專題3　數(shù)列 　　一、等差數(shù)列 　　1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?如何表示等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)的關(guān)系? an=a1+(n-1)d;an=am+(n-m)d. 2.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是什么?它具有什么特點(diǎn)? Sn=n(a1+an)2=na1+n(n-1)2d. 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為關(guān)于n的二次函數(shù),且沒(méi)有常數(shù)項(xiàng). 　　二、等比數(shù)列 1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么?如何表示等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的關(guān)系? an=a1qn-1;an=amqn-m. 2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是什么?具有什么特點(diǎn)?易忽略點(diǎn)是什么? Sn=na1,q=1,a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q,q≠1. 當(dāng)q≠1時(shí),Sn=a11-q-a11-qqn,qn的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù). 應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí),應(yīng)先討論公式中的公比q是否等于1. 3.等差數(shù)列的單調(diào)性與什么有關(guān)?等比數(shù)列呢? 等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負(fù),而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q的取值,又要考慮首項(xiàng)a1的正負(fù). 4.等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)的概念是什么?由此可以得到哪些重要的性質(zhì)? 等差中項(xiàng):若a,M,b成等差數(shù)列,則M為a,b的等差中項(xiàng),且M=a+b2. 重要性質(zhì):已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,(1)若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則am+an=ap+aq.(2)an=12n-1S2n-1. 等比中項(xiàng):若a,M,b成等比數(shù)列,則M為a,b的等比中項(xiàng),且M2=ab. 重要性質(zhì):已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,則aman=ap aq. 　　三、數(shù)列求和 列舉數(shù)列求和的方法,各自的注意點(diǎn)是什么? (1)公式法求和:要熟練掌握一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式. (2)分組求和法:分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cn=an+bn形式的數(shù)列求和問(wèn)題的方法,其中{an}與{bn}是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列. (3)裂項(xiàng)相消法:將數(shù)列的通項(xiàng)公式分成兩個(gè)代數(shù)式子的差,即an=f(n+1)-f(n)的形式,然后通過(guò)累加抵消中間若干項(xiàng)的求和方法.形如canan+1(其中{an}是公差d≠0且各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列,c為常數(shù))的數(shù)列等.用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)易認(rèn)為只剩下首尾兩項(xiàng).用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)要注意所裂式與原式的等價(jià)性. 附:常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式(其中n∈N*). ①1n(n+1)=1n-1n+1. ②1n(n+k)=1k1n-1n+k. ③1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1. ④1n+n+1=n+1-n. ⑤1n+n+k=1kn+k-n. (4)錯(cuò)位相減法:形如{anbn}(其中{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列)的數(shù)列求和,一般分三步:①巧拆分;②構(gòu)差式;③求和.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng). (5)倒序求和法:距首尾兩端等距離的兩項(xiàng)和相等,可以用此法.一般步驟:①求通項(xiàng)公式;②定和值;③倒序相加;④求和;⑤回顧反思. 從近三年的高考全國(guó)卷試題來(lái)看,數(shù)列一直是高考的熱點(diǎn),數(shù)列部分的題型、難度和分值都保持穩(wěn)定,考查的重點(diǎn)主要是等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和、數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列的前n項(xiàng)和等知識(shí).考查內(nèi)容比較全面,解題時(shí)要注意基本運(yùn)算、基本能力的運(yùn)用,同時(shí)注意函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用. 　　一、選擇題和填空題的命題特點(diǎn) 等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算:a1,an,Sn,n,d(q)這五個(gè)量中已知其中的三個(gè)量,求另外兩個(gè)量.已知數(shù)列的遞推關(guān)系式以及某些項(xiàng),求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和等. 1.(2018全國(guó)Ⅰ卷理T4改編)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若3S3=S2+S4,a1=2,則S5=(　　). A.-20　　　B.-10　　　C.10　　　D.20 解析?　設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意可得33a1+322d=2a1+d+4a1+432d,解得d=-32a1.因?yàn)閍1=2,所以d=-3,所以S5=52+542(-3)=-20,故選A. 答案?　A 2.(2018全國(guó)Ⅰ卷理T14改編)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1,則a6=　　　　. 解析?　當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=2an-1+1,所以Sn-Sn-1=2(an-an-1),即an=2an-1. 又a1=S1=2a1+1,所以a1=-1≠0, 所以數(shù)列{an}是以-1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列, 所以an=-2n-1,a6=-26-1=-32. 答案?　-32 　　二、解答題的命題特點(diǎn) 等差(比)數(shù)列的基本運(yùn)算:a1,an,Sn,n,d(q)這五個(gè)量中已知其中的三個(gè)量,求另外兩個(gè)量.已知數(shù)列的遞推關(guān)系式以及某些項(xiàng),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.已知等差(比)數(shù)列的某些項(xiàng)或前幾項(xiàng)的和,求其通項(xiàng)公式.等差(比)數(shù)列的判斷與證明以及等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題等. 1.(2018全國(guó)Ⅰ卷文T17改編)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,nan+1=2(n+1)an,設(shè)bn=ann. (1)證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式. (2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn. 解析?　(1)由已知條件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn. 又b1=1,所以{bn}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列. 所以bn=ann=2n-1,所以an=n2n-1. (2)由(1)可得 Sn=a1+a2+…+an=120+221+322+…+n2n-1, 所以2Sn=121+222+323+…+n2n, 兩式相減得 -Sn=1+21+22+23+…+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n=2n-1-n2n, 所以Sn=(n-1)2n+1. 2.(2018全國(guó)Ⅱ卷理、文T17改編)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知a1=-7,a1+a2+a3=-15. (1)求an,Sn; (2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn. 解析?　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由題意得3a1+3d=-15,a1=-7,解得d=2, 所以an=2n-9,Sn=n2-8n. (2)當(dāng)1≤n≤4(n∈N*)時(shí),an<0, 所以Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an )=-Sn=8n-n2; 當(dāng)n≥5(n∈N*)時(shí),an>0, 所以Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+…+|an|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+…+an)=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32. 綜上所述,Tn=8n-n2(1≤n≤4),n2-8n+32(n>5). 3.(2018全國(guó)Ⅲ卷理、文T17改編)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,證明:an=1+Sn2. 解析?　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2(舍去)或q=2. 故an=2n-1. (2)因?yàn)閍n=2n-1,所以Sn=1-2n1-2=2n-1, 所以1+Sn2=1+(2n-1)2=2n-1=an. 1.等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷方法:判斷等差數(shù)列和等比數(shù)列,可以先計(jì)算特殊的幾項(xiàng),觀察其特征,然后歸納出等差數(shù)列或者等比數(shù)列的結(jié)論.證明等差數(shù)列和等比數(shù)列,應(yīng)該首先考慮其通項(xiàng)公式,利用定義或者等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)來(lái)證明.利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式只是作為判斷方法,而不是證明方法.把對(duì)數(shù)列特征的判定滲透在解題過(guò)程中,可以幫助學(xué)生拓展思維和理清思路. 2.數(shù)列通項(xiàng)的求法: (1)公式法: ①等差數(shù)列通項(xiàng)公式;②等比數(shù)列通項(xiàng)公式. (2)已知Sn(即a1+a2+…+an=f(n))求an,用作差法:an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*). (3)已知a1a2…an=f(n)求an,用作商法:an=f(1)(n=1),f(n)f(n-1)(n≥2,n∈N*). (4)已知an+1-an=f(n)求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1(n≥2,n∈N*). (5)已知an+1an=f(n)求an,用累乘法:an=anan-1an-1an-2…a2a1a1(n≥2,n∈N*). (6)已知遞推關(guān)系式求an,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列). 3.數(shù)列求和:數(shù)列求和的關(guān)鍵是研究數(shù)列通項(xiàng)公式,根據(jù)通項(xiàng)公式的不同特征選擇相應(yīng)的求和方法,若數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列,則直接利用公式求和;若通項(xiàng)公式是等差乘等比型,則利用錯(cuò)位相減法;若通項(xiàng)公式可以拆分成兩項(xiàng)的差且在累加過(guò)程中可以互相抵消某些項(xiàng),則利用裂項(xiàng)相消法.