第11練　數(shù)　列 [明晰考情]　1.命題角度：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列基本量的計算，考查數(shù)列的通項及求和.2.題目難度：選擇題中等偏下，填空題中檔難度. 考點一　等差數(shù)列與等比數(shù)列 要點重組　(1)在等差數(shù)列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq. (2)若{an}是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列. (3)在等差數(shù)列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差數(shù)列. (4)在等比數(shù)列中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則aman＝apaq. (5)在等比數(shù)列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列(n為偶數(shù)且q＝－1除外). 1.(2018全國Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5等于(　　) A.－12 B.－10 C.10 D.12 答案　B 解析　設等差數(shù)列{an}的公差為d，由3S3＝S2＋S4， 得3＝2a1＋d＋4a1＋d，將a1＝2代入上式， 解得d＝－3， 故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4(－3)＝－10. 故選B. 2.已知Sn是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和，a7＝64，a1a5＋a3＝20，則S5等于(　　) A.31 B.63 C.16 D.127 答案　A 解析　設公比為q(q>0)，∵a1a5＋a3＝20， ∴a＋a3－20＝0，即(a3＋5)(a3－4)＝0， ∵a3>0，∴a3＝4， ∵a7＝a3q4＝64，∴q＝2，a1＝1. ∴S5＝＝31，故選A. 3.在數(shù)列{an}中，若a1＝2，且對任意正整數(shù)m，k，總有am＋k＝am＋ak，則{an}的前n項和Sn等于(　　) A.n(3n－1) B. C.n(n＋1) D. 答案　C 解析　依題意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2， 所以數(shù)列{an}是以2為首項、2為公差的等差數(shù)列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1). 4.設{an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________. 答案?。? 解析　由題意知，數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23，19,37,82}中，說明{an}有連續(xù)四項在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中連續(xù)四項至少有一項為負，∴q<0，又∵|q|>1，∴{an}的連續(xù)四項為－24,36，－54,81，∴q＝＝－，∴6q＝－9. 考點二　數(shù)列的通項與求和 方法技巧　(1)已知數(shù)列的遞推關系，求數(shù)列的通項時，通常利用累加法、累乘法、構(gòu)造法求解. (2)利用an＝求通項時，要注意檢驗n＝1的情況. 5.數(shù)列{an}滿足a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)，則a2019等于(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　∵數(shù)列{an}滿足a1＝0，－＝1(n≥2，n∈N*)， ∴＝1， ∴數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列， ∴＝1＋(n－1)＝n， ∴＝2019，解得a2019＝. 6.已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且對任意n∈N*都有＋＋…＋<t，則t的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　∵數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)， ∴當n＝1時，a1＝2；當n≥2時，a1a2a3…an－1＝2(n－1)2，可得an＝22n－1，n≥2，當n＝1時，a1＝2滿足上式， ∴＝，數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為. ∴＋＋…＋＝＝<. ∵對任意n∈N*都有＋＋…＋<t， ∴t的取值范圍是. 7.(2018全國Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和.若Sn＝2an＋1，則S6＝________. 答案?。?3 解析　∵Sn＝2an＋1，當n≥2時，Sn－1＝2an－1＋1， ∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)， 即an＝2an－1(n≥2). 當n＝1時，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1. ∴數(shù)列{an}是首項a1＝－1，公比q＝2的等比數(shù)列， ∴Sn＝＝＝1－2n， ∴S6＝1－26＝－63. 8.已知數(shù)列{an}滿足a1＝3a2＝1，＝(n≥2)，則數(shù)列的前n項和Sn＝________. 答案　2n＋1－2－n 解析　依題意，3an－1an＋1＝anan－1＋2anan＋1， 即2an－1an＋1－2anan＋1＝anan－1－an－1an＋1， 故－＝2，故是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故－＝2n，由累加法可得－＝2n－2，故＝2n－1，故Sn＝2n＋1－2－n. 考點三　數(shù)列的綜合應用 方法技巧　(1)以函數(shù)為背景的數(shù)列問題、可以利用函數(shù)的性質(zhì)等確定數(shù)列的通項an、前n項和Sn的關系. (2)和不等式有關的數(shù)列問題，可以利用不等式的性質(zhì)、基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性等求最值來解決. 9.(2018黑龍江大慶一中模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax的圖象在點A(0，f(0))處的切線l與直線2x－y＋2＝0平行，若數(shù)列的前n項和為Sn，則S20的值為(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因為f(x)＝x2＋ax，所以f′(x)＝2x＋a，又函數(shù)f(x)＝x2＋ax的圖象在點A(0，f(0))處的切線l與直線2x－y＋2＝0平行，所以f′(0)＝a＝2，所以f(x)＝x2＋2x，所以＝＝， 所以S20＝＝＝. 10.(2017全國Ⅰ)幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼”的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一項是20，接下來的兩項是20，21，再接下來的三項是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是(　　) A.440B.330C.220D.110 答案　A 解析　設首項為第1組，接下來的兩項為第2組，再接下來的三項為第3組，依此類推.則第n組的項數(shù)為n，前n組的項數(shù)和為. 由題意知，N>100，令>100，∴n≥14且n∈N*，即N出現(xiàn)在第13組之后. 第n組的各項和為＝2n－1，前n組所有項的和為－n＝2n＋1－2－n. 設N是第n＋1組的第k項，若要使前N項和為2的整數(shù)冪，則N－項的和即第n＋1組的前k項的和2k－1應與－2－n互為相反數(shù)，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)，∴n最小為29，此時k＝5，則N＝＋5＝440.故選A. 11.設等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________. 答案　64 解析　由已知a1＋a3＝10，a2＋a4＝a1q＋a3q＝5， 兩式相除得＝， 解得q＝，a1＝8， 方法一　∴a2＝4，a3＝2，a4＝1，∴a1a2a3＝a1a2a3a4， ∴a1a2…an的最大值為64. 方法二　由a1a2…an＝8n1＋2＋…＋(n－1)＝，拋物線f(n)＝－＋的對稱軸為n＝＝， 又n∈N*，所以當n＝3或4時，a1a2…an取最大值26＝64. 12.已知函數(shù)f(x)＝3|x＋5|－2|x＋2|，數(shù)列{an}滿足a1<－2，an＋1＝f(an)，n∈N*.若要使數(shù)列{an}成等差數(shù)列，則a1的取值集合為______________. 答案　 解析　因為f(x)＝ 所以若數(shù)列{an}成等差數(shù)列，則當a1為直線y＝x＋11與直線y＝－x－11的交點的橫坐標，即a1＝－11時，數(shù)列{an}是以－11為首項，11為公差的等差數(shù)列；當f(a1)＝a1，即5a1＋19＝a1或－a1－11＝a1，即a1＝－或a1＝－時，數(shù)列{an}是以0為公差的等差數(shù)列，因此a1的取值集合為 . 1.在數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，當整數(shù)n＞1時，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，則S15等于(　　) A.210B.211C.224D.225 答案　B 解析　當n＞1時，Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2， ∴an＋1＝an＋2，n≥2， ∴an＋1－an＝2，n≥2. ∴數(shù)列{an}從第二項開始組成公差為2的等差數(shù)列， ∴S15＝a1＋(a2＋…＋a15)＝1＋14＝211. 2.已知數(shù)列{an}滿足：an＋1＝an(1－2an＋1)，a1＝1，數(shù)列{bn}滿足：bn＝anan＋1，則數(shù)列{bn}的前2017項的和S2017＝________. 答案　 解析　由an＋1＝an(1－2an＋1)， 可得－＝2， 所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列， 故＝1＋(n－1)2＝2n－1，所以an＝. 又bn＝anan＋1＝＝， 所以S2017＝ ＝＝. 3.已知數(shù)列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，則的最小值為________. 答案　 解析　由題意，得a2－a1＝2， a3－a2＝4，…，an－an－1＝2(n－1)，n≥2， 累加整理可得an＝n2－n＋33，n≥2， 當n＝1時，a1＝33也滿足， ∴＝n＋－1(n∈N*). 由函數(shù)f(x)＝x＋－1(x＞0)的單調(diào)性可知， 的最小值為f(5)，f(6)中較小的一個. 又f(6)＝，f(5)＝， ∴min＝. 解題秘籍　(1)利用an＝Sn－Sn－1尋找數(shù)列的關系，一定要注意n≥2這個條件. (2)數(shù)列的最值問題可以利用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求解，但要考慮最值取到的條件. 1.等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}的前6項和為(　　) A.－24 B.－3 C.3 D.8 答案　A 解析　由已知條件可得a1＝1，d≠0， 由a＝a2a6，可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)， 解得d＝－2. 所以S6＝61＋＝－24. 2.已知在等比數(shù)列中，各項都是正數(shù)，且a1，a3，2a2成等差數(shù)列，則等于(　　) A.1＋ B.1－ C.3＋2 D.3－2 答案　C 解析　∵a1，a3，2a2成等差數(shù)列， ∴a32＝a1＋2a2， 即a1q2＝a1＋2a1q， 又∵a1≠0，∴q2＝1＋2q， 解得q＝1＋或q＝1－(舍). ∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2. 3.已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|等于(　　) A.9 B.15 C.18 D.30 答案　C 解析　由an＋1－an＝2可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，公差d＝2，又a1＝－5， 所以an＝2n－7， 所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＋|a6|＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 4.已知兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為An和Bn，且＝，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　D 解析?。剑剑? ＝＝ ＝7＋， 驗證知，當n＝1,2,3,5,11時為整數(shù). 5.在數(shù)列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，則a＋a＋…＋a等于(　　) A.(2n－1)2 B. C.4n－1 D. 答案　D 解析　設Sn為{an}的前n項和，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，當n≥2時，Sn－1＝2n－1－1，an＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，a＝4n－1，當n＝1時，a1＝1也符合上式，所以a＋a＋…＋a＝＝. 6.設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，若＝3，則等于(　　) A.2 B. C. D.1或2 答案　B 解析　設S2＝k，則S4＝3k， 由數(shù)列{an}為等比數(shù)列(易知數(shù)列{an}的公比q≠－1)，得S2，S4－S2，S6－S4為等比數(shù)列， 又S2＝k，S4－S2＝2k， ∴S6－S4＝4k， ∴S6＝7k， ∴＝＝，故選B. 7.(2018唐山模擬)設{an}是任意等差數(shù)列，它的前n項和、前2n項和與前4n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是(　　) A.2X＋Z＝3Y B.4X＋Z＝4Y C.2X＋3Z＝7Y D.8X＋Z＝6Y 答案　D 解析　根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)X，Y－X，S3n－Y，Z－S3n成等差數(shù)列， ∴S3n＝3Y－3X， 又2(S3n－Y)＝(Y－X)＋(Z－S3n)， ∴4Y－6X＝Y(jié)－X＋Z－3Y＋3X， ∴8X＋Z＝6Y. 8.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an－an－1＝(n≥2，且n∈N*)，則an等于(　　) A.2－ B.1－ C. D.2－ 答案　A 解析　∵an－an－1＝，n≥2， ∴a2－a1＝＝1－，a3－a2＝＝－， a4－a3＝＝－，…， an－an－1＝－， ∴以上各式累加得an－a1＝1－. 又a1＝1，∴an＝2－. 當n＝1時，上式也成立，故選A. 9.公差不為0的等差數(shù)列{an}的部分項，，，…構(gòu)成等比數(shù)列，且k1＝1，k2＝2，k3＝6，則k4＝________. 答案　22 解析　根據(jù)題意可知，等差數(shù)列的a1，a2，a6項成等比數(shù)列，設等差數(shù)列的公差為d，則有(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，解得d＝3a1，故a2＝4a1，a6＝16a1， 所以＝a1＋(k4－1)(3a1)＝64a1，解得k4＝22. 10.已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，an＋1＝an＋2＋1，則a13等于________. 答案　168 解析　由an＋1＝an＋2＋1可知， an＋1＋1＝an＋1＋2＋1＝(＋1)2， ∴＝＋1. 又＝1，故數(shù)列{}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列， ∴＝n， ∴＝13，則a13＝168. 11.古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這個女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，可求得該女子第3天所織布的尺數(shù)為________. 答案　 解析　設這個女子每天分別織布an尺，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比q＝2. 則＝5， 解得a1＝. 所以a3＝22＝. 12.對于正項數(shù)列{an}，定義Hn＝為{an}的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為Hn＝，則數(shù)列{an}的通項公式為________. 答案　an＝(n∈N*) 解析　由Hn＝可得 a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝＝，① 所以a1＝，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n≥2)，② ①－②得nan＝－＝， 所以an＝，n≥2. 又當n＝1時，a1＝也滿足上式， 所以an＝，n∈N*.