A級(jí)　基礎(chǔ)通關(guān) 一、選擇題 1．設(shè)f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，則f ＝(　　) A．2　 B．4　 C．6　 D．8 解析：由已知得a＞0，所以a＋1＞1， 因?yàn)閒(a)＝f(a＋1)，所以＝2(a＋1－1)， 解得a＝，所以f ＝f(4)＝2(4－1)＝6. 答案：C 2．(2019·天一大聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝m－的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在(－∞，0)上的值域(　　) A. B. C．(1，＋∞) D. 解析：依題意，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故f(－x)＝－f(x)，解得m＝－. 故f(x)＝－－，且f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增． 當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)―→，當(dāng)x→0－時(shí)，f(x)→＋∞. 故函數(shù)f(x)在(－∞，0)上的值域是. 答案：A 3．(2017·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ln(2－x)，則(　　) A．f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增 B．f(x)在(0，2)上單調(diào)遞減 C．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱 D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱 解析：由題意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定義域?yàn)?0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，C正確，D錯(cuò)誤． 答案：C 4．(2018·全國卷Ⅱ)函數(shù)f(x)＝的圖象大致為(　　) 解析：f(x)＝為奇函數(shù)，排除A；當(dāng)x＞0，f(1)＝e－＞2，排除C、D，只有B項(xiàng)滿足． 答案：B 5．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(32a－1)≥f(－)，則a的最大值是(　　) A．1 B. C. D. 解析：f(x)在R上是偶函數(shù)，且在(－∞，0)上是增函數(shù)，所以f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)， 由f(32a－1)≥f(－)＝f()，所以32a－1≤， 則2a－1≤，所以a≤. 因此a的最大值為. 答案：D 二、填空題 6．(2018·江蘇卷)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2，2]上，f(x)＝ 則f(f(15))的值為________． 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為4. 又因?yàn)樵趨^(qū)間(－2，2]上， f(x)＝ 所以f(f(15))＝f(f(－1))＝f＝cos ＝. 答案： 7．已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log2 5.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為________． 解析：法1：易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數(shù)， 因?yàn)槠婧瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)＝0. 所以g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 又3＞log25.1＞2＞20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)， 所以g(3)＞g(log25.1)＞g(20.8)，則c＞a＞b. 法2：(特殊化)取f(x)＝x，則g(x)＝x2為偶函數(shù)且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又3＞log25.1＞20.8， 從而可得c＞a＞b. 答案：c＞a＞b 8．(2019·天津卷)設(shè)x＞0，y＞0，x＋2y＝5，則的最小值為________． 解析：因?yàn)閤＞0，y＞0，所以＞0. 因?yàn)閤＋2y＝5，所以＝＝＝2＋≥2＝4. 當(dāng)且僅當(dāng)2＝時(shí)取等號(hào)． 所以的最小值為4. 答案：4 9．已知函數(shù)f(x)＝，g(x)＝－ex－1－ln x＋a對(duì)任意的x1∈[1，3]，x2∈[1，3]恒有f(x1)≥g(x2)成立，則a的范圍是________． 解析：f(x)＝＝(x＋1)＋－3. 易知f′(x)＞0，所以f(x)在[1，3]上是增函數(shù)，f(x)min＝f(1)＝－. 又g(x)在[1，3]上是減函數(shù)，知g(x)max＝g(1)＝a－1. 若恒有f(x1)≥g(x2)成立，則－≥a－1，所以a≤. 答案： 三、解答題 10．已知函數(shù)f(x)＝a－. (1)求f(0)； (2)探究f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論； (3)若f(x)為奇函數(shù)，求滿足f(ax)＜f(2)的x的范圍． 解：(1)f(0)＝a－＝a－1. (2)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽， 所以任取x1，x2∈R且x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝a－－a＋＝. 因?yàn)閥＝2x在R上單調(diào)遞增且x1＜x2， 所以0＜2x1＜2x2，所以2x1－2x2＜0，2x1＋1＞0，2x2＋1＞0. 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)． 所以f(x)在R上單調(diào)遞增． (3)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)， 即a－＝－a＋， 解得a＝1(或用f(0)＝0去解)． 所以f(ax)＜f(2)即為f(x)＜f(2)， 又因?yàn)閒(x)在R上單調(diào)遞增，所以x＜2. B級(jí)　能力提升 11．已知定義在D＝[－4，4]上的函數(shù)f(x)＝對(duì)任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)，則|x1－x2|的最大值與最小值之和為(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由任意x∈D，f(x1)≤f(x)≤f(x2)知，f(x1)，f(x2)分別為f(x)的最小值和最大值，由圖可知|x1－x2|max＝8，|x1－x2|min＝1，所以|x1－x2|的最大值與最小值之和為9. 答案：C 12．已知函數(shù)f(x)＝x2－2ln x，h(x)＝x2－x＋a. (1)求函數(shù)f(x)的極值； (2)設(shè)函數(shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)，若函數(shù)k(x)在[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，令f′(x)＝2x－＝0，得x＝1. 當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在x＝1處取得極小值為1，無極大值． (2)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)＝x－2ln x－a(x＞0)， 所以k′(x)＝1－， 令k′(x)＞0，得x＞2，所以k(x)在[1，2)上單調(diào)遞減，在(2，3]上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)k(x)取得最小值k(2)＝2－2ln 2－a. 因?yàn)楹瘮?shù)k(x)＝f(x)－h(huán)(x)在區(qū)間[1，3]上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)， 即有k(x)在[1，2)和(2，3]內(nèi)有各一個(gè)零點(diǎn)， 所以即有 解得2－2ln 2＜a≤3－2ln 3. 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2－2ln 2，3－2ln 3]．