課時25 橢圓 模擬訓(xùn)練（分值：60分 建議用時：30分鐘） 1． 設(shè)P是橢圓＋＝1上一點，M、N分別是兩圓：(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的點，則|PM|＋|PN|的最小值、最大值分別為(　　) A．4,8 　　　　　　　　　　　B．2,6 C．6,8 　　　　　　　　　　　D．8,12 【答案】A 【解析】設(shè)橢圓的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，兩圓的半徑為R，則由題意可知|PM|＋|PN|的最大值為|PF1|＋|PF2|＋2R，最小值為|PF1|＋|PF2|－2R，又因為|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，R＝1，所以|PM|＋|PN|的最大值為8，最小值為4.故選A. 2．經(jīng)過橢圓＋＝1的右焦點任意作弦AB，過A作橢圓右準(zhǔn)線的垂線AM，垂足為M，則直線BM必經(jīng)過點(　　) A．(2,0) B. C．(3,0) D. 【答案】B 3．已知F1、F2分別為橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，若△ABF2為鈍角三角形，則橢圓C的離心率e的取值范圍為(　　) A．(0，－1)　　　　　　　 B．(0，－1) C．(－1,1) D．(－1,1) 【答案】A 【解析】由△ABF2為鈍角三角形，得AF1>F1F2，∴>2c，化簡得c2＋2ac－a2<0，∴e2＋2e－1<0，又0<e<1，解得0<e<－1，選A. 4．設(shè)橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率為e＝，右焦點為F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的兩個實根分別為x1和x2，則點P(x1，x2)(　　) A．必在圓x2＋y2＝2內(nèi) B．必在圓x2＋y2＝2上 C．必在圓x2＋y2＝2外 D．以上三種情形都有可能 【答案】A 5．橢圓＋＝1(a>b>0)的中心、右焦點、右頂點及右準(zhǔn)線與x軸的交點依次為O、F、G、H，則的最大值為(　　) A. B. C. D．不確定 【答案】C 【解析】由題意得＝＝－2＋＝－e2＋e＝－2＋≤，因此選C. 6．方程為＋＝1(a>b>0)的橢圓的左頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，D是它短軸上的一個端點，若3＝＋2，則該橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)點D(0，b)，則＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝. 7．已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(－c,0)、F2(c,0)，若橢圓上存在點P使＝，則該橢圓的離心率的取值范圍為________． 【答案】(－1,1) 【規(guī)律總結(jié)】（1）橢圓上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點三角形，與焦點三角形有關(guān)的 計算或證明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|+|PF2|=2a，得到a、c的關(guān)系. （2）對△F1PF2的處理方法 8．已知A、B為橢圓C：＋＝1的長軸的兩個端點，P是橢圓C上的動點，且∠APB的最大值是，則實數(shù)m的值是________． 【答案】 【解析】由橢圓知識知，當(dāng)點P位于短軸的端點時，∠APB取得最大值，根據(jù)題意則有tan＝?m＝. 9．若F1、F2分別是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，P是該橢圓上的一個動點，且|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|＝2. (1)求出這個橢圓的方程； (2)是否存在過定點N(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，使⊥(其中O為坐標(biāo)原點)？若存在，求出直線l的斜率k；若不存在，說明理由． 【失分點分析】（1）直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后 得到一元二次方程，然后通過判別式Δ來判斷直線和橢圓相交、相切或相離. （2）消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，通常是寫成兩根之和與兩根之積的形式，這是進一步解題的基礎(chǔ). （3）若已知圓錐曲線的弦的中點坐標(biāo),可設(shè)出弦的端點坐標(biāo),代入方程，用點差法求弦的斜率.注意求出方程后，通常要檢驗. 10． 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設(shè)過點T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m＞0，y1＞0，y2＜0. (1)設(shè)動點P滿足PF2－PB2＝4，求點P的軌跡； (2)設(shè)x1＝2，x2＝，求點T的坐標(biāo)． [新題訓(xùn)練] （分值：10分 建議用時：10分鐘） 11．（5分）橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．今有一個水平放置的橢圓形臺球盤，點A、B是它的焦點，長軸長為2a，焦距為2c，靜放在點A的小球(小球的半徑忽略不計)從點A沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁反射后第一次回到點A時，小球經(jīng)過的路程是________． 【答案】4a或2(a－c)或2(a＋c) 【解析】設(shè)靠近A的長軸端點為M，另一長軸的端點為N.若小球沿AM方向運動，則路程應(yīng)為2(a－c)；若小球沿AN方向運動，則路程為2(a＋c)；若小球不沿AM與AN方向運動，則路程應(yīng)為4a. 12．（5分）定義：離心率e＝的橢圓為“黃金橢圓”，已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的一個焦點為F(c,0)(c>0)，P為橢圓E上的任意一點，若a，b，c不是等比數(shù)列，則(　　) A．E是“黃金橢圓” B. E一定不是“黃金橢圓” C. E不一定是“黃金橢圓” D. 可能不是“黃金橢圓” 【答案】B