課時作業(yè)41　空間幾何體的表面積和體積 [基礎(chǔ)達標] 一、選擇題 1．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120，半徑為l的扇形，則這個圓錐的表面積與側(cè)面積比是(　　) A．32 B．21 C．43 D．53 解析：底面半徑r＝l＝l，故圓錐中S側(cè)＝πl(wèi)2，S表＝πl(wèi)2＋π2＝πl(wèi)2，所以表面積與側(cè)面積的比為43. 答案：C 2．[2019東北三省四市聯(lián)考]某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為(　　) A．12＋2 B．8＋2 C．4＋4 D．8＋4 解析：本題考查三視圖及幾何體的表面積．由三視圖可知，該幾何體是底面為正方形，一條棱垂直于底面的四棱錐，其底面邊長為2，高為2，故該四棱錐的表面積為S＝22＋222＋222＝8＋4，故選D. 答案：D 3．[2019益陽市，湘潭市高三調(diào)研]如圖，網(wǎng)格紙上小正方體的邊長為1，粗實線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積是(　　) A. B. C. D．4 解析：由三視圖可得三棱錐為圖中所示的三棱錐A－PBC(放到棱長為2的正方體中)，VA－PBC＝S△PBCAB＝222＝.故選B. 答案：B 4．[2019開封市高三考試]某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：由三視圖知該幾何體底面扇形的圓心角為120，即該幾何體是某圓錐的三分之一部分，又由側(cè)視圖知幾何體的高為4，底面圓的半徑為2，所以該幾何體的體積V＝π224＝π，故選D. 答案：D 5．[2019山東濰坊模擬]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．4＋2 B．4＋4 C．6＋2 D．6＋4 解析：由三視圖還原幾何體和直觀圖如圖所示，易知BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BC⊥PC，又AP＝AC＝BC＝2，所以PC＝＝2，又AB＝2，所以S△PBC＝S△PAB＝22＝2，S△ABC＝S△PAC＝22＝2，所以該幾何體的表面積為4＋4. 答案：B 6．[2018福州高三期末]已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一球面上，則這個球的體積等于(　　) A.π B.π C．16π D．32π 解析：設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π23＝π，故選B. 答案：B 7．[2018福州高三期末]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．14 B．10＋4 C.＋4 D.＋4 解析：解法一　由三視圖可知，該幾何體為一個直三棱柱切去一個小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝2＋(22－12)＋22＋22＋()2＝＋4，故選D. 解法二　由三視圖可知，該幾何體為一個直三棱柱切去一個小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝S三棱柱表－S三棱錐側(cè)＋S三棱錐底＝－3＋()2＝＋4，故選D. 答案：D 8．[2019山西八校聯(lián)考]已知一個球的表面上有A，B，C三個點，且AB＝AC＝BC＝2，若球心到平面ABC的距離為1，則該球的表面積為(　　) A．20π B．15π C．10π D．2π 解析：設(shè)球心為O，△ABC的中心為O′，因為AB＝AC＝BC＝2，所以AO′＝3＝2，因為球心到平面ABC的距離為1，所以O(shè)O′＝1，所以AO＝＝，故該球的表面積S＝4π(OA)2＝20π.故選A. 答案：A 9．[2019石家莊摸底考試]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C．8(2π＋1) D．16(π＋1) 解析：由三視圖得該幾何體為圓錐與正四棱錐的組合體，其中圓錐的底面半徑為2，高為4，正四棱錐的底面邊長為2，高為2，所以該幾何體的體積為222＋π224＝，故選B. 答案：B 10．[2019南昌調(diào)研]已知三棱錐P－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC滿足AB＝2，∠ACB＝90，PA為球O的直徑且PA＝4，則點P的底面ABC的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：取AB的中點O1，連接OO1，如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90，所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓，所以O(shè)1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直徑PA＝4，所以O(shè)A＝2，所以O(shè)O1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以點P到平面ABC的距離為2OO1＝2. 答案：B 二、填空題 11．[2019南昌模擬]如圖，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若將直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為________． 解析：本題考查幾何體的表面積．所得幾何體的表面積是底面圓半徑為1、高為1的圓柱的下底面積、側(cè)面積和底面圓半徑為1、高為1的圓錐的側(cè)面積之和，即為π＋2π＋π＝(3＋)π. 答案：(3＋)π 12．[2019山東濰坊模擬]已知正四棱柱的頂點在同一個球面上，且球的表面積為12π，當正四棱柱的體積最大時，正四棱柱的高為________． 解析：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，高為h，球的半徑為r，由題意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－，所以正四棱柱的體積V＝a2h＝h，則V′＝6－h(huán)2，由V′>0，得0<h<2，由V′<0，得h>2，所以當h＝2時，正四棱柱的體積最大，Vmax＝8. 答案：2 13．[2019福州四校聯(lián)考]已知三棱錐A－BCD的所有頂點都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱柱的體積為，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90，則球O的體積為________． 解析：設(shè)A到平面BCD的距離為h，∵三棱錐的體積為，BC＝3，BD＝，∠CBD＝90，∴3h＝，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距離為1.設(shè)CD的中點為E，連接OE，則由球的截面性質(zhì)可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圓的直徑CD＝2，∴球O的半徑OD＝2，∴球O的體積為. 答案： 14．[2018江蘇卷，10]如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________． 解析：本題考查組合體體積的計算． 多面體由兩個完全相同的正四棱錐組合而成，其中正四棱錐的底面邊長為，高為1， ∴其體積為()21＝，∴多面體的體積為. 答案： [能力挑戰(zhàn)] 15．[2019廣東廣州調(diào)研]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．4＋4＋2 B．14＋4 C．10＋4＋2 D．4 解析：如圖，該幾何體是一個底面為直角梯形，有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐S－ABCD.連接AC，因為AC＝＝2，SC＝＝2，SD＝SB＝＝2，CD＝＝2，SB2＋BC2＝(2)2＋42＝24＝SC2，故△SCD為等腰三角形，△SCB為直角三角形．過D作DK⊥SC于點K，則DK＝＝，△SCD的面積為2＝2，△SBC的面積為24＝4.所求幾何體的表面積為(2＋4)2＋222＋4＋2＝10＋4＋2，選C. 答案：C 16．[2019河北聯(lián)盟考試]某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 解析：所求幾何體可看作是將長方體截去兩個三棱柱得到的幾何體，在長方體中還原該幾何體，如圖中ABCD－A′B′C′D′所求，長方體的長、寬、高分別為4,2,3，兩個三棱柱的高為2，底面是兩直角邊長分別為3和1.5的直角三角形，故該幾何體的體積V＝423－232＝15，故選C. 答案：C 17．[2019廣州調(diào)研]如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，圖中粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積為________． 解析：依題意可得該幾何體的直觀圖為圖中所示的三棱錐B－CDE，且長方體的長、寬、高分別為2,1,1，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,0,1)，C(0,1,0)，D(1,2,0)，E(0,2,0)，設(shè)球心為P(x，y，z)，依題意可得|PB|＝|PC|＝|PD|＝|PE|.由|PD|＝|PE|得(x－1)2＋(y－2)2＋z2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得x＝.由|PC|＝|PE|得x2＋(y－1)2＋z2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得y＝.由|PB|＝|PE|得x2＋y2＋(z－1)2＝x2＋(y－2)2＋z2，解得z＝.故P，故三棱錐外接球的半徑R＝|PB|＝＝，故該三棱錐的外接球的表面積S＝4π＝11π. 答案：11π