現一條規(guī)律, 做出一個證明的。偉大的數學家拉普拉斯曾經說過, “ 甚至在數學里, 發(fā)現真理的主要工具也是歸納和類比?！?而開普列是說到“ 我珍惜類比勝于任何別的東西, 它是我最可信賴的老師, 它能揭示自然界的秘密, 在幾何學中它應該是最不容忽視的?！?歐拉, 這位十八世紀里領袖的數學家和帶頭的物理學家, 也正是一位用歸納和類比方法的大師,他曾經用正確的歸納和大膽的類比做出了很多驚人的著名的數學發(fā)現。 本文通過一些教學中的例子，來說明歸納與類比的重要性。 1、歸納 所謂歸納, 作為數學思想方法, 是指通過對特例的分析去引出普遍的結論，主要是通過實驗、觀察、分析從而歸納出結論, 有時得到的結論不一定是正確的, 要求對歸納出的結論進行嚴格的證明。具體過程是:歸納(不完全) —— 猜想—— 完全歸納(數學歸納法證明) 。數學歸納法是應用范圍相當廣泛的論證方法, 其基本形式是: 為了證明與參數n 有關的命題對一切自然數成立, 首先驗證歸納基礎, 其次提出歸納假設, 最后完成歸納過渡, 從而得到結論對一切自然數成立。歸納包括：枚舉歸納、、類比歸納、實驗歸納、統(tǒng)計與模式歸納。 1.1 枚舉歸納 枚舉歸納法是從枚舉一類事物中的若干分子具有某種性質得出這類事物的所有分子都具有該性質的邏輯方法. 枚舉歸納法只依靠所枚舉的事例的數量, 因此它所得到的結論可靠性較低, 一旦遇到一個反例, 結論就會被推翻. 但是枚舉歸納法仍有一定的作用, 通過枚舉歸納法得到的結論可作為進一步研究的假說. 例1 觀察圖1中每一個大三角形中白色三角形的排列規(guī)律, 則第5個大三角形中白色三角形有121個. 圖1 分析 設第n個大三角形中白色三角形有an 個. 第1個里面蘊含1個白色三角形(即a1 = 1); 第2個里面蘊含4個白色三角形(即a2 = 1+ 3a1 ); 第3個里面蘊含13 個白色三角形(即a3 = 1 +3a2 ); … 通過前三個里面蘊含的規(guī)律, 可以發(fā)現第n 個大三角形中白色三角形有an = 1+ 3an- 1個. 因此, 可知a1 = 1,a2 = 4, a3 = 13, a4 = 40, a5 = 121。 例2 如圖2所示, 已知點A ( 0, 0), B ( 3, 0), C ( 0, 1), 在△ABC 內依次作等邊三角形, 使一邊在BC 邊上, 作出的等邊三角形分別是第1個△AA 1B1, 第2個△B1A2B2, 第3個△B2A3B3,…則第n個等邊三角形的邊長等于32n 圖2 分析 顯然要求第n 個等邊三角形的邊長, 需要求出第1個等邊三角形的邊長、第2個等邊三角形的邊長,…, 從中發(fā)現規(guī)律△ABC在平面直角坐標系下,顯然OB = 3, 通過計算可得出OB1 =32, B1B2 =322,…,Bn-1Bn =32n 1.2 類比歸納 類比歸納法是兩種或兩種以上在某些關系上表現相似的對象進行對比, 做出歸納判斷的一種科學研究方法. 在中考數學中考查類比歸納法, 引導學生通過對知識的類比和歸納, 把知識由點連成線, 由線織成網, 使知識有序化、系統(tǒng)化, 從而使學生掌握知識內在的規(guī)律. 例3 如圖3是與楊輝三角形有類似性質的三角形數壘, a, b是某行的前兩個數,當a= 7時, b= 22. 圖3 分析 一看到此題, 學生應該頭腦中馬上映現出楊輝三角的基本數表結構對比楊輝三角形的性質通過觀察、類比、歸納三角形數壘的特征, 當a= 6, 鄰近的數字是16, 那么當a =7, 鄰近的數字是22. 1.3 實驗歸納 實驗歸納是直接從觀察實驗結果中分析、歸納、概括而總結出規(guī)律的方法. 在中考試題中, 需要學生動手操作, 通過實驗, 依托直覺, 對實驗的結果進行大膽猜想, 形成解決問題的初步方案; 然后根據猜想, 繼續(xù)實驗, 通過實驗來驗證方案, 從而解決問題. 例4 已知等邊三角形紙片ABC 的邊長為8, D為AB 邊上的點, 過點D作DG∥BC 交AC于點G. DE⊥BC于點E, 過點G 作GF⊥BC于點F, 把三角形紙片ABC分別沿DG, DE, GF 按圖4所示方式折疊,點A,B,C分別落在點A’,B’,C’處. 若A’,B’,C’在矩形DEFG內或其邊上, 且互不重合, 此時我們稱△A’B’C’(即圖中陰影部分)為“重疊三角形”. ( 1) 若把三角形紙片ABC 放在等邊三角形網格中(圖中每個小三角形都是邊長為1的等邊三角形), 點A,B,C,D 恰好落在網格圖中的格點上. 如圖4所示, 請直接寫出此時重疊三角形A’B’C’的面積. 圖4 圖5 ( 2)實驗探究: 設AD 的長為m, 若重疊三角形A’B’C’存在. 試用含m 的代數式表示重疊三角形A’B’C’的面積, 并寫出m 的取值范圍. 分析 通過一個等邊三角形進行折疊實驗.根據折疊, 發(fā)現結果是等邊三角形, 那么可以猜測如果出現重疊的話, 那么可能是等邊三角形. 此時的歸納結論還屬于猜測, 通過第二次或第三次的折疊來驗證結論, 在驗證的過程中, 可能會出現沒有重疊的可能性, 那么根據直覺經驗, 能否獲得重疊三角形可能與點D 有密切聯系, 從而順利過渡到m 取值范圍上來 解 根據折疊, 設A’ D 的長為m, 那么A’B’的長為8- 2m, 從而s?A’B’C’=3(4-m)2 此時8- m > m, 即得m< 4. 那么m到底應該至少多長才會出現重疊呢? 觀察實驗可以得出8- 2m ≥m, 解m≥83.故83≤m<4. 1.4 統(tǒng)計歸納 統(tǒng)計歸納推理是歸納推理的主要形式, 作為歸納推理, 它是以一些統(tǒng)計數據或資料為前提, 以概率演算為基礎, 由樣本所含單位具有某屬性的相對頻率推出總體所含單位具有該屬性的概率. 例5 初中生對待學習的態(tài)度一直是教育工作者關注的問題之一. 為此某市教育局對該市部分學校的八年級學生對待學習的態(tài)度進行了一次抽樣調查(把學習態(tài)度分為三個層級, A 級: 對學習很感興趣; B 級: 對學習較感興趣; C 級: 對學習不感興趣), 并將調查結果繪制成圖6 和圖7 的統(tǒng)計圖(不完整). 請根據圖中提供的信息, 解答下列問題: ( 1)此次抽樣調查中, 共調查了多少名學生; ( 2)將圖6補充完整; ( 3)求出圖7中C 級所占的圓心角的度數; ( 4)根據抽樣調查結果, 請你估計該市近20000名 初中生中大約有多少名學生學習態(tài)度達標(達標包括A 級和B 級)? 圖6 圖7 分析 以柱狀圖、扇形圖等來呈現資料, 要讀懂里面蘊含的信息, 從而迅速求解. 解 ( 1) 200; ( 2) 圖8 ( 3) C 所占圓心角度數360 ( 1- 25% - 60% ) =54 ( 4) 20000 ( 25% + 60% ) = 17000 1.5模式歸納 模式歸納是借助于已有的提供數、圖表信息, 以此為依據, 構造數學模型, 進行歸納得出結論的過程. 模式可以包括數的模式、形的模式、運動變化的模式、推理通信的模式、算法模式等等. 例6將4個數a, b, c, d 排成2行2列, 兩邊各加一條豎線記作abcc, 定義abcc= ad –bc.上述記號就叫做二階行列式. 若x+1x-11-x1+x=6,則x=2. 分析 此題給出了一個新的運算規(guī)則, 學生需讀懂這個運算規(guī)則, 然后根據運算規(guī)則, 將二階行列式轉化為一個一元二次方程, 從而獲得解決. 解 計算(x +1)(x+1)-(1-x)(x-1)=6, 解得x=2. 例7 如圖9, 根據下面的運算程序, 若輸入x = 1-3時, 輸出的結果y 是多少? 圖9 分析 此題結合程序設計框圖, 設計出一個選擇結構, 構造出一個算法模式. 使輸入值與輸出值之間產生新的函數關系. 解 根據輸入的數值, 選擇合理的算式, 顯然得出結果- 1-3. 2 類比 《數學課程標準》中新增加“推理與證明”包含演繹推理與合情推理, 新一輪基礎教育數學課程改革中, 給了合情推理應有的關注. 《數學課程標準》在選修1- 2 與選修2- 2 中設計了推理與證明內容, 要求學生結合已學過的數學實例和生活的實例, 對合情推理與演繹推理的方法進行概括總結, 體會合情推理與演繹推理在數學結論發(fā)現與數學體系建構中的作用.而類比作為一種常用的合情推理方法, 具有猜測和發(fā)現結論、探索和提供思路的作用, 有利于創(chuàng)新能力的 培養(yǎng). 本文結合試題實例, 從概念類比、方法類比、升維類比、結構類比四個角度, 對近幾年試卷中出現的“類比”型試題進行分類解析, 探討教學實踐中對學生類比推理能力的培養(yǎng). 2.1 類比推理及其特征 所謂類比推理是根據兩個( 或兩類) 不同的對象在某些方面( 屬性、關系、特征、形式等) 有相同或相似性, 猜測它們在其他方面也可能相同或相似, 即把信息從一個對象轉移到另一個對象, 并作出某種判斷的推理方法. 類比的實質就是信息從模型向原型的轉移, 恰當地運用類比可以有效地培養(yǎng)學生發(fā)現問題、提出問題、解決問題的能力. 2.2 常見類比類型 2.2. 1 概念類比 用類比法引入新概念, 可使學生更好地理解新概念的內涵與外延. 數學中的許多概念, 知識點之間有類似的地方, 在新概念的提出, 新知識的講授過程中,運用類比的方法, 能使學生易于理解和掌握, 有效培養(yǎng)學生的探究能力. 如：三角形的外接圓和三角形的內切圓類比，大多數學生會把外心和內心的概念及性質混淆。針對這一問題，采用類比思想，把三角形的外心和內心的概念及性質歸納為：外心是三角形三邊中垂線的交點，它隨三角形的形狀不同，位置也不同，它在銳角三角形的內部，在直角三角形斜邊的中點處，在鈍角三角形的外部，它是三角形外接圓的圓心，具有到三角形三個頂點的距離相等的性質。內心是三角形內切圓的圓心，它是三角形三個內角平分線的交點，它一定在三角形的內部，不隨三角形形狀的改變而變化位置，它到三角形三邊的距離相等。 2.2.2 方法類比 例如：解一元一次不等式與解一元一次方程類比 解一元一次方程：2x+9=6-x 解：移項，得：2x+x=6-9 合并同類項，得：3x=-3 系數化為1，得：x=-1 解一元一次不等式：2x+9＜6-x 解：移項，得：2x+x＜6-9 合并同類項，得：3x＜-3 兩邊都除以3，得：x＜-1 學生只要注意最后一步：系數化為1時，不等式的兩邊如果都乘以或除以同一個負數時，不等號的方向改變即可。從而類比一元一次方程的解法歸納出一元一次不等式的解法步驟。 2.2.3 升維類比 將平面( 二維) 中問題升級到空間( 三維) 問題, 此種方法即為升維類比. 例 在平面幾何里, 有勾股定理:設三角形ABC的兩邊AB、AC 互相垂直, 則AB2+AC2=BC2, 拓展到空間, 類比平面幾何的勾股定理, 研究三棱錐的側面積與底面面積間的關系, 可以得出的正確結論是: 設三棱錐A-BCD 的三個側面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直, 則 S?ABC2+S?ACD2+S?ADB2=S?BCD2. 分析 關于平面問題與空間問題的類比, 通?？勺プ缀我氐娜缦聦P系作對比:多邊形?多面體; 邊?面; 面積?體積; 平面角?二面角; 線段長?面積; …由此, 根據線段長?面積, 可類比猜測本題的答案: S?ABC2+S?ACD2+S?ADB2=S?BCD2 ( 證明略) 2.2.4 結構類比 某些待解決的問題沒有現成的類比物, 但可通過觀察, 特征命題的條件或結論與已知的數學關系結構上的相似性, 尋找類比問題, 然后可通過適當的代換,將原問題轉化為類比問題來解決. 最常見的同構類比就是數形結合、函數與圖像, 代數與解析幾何等, 如: 例 已知f(x)是定義在R上的不恒為零的函數, 且對于任意的a,b∈R 都滿足: f(ab) = af(b)+bf(a),若f(2)=2,un=f(2-n)n(n∈N),求數列{un}的前n項和Sn . 解 當ab≠0時,f(ab)ab=f(b)b+f(a)a,令gx=f(x)x,則g(ab)=g(a)+g(b),且f(x)=xg(x). 類比具體函數: 對數函數, 由上可得gan=ng(a).所以fan=ang(an)= nang(a)= nan-1f(a), un=f(2-n)n=12n-1f(12). 因為f(2)=2,所以0 = f1=f212=2f12+12f2=2f12+1 所以 f12=-12，un=-12（12）n-1,所以Sn=(12)n-1(證明略)。 2.2.5 類比是歸納的基礎 首先, 通過對特例的觀察, 我們注意到了某些相似性, 然后, 把所說的相似性推廣為一個明確表述的一般命題. 這就是歸納. 例5 已知數列{an}(n為正整數)是首項為a1,公比為q的等比數列. (1)求和: a1C20-a2C21+a3C22,a1C30- a2C31+a3C32- a4C33. ( 2)由(1)的結果,歸納概括出關于正整數n 的一個結論,并加以證明. 分析 本題由(1)的結論 通過大膽猜測,歸納猜想出一般性的結論: ( 1) a1C20-a2C21+a3C22= a1-2a1q+a1q2 = a1(1-q)2,a1C31-a2C31+ a3C32- a4C33=a1-3a1q+3a1q2-a1q3=a1(1-q)3 (2)歸納概括的結論為:若數列{an}是首項為a1, 公比為q 的等比數列,則a1Cn0- a2Cn1+ a3Cn2- a4Cn3+… + +(-1)nan+1Cnn =a1(1-q)n.(證明略) 從以上幾點可以看出，類比在獲取解題思路，新概念的導入，公式、定理和記憶及證明，新知識的探索研究等方面都有著重要作用。 從實踐中也證明，這種類比的數學方法，學生掌握的知識扎實，理解也較好。因此，類比思想是數學學習中不可缺少的一種教學方法，在初中數學教學過程中充分運用類比法培養(yǎng)學生的思維能力，有不可估量的作用。 歸納法和類比法是數學方法論中最基本的方法之一, 用好了能獲得新的成果, 乃至完成重要發(fā)現。但要真正用好是很不容易的。首先, 要有敏銳的觀察力, 才能從眾多的特例中歸納總結出一般性命題來。特例有時是現成的, 有時卻需要故意構造出來。要用好類比需要較豐富的數學知識, 知識面越廣, 在數學思維中可作類比推理的題材就越多, 因而能形成普遍命題的機會也越多,重視培養(yǎng)學生的類比推理和歸納推理的能力. 不僅能幫助他們理解和掌握新知識, 而且還能提高他們的解題能力, 促進創(chuàng)造性思維的培養(yǎng). 參考文獻 1 史寧中. 數學課程標準的若干思考[ J]. 數學通報, 2007,46, 5 2 單肖天.中考數學探究試題的考察特征[ J].數學通報,2008, 47, 7 3 徐章韜、楊小梅. 類比及其思維基礎. 數學教學, 2008 ,8 4 何振華. 例說類比方法在數學解題中的應用. 數學教學通訊( 教師版) , 2009, 8