考點測試41　空間幾何體的表面積和體積 高考概覽 考綱研讀 一、基礎小題 1．若球的半徑擴大為原來的2倍，則它的體積擴大為原來的(　　) A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．16倍 答案　C 解析　設原來球的半徑為r，則現(xiàn)在球的半徑為2r，則V原＝πr3，V現(xiàn)＝π(2r)3，故V現(xiàn)＝8V原．故選C． 2．一個正方體的體積是8，則這個正方體的內(nèi)切球的表面積是(　　) A．8π B．6π C．4π D．π 答案　C 解析　設正方體的棱長為a，則a3＝8，∴a＝2．而此正方體的內(nèi)切球直徑為2，∴S表＝4πr2＝4π． 3．如圖，一個空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖都是面積為，一個內(nèi)角為60的菱形，俯視圖為正方形，那么這個幾何體的表面積為(　　) A．2 B．4 C．8 D．4 答案　D 解析　由三視圖知，原幾何體為兩個四棱錐的組合體，其中四棱錐的底面邊長為1，斜高為1，所以這個幾何體的表面積為S＝118＝4． 4．一個直三棱柱的三視圖如圖所示，其中俯視圖是正三角形，則此三棱柱的體積為(　　) A． B． C．2 D．4 答案　B 解析　由側(cè)視圖可知直三棱柱底面正三角形的高為，容易求得正三角形的邊長為2，所以底面正三角形面積為2＝．再由側(cè)視圖可知直三棱柱的高為1，所以此三棱柱的體積為1＝．故選B． 5．已知圓錐的表面積為a，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面直徑是(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意知，2πr＝πl(wèi)，∴l(xiāng)＝2r，則圓錐的表面積S表＝πr2＋π(2r)2＝a，∴r2＝，∴2r＝． 6．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積等于(　　) A．10 cm3 B．20 cm3 C．30 cm3 D．40 cm3 答案　B 解析　由三視圖可知，該幾何體是一個直三棱柱ABC－A1B1C1截去一個三棱錐B1－ABC，則該幾何體的體積為V＝345－345＝20(cm3)．故選B． 7．某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是(　　) A．4 B． C． D．6 答案　B 解析　依題意，所求幾何體是一個四棱臺，其中上底面是邊長為1的正方形、下底面是邊長為2的正方形，高是2，因此其體積等于(12＋22＋)2＝．故選B． 8．某幾何體的三視圖如圖所示，圖中三個正方形的邊長均為2，則該幾何體的表面積為(　　) A．24＋(－1)π B．24＋(2－2)π C．24＋(－1)π D．24＋(2－2)π 答案　B 解析　如圖，由三視圖可知，該幾何體是棱長為2的正方體挖出兩個圓錐體所得．由圖中知圓錐的半徑為1，母線為，該幾何體的表面積為S＝622－2π12＋22π1＝24＋(2－2)π，故選B． 9．已知一個幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為(　　) A．10＋π B．2＋ C．2＋ D．2＋ 答案　D 解析　根據(jù)幾何體的三視圖還原其直觀圖如圖所示，顯然可以看到該幾何體是一個底面長為2，寬為1，高為1的正棱柱與一個底面半徑為1，高為1的圓柱組合而成，其體積為V＝211＋π121＝2＋，故選D． 10．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是________寸． (注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸) 答案　3 解析　由題意知，圓臺中截面圓的半徑為十寸，圓臺內(nèi)水的體積為V＝πh(r＋r＋r中r下)＝9(102＋62＋106)＝588π(立方寸)，降雨量為＝＝3(寸)． 11．如圖所示，已知一個多面體的平面展開圖由一個邊長為1的正方形和4個邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________． 答案　 解析　易知該幾何體是正四棱錐．連接BD，設正四棱錐P－ABCD，由PD＝PB＝1，BD＝，則PD⊥PB．設底面中心O，則四棱錐高PO＝，則其體積是V＝Sh＝12＝． 12． 如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AB⊥AD，AB＝AD＝1，BC＝CD＝5，以直線AB為軸，將四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，則所得旋轉(zhuǎn)體的體積為________． 答案　12π 解析　由題意，該旋轉(zhuǎn)體是一圓臺內(nèi)部挖去一個圓錐，如圖1所示： 如圖2，過點C作CE⊥AB，連接BD．在等腰直角三角形ABD中，BD＝＝． 在△BDC中，CD2＝BD2＋BC2－2BDBCcos∠DBC， 所以25＝2＋25－10cos∠DBC，所以cos∠DBC＝，所以sin∠DBC＝＝． 因為∠CBE＝180－∠ABD－∠DBC＝135－∠DBC，所以sin∠CBE＝sin(135－∠DBC)＝cos∠DBC＋sin∠DBC＝．在Rt△BCE中，CE＝BCsin∠CBE＝4，所以BE＝＝3，AE＝4．所以圓臺上、下底面圓的面積分別為S上＝π，S下＝16π，圓臺體積V1＝(S上＋S下＋)AE＝28π，圓錐體積V2＝16π3＝16π，所以旋轉(zhuǎn)體體積V＝V1－V2＝12π． 二、高考小題 13．(2017全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π 答案　B 解析　由三視圖可知兩個同樣的幾何體可以拼成一個底面直徑為6，高為14的圓柱，所以該幾何體的體積V＝32π14＝63π．故選B． 14．(2018浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　C 解析　由三視圖可知該幾何體是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上、下底邊的長分別為1 cm,2 cm，高為2 cm，直四棱柱的高為2 cm．故直四棱柱的體積V＝22＝6 cm3． 15．(2018全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　) A．12π B．12π C．8π D．10π 答案　B 解析　根據(jù)題意，可得截面是邊長為2的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為2，所以其表面積為S＝2π()2＋2π2＝12π．故選B． 16．(2018全國卷Ⅰ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30，則該長方體的體積為(　　) A．8 B．6 C．8 D．8 答案　C 解析　在長方體ABCD－A1B1C1D1中，連接BC1，根據(jù)線面角的定義可知∠AC1B＝30，因為AB＝2，＝tan30，所以BC1＝2，從而求得CC1＝＝2，所以該長方體的體積為V＝222＝8．故選C． 17．(2018全國卷Ⅲ)設A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D－ABC體積的最大值為(　　) A．12 B．18 C．24 D．54 答案　B 解析　如圖所示，點M為三角形ABC的重心，E為AC的中點，當DM⊥平面ABC時，三棱錐D－ABC體積最大，此時，OD＝OB＝R＝4． ∵S△ABC＝AB2＝9， ∴AB＝6， ∵點M為三角形ABC的重心，∴BM＝BE＝2， ∴在Rt△OMB中，有OM＝＝2． ∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6， ∴(V三棱錐D－ABC)max＝96＝18．故選B． 18．(2018全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30，若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________． 答案　8π 解析　如圖所示，∠SAO＝30，∠ASB＝90，又S△SAB＝SASB＝SA2＝8， 解得SA＝4，所以SO＝SA＝2，AO＝＝2，所以該圓錐的體積為V＝OA2SO＝8π． 19．(2018天津高考)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________． 答案　 解析　由題意知四棱錐的底面EFGH為正方形，其邊長為，即底面面積為，由正方體的性質(zhì)知，四棱錐的高為．故四棱錐M－EFGH的體積V＝＝． 20．(2018江蘇高考)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________． 答案　 解析　多面體由兩個完全相同的正四棱錐組合而成，其中正四棱錐的底面邊長為，高為1，∴其體積為()21＝，∴多面體的體積為． 三、模擬小題 21．(2018邯鄲摸底)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，已知該幾何體的各個面中有n個面是矩形，體積為V，則(　　) A．n＝4，V＝10 B．n＝5，V＝12 C．n＝4，V＝12 D．n＝5，V＝10 答案　D 解析　由三視圖可知，該幾何體為直五棱柱，其直觀圖如圖所示，故n＝5，體積V＝222＋21＝10．故選D． 22．(2018福州模擬)已知圓柱的高為2，底面半徑為，若該圓柱的兩個底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的表面積等于(　　) A．4π B． C． D．16π 答案　D 解析　如圖，可知球的半徑R＝＝＝2，進而這個球的表面積為4πR2＝16π．故選D． 23．(2018合肥質(zhì)檢一)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 答案　C 解析　該幾何體的表面積是由球的表面積、球的大圓面積、半個圓柱的側(cè)面積以及圓柱的縱切面面積組成．從而該幾何體的表面積為4π12＋π12＋2π3＋32＝8π＋6．故選C． 24．(2018石家莊質(zhì)檢二)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為(　　) A． B．3 C．8 D． 答案　A 解析　根據(jù)三視圖還原該幾何體的直觀圖，如圖中四棱錐P－ABCD所示，則VP－ABCD＝VP－AFGD＋(VAFB－DEC－VG－ECD)＝1＋122－121＝．故選A． 25．(2018合肥質(zhì)檢三)我國古代的《九章算術》中將上、下兩面為平行矩形的六面體稱為“芻童”．如圖所示為一個“芻童”的三視圖，其中正視圖及側(cè)視圖均為等腰梯形，兩底的長分別為2和4，高為2，則該“芻童”的表面積為(　　) A．12 B．40 C．16＋12 D．16＋12 答案　D 解析　易得側(cè)面梯形的高為＝，所以一個側(cè)面梯形的面積為(2＋4)＝3．故所求為43＋2(24)＝12＋16．故選D． 26．(2018福建質(zhì)檢)已知底面邊長為4，側(cè)棱長為2的正四棱錐S－ABCD內(nèi)接于球O1．若球O2在球O1內(nèi)且與平面ABCD相切，則球O2的直徑的最大值為________． 答案　8 解析　如圖，正四棱錐S－ABCD內(nèi)接于球O1，SO1與平面ABCD交于點O． 在正方形ABCD中，AB＝4，AO＝4．在Rt△SAO中，SO＝＝＝2．設球O1的半徑為R，則在Rt△OAO1中，(R－2)2＋42＝R2，解得R＝5，所以球O1的直徑為10．當球O2與平面ABCD相切于點O且與球O1相切時，球O2的直徑最大．又因為SO＝2，所以球O2的直徑的最大值為10－2＝8． 一、高考大題 1．(2016江蘇高考)現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍． (1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？ (2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？ 解　(1)由PO1＝2知，O1O＝4PO1＝8． 因為A1B1＝AB＝6， 所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積 V錐＝A1BPO1＝622＝24(m3)． 正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積 V柱＝AB2O1O＝628＝288(m3)． 所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)． (2)設A1B1＝a m，PO1＝h m， 則0<h<6，O1O＝4h． 連接O1B1． 因為在Rt△PO1B1中，O1B＋PO＝PB， 所以2＋h2＝36， 即a2＝2(36－h(huán)2)． 于是倉庫的容積 V＝V柱＋V錐＝a24h＋a2h＝a2h ＝(36h－h(huán)3)，0<h<6， 從而V′＝(36－3h2)＝26(12－h(huán)2)． 令V′＝0，得h＝2或h＝－2(舍)． 當0<h<2時，V′>0，V是單調(diào)增函數(shù)； 當2<h<6時，V′<0，V是單調(diào)減函數(shù)． 故h＝2時，V取得極大值，也是最大值． 因此，當PO1＝2 m時，倉庫的容積最大． 2．(2018全國卷Ⅰ)如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90，以AC為折痕將△ACM折起，使點M到達點D的位置，且AB⊥DA． (1)證明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q為線段AD上一點，P為線段BC上一點，且BP＝DQ＝DA，求三棱錐Q－ABP的體積． 解　(1)證明：由已知可得∠BAC＝90，即AB⊥AC． 又AB⊥DA，且AC∩DA＝A，所以AB⊥平面ACD． 又AB?平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC． (2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝AC＝3，DA＝3． 又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2． 作QE⊥AC，垂足為E，則QE綊DC． 由已知及(1)可得DC⊥平面ABC， 所以QE⊥平面ABC，QE＝1． 因此，三棱錐Q－ABP的體積為 V三棱錐Q－ABP＝QES△ABP＝132sin45＝1． 二、模擬大題 3．(2018武昌調(diào)研)如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)． (1)畫出這個幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)； (2)求這個幾何體的表面積及體積． 解　(1)這個幾何體的直觀圖如圖所示． (2)這個幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q－A1D1P的組合體． 由PA1＝PD1＝，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1． 故所求幾何體的表面積 S＝522＋22＋2()2 ＝22＋4(cm2)， 所求幾何體的體積V＝23＋()22＝10(cm3)． 4．(2018浙江杭州一模)已知一個三棱臺的上、下底面分別是邊長為20 cm和30 cm的正三角形，各側(cè)面是全等的等腰梯形，且各側(cè)面的面積之和等于兩底面面積之和，求棱臺的體積． 解　如圖所示，在三棱臺ABC－A′B′C′中，O′，O分別為上、下底面的中心，D，D′分別是BC，B′C′的中點，則DD′是等腰梯形BCC′B′的高， 又C′B′＝20 cm，CB＝30 cm， 所以S側(cè)＝3(20＋30)DD′＝75DD′． S上＋S下＝(202＋302)＝325(cm2)． 由S側(cè)＝S上＋S下，得75DD′＝325， 所以DD′＝(cm)， 又因為O′D′＝20＝(cm)， OD＝30＝5(cm)， 所以棱臺的高h＝O′O＝ ＝＝4(cm)， 由棱臺的體積公式，可得棱臺的體積為 V＝(S上＋S下＋) ＝ ＝1900(cm3)． 故棱臺的體積為1900 cm3．