3.2 　一般形式的柯西不等式 預(yù)習(xí)目標(biāo) 1.掌握三維形式和多維形式的柯西不等式 2．會(huì)利用一般形式的柯西不等式解決簡(jiǎn)單問題. 一、預(yù)習(xí)要點(diǎn) 1.三維形式的柯西不等式 設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，則(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥____________.當(dāng)且僅當(dāng)b1＝b2＝b3＝0或存在一個(gè)數(shù)k，使得______________時(shí)，等號(hào)成立． 2．一般形式的柯西不等式 定理：設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實(shí)數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥__________.當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個(gè)數(shù)k，使得________(i＝1,2，…，n)時(shí)，等號(hào)成立. 　 二、預(yù)習(xí)檢測(cè) 1．已知x＋3y＋5z＝6，則x2＋y2＋z2的最小值為 (　　)． A. B. C. D．6 2．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，則＋＋的最小值為(　　)． A．24 B．30 C．36 D．48 3．設(shè)a、b、c是正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝9，則＋＋的最小值是________． 4．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(a＋b＋c)(＋＋)的最小值為________． 5．若a＋a＋…＋a＝1，b＋b＋…＋b＝4，則a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D．[－1,1] 三、思學(xué)質(zhì)疑 把你在本次課程學(xué)習(xí)中的困惑與建議填寫在下面,與同學(xué)交流后,由組長(zhǎng)整理后并拍照上傳平臺(tái)討論區(qū)。 參考答案 一、預(yù)習(xí)要點(diǎn) 答案 1.(a1b1＋a2b2＋a3b3)2　a1＝kb1，a2＝kb2， a3＝kb3 2.(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2　ai＝kbi 二、預(yù)習(xí)檢測(cè) 1.答案　C 2.解析　利用柯西不等式，(x＋y＋z)≥2＝36， ∴＋＋≥36，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝y(tǒng)2＝z2，即x＝，y＝，z＝時(shí)等號(hào)成立． 答案　C 3.解析　∵(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2]2＋2＋2 ≥2＝18. ∴＋＋≥2. 4.【解析】　由a，b，c為正數(shù)， ∴(a＋b＋c)(＋＋) ＝[()2＋()2＋()2][()2＋＋()2＋()2] 5.【解析】　∵(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2， ∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4， ∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2， 即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2， 當(dāng)且僅當(dāng)ai＝bi(i＝1,2，…，n)時(shí)，右邊等號(hào)成立； 當(dāng)且僅當(dāng)ai＝－bi(i＝1,2，…，n)時(shí)，左邊等號(hào)成立，故選B. 【答案】　B