二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式舉例 課后篇鞏固探究 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+…+12n-1<n(n∈N+,且n>1)時(shí),第一步是證下述哪個(gè)不等式成立(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1<2 B.1+12<2 C.1+12+13<2 D.1+13<2 解析當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+12+13,右邊=2,所以應(yīng)證1+12+13<2. 答案C 2.若x>-1,x≠0,則下列不等式正確的是(　　) A.(1+x)3<1+3x B.(1+x)32<1+32x C.(1+x)-2<1-2x D.(1+x)13<1+13x 解析由貝努利不等式可得選項(xiàng)D正確. 答案D 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明Cn1+Cn2+…+Cnn>nn-12(n≥n0,且n∈N+),則n的最小值n0為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析當(dāng)n=1時(shí),左邊=C11=1,右邊=10=1,1>1,不成立;當(dāng)n=2時(shí),左邊=C21+C22=2+1=3,右邊=212=2,3>2,成立;當(dāng)n=3時(shí),左邊=C31+C32+C33=3+3+1=7,右邊=31=3,7>3,成立. 所以n的最小值n0為2. 答案B 4.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394067某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明n2+n<n+1(n∈N+)”的過(guò)程如下: 證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),顯然不等式是成立的; (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)不等式成立,即k(k+1)<k+1.當(dāng)n=k+1時(shí),(k+1)2+(k+1)=k2+3k+2<k2+4k+4=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式是正確的.由(1)(2)可知,對(duì)于n∈N+,不等式都是正確的.以上證法是錯(cuò)誤的,錯(cuò)誤在于(　　) A.從k到k+1的推理過(guò)程沒(méi)有使用歸納假設(shè) B.歸納假設(shè)的寫法不正確 C.從k到k+1的推理不嚴(yán)密 D.當(dāng)n=1時(shí),驗(yàn)證過(guò)程不具體 解析證明(k+1)2+(k+1)<(k+1)+1時(shí)進(jìn)行了一般意義的放大.而沒(méi)有使用歸納假設(shè)k(k+1)<k+1. 答案A 5.已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N+),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>n2時(shí),f(2k+1)比f(wàn)(2k)多的項(xiàng)為　　　　　　　　　　　　　. 解析f(2k+1)-f(2k)=1+12+13+…+12k+1-1+12+13+…+12k=12k+1+12k+2+…+12k+1. 答案12k+1+12k+2+…+12k+1 6.已知x>0,觀察下列幾個(gè)不等式:x+1x≥2;x+4x2≥3;x+27x3≥4;x+256x4≥5…歸納猜想一般的不等式為　　　　　　　　　　　　　. 答案x+nnxn≥n+1(n為正整數(shù)) 7.用數(shù)學(xué)歸納法證明an+bn2≥a+b2n(a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),n∈N+)時(shí),假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式ak+bk2≥a+b2k(*)成立,再推證當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立的關(guān)鍵是將(*)式兩邊同乘　　　　　. 解析對(duì)比k與k+1時(shí)的結(jié)論可知,兩邊只需同乘a+b2即可. 答案a+b2 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+12+13+…+1n<2n(n∈N+). 證明(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2.左邊<右邊,不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)不等式成立, 即1+12+13+…+1k<2k. 當(dāng)n=k+1時(shí),1+12+13+…+1k+1k+1<2k+1k+1=2kk+1+1k+1<(k)2+(k+1)2+1k+1=2(k+1)k+1=2k+1. 所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立. 由(1)(2)可知,原不等式對(duì)任意n∈N+都成立. 9.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394068若不等式1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>a24對(duì)一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論. 解取n=1,則有12+13+14>a24成立, 所以2624>a24,因此a<26,取a=25, 即正整數(shù)a的最大值為25. 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明. 1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>2524對(duì)一切正整數(shù)n都成立. (1)當(dāng)n=1時(shí)不等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí)不等式成立, 即1k+1+1k+2+1k+3+…+13k+1>2524, 當(dāng)n=k+1時(shí), 1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+…+13(k+1)+1 =1k+1+1k+2+1k+3+…+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4-1k+1>2524+13k+2+13k+4-23(k+1). 因?yàn)?3k+2+13k+4=6(k+1)9k2+18k+8>6(k+1)9k2+18k+9=6(k+1)9(k+1)2=23(k+1), 所以13k+2+13k+4-23(k+1)>0, 于是1(k+1)+1+1(k+1)+2+1(k+1)+3+…+13(k+1)+1>2524, 即當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立. 由(1)(2)知,對(duì)一切正整數(shù)n,都有1n+1+1n+2+1n+3+…+13n+1>2524,且正整數(shù)a的最大值等于25. 10.導(dǎo)學(xué)號(hào)26394069已知數(shù)列{an}滿足:a1=32,且an=3nan-12an-1+n-1(n≥2,n∈N+). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)求證對(duì)一切正整數(shù)n,不等式a1a2…an<2n!恒成立. (1)解將條件變?yōu)?-nan=131-n-1an-1, 因此數(shù)列1-nan為一個(gè)等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1-1a1=13,公比為13, 從而1-nan=13n, 因此得an=n3n3n-1(n≥1). ① (2)證明由①得 a1a2…an=n!1-131-132…1-13n. 為證a1a2…an<2n!,只要證當(dāng)n∈N+時(shí),有1-131-132…1-13n>12. ② 顯然,左端每個(gè)因式皆為正數(shù),先證明對(duì)n∈N+,有 1-131-132…1-13n ≥1-13+132+…+13n. ③ 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明③式: ⅰ當(dāng)n=1時(shí),顯然③式成立, ⅱ假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),③式成立, 即1-131-132…1-13k≥ 1-13+132+…+13k. 當(dāng)n=k+1時(shí), 1-131-132…1-13k1-13k+1 ≥1-13+132+…+13k1-13k+1 =1-13+132+…+13k-13k+1+13k+113+132+…+13k >1-13+132+…+13k+13k+1. 即當(dāng)n=k+1時(shí),③式也成立. 故對(duì)一切n∈N+,③式都成立. 利用③,得1-131-132…1-13n ≥1-13+132+…+13n =1-131-13n1-13 =1-121-13n=12+1213n>12. 故原不等式成立.