第六章 推理與證明 章末檢測 一、選擇題 1．由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋ (2n－1)＝n2用的是 (　　) A．歸納推理 B．演繹推理 C．類比推理 D．特殊推理 答案　A 2．在△ABC中，E、F分別為AB、AC的中點，則有EF∥BC，這個問題的大前提為 (　　) A．三角形的中位線平行于第三邊 B．三角形的中位線等于第三邊的一半 C．EF為中位線 D．EF∥BC 答案　A 解析　這個三段論推理的形式為：大前提：三角形的中位線平行于第三邊；小前提：EF為△ABC的中位線；結(jié)論：EF∥BC. 3．對大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運算有如下分解方式： 22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19 根據(jù)上述分解規(guī)律，若m2＝1＋3＋5＋…＋11，n3的分解中最小的正整數(shù)是21，則m＋n＝ (　　) A．10 B．11 C．12 D．13 答案　B 解析　∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝6＝36， ∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11， 43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29， ∵n3的分解中最小的數(shù)是21， ∴n3＝53，n＝5，∴m＋n＝6＋5＝11. 4．用反證法證明命題“＋是無理數(shù)”時，假設(shè)正確的是 (　　) A．假設(shè)是有理數(shù) B．假設(shè)是有理數(shù) C．假設(shè)或是有理數(shù) D．假設(shè)＋是有理數(shù) 答案　D 解析　應(yīng)對結(jié)論進行否定，則＋不是無理數(shù)，即＋是有理數(shù)． 5．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表達(dá)式為 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　當(dāng)x＝1時，f(2)＝＝＝， 當(dāng)x＝2時，f(3)＝＝＝； 當(dāng)x＝3時，f(4)＝＝＝， 故可猜想f(x)＝，故選B. 6．對“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，給出下列判斷： ①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0； ②a＝b與b＝c及a＝c中至少有一個成立； ③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立． 其中判斷正確的個數(shù)為 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　B 解析　若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，則a＝b＝c，與“a，b，c是不全相等的正數(shù)”矛盾，故①正確．a(chǎn)＝b與b＝c及a＝c中最多只能有一個成立，故②不正確．由于“a，b，c是不全相等的正數(shù)”，有兩種情形：至多有兩個數(shù)相等或三個數(shù)都互不相等，故③不正確． 7．我們把平面幾何里相似形的概念推廣到空間：如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．下列幾何體中，一定屬于相似體的有 (　　) ①兩個球體；②兩個長方體；③兩個正四面體；④兩個正三棱柱；⑤兩個正四棱錐． A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 答案　C 解析　類比相似形中的對應(yīng)邊成比例知，①③屬于相似體． 8．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝1－，則a2 013等于 (　　) A. B．－1 C．2 D．3 答案　C 解析　∵a1＝，an＋1＝1－， ∴a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝， a5＝1－＝－1，a6＝1－＝2， ∴an＋3k＝an(n∈N*，k∈N*) ∴a2 013＝a3＋3670＝a3＝2. 9．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上為增函數(shù)．已知x1＋x2<4且(x1－2)(x2－2)<0，則f(x1)＋f(x2)的值 (　　) A．恒小于0 B．恒大于0 C．可能等于0 D．可正也可負(fù) 答案　A 解析　不妨設(shè)x1－2<0，x2－2>0， 則x1<2，x2>2，∴2<x2<4－x1， ∴f(x2)<f(4－x1)，即－f(x2)>－f(4－x1)， 從而－f(x2)>－f(4－x1)＝f(x1)， f(x1)＋f(x2)<0. 10．黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案，則第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是 (　　) A．4n＋2 B．4n－2 C．2n＋4 D．3n＋3 答案　A 解　法一　(歸納猜想法) 觀察可知：除第一個以外，每增加一個黑色地板磚，相應(yīng)的白地板磚就增加四個， 因此第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是一個“以6為首項，公差是4的等差數(shù)列的第n項”． 故第n個圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是4n＋2. 法二　(特殊值代入排除法) 或由圖可知，當(dāng)n＝1時，a1＝6，可排除B答案 當(dāng)n＝2時，a2＝10，可排除C、D答案． 二、填空題 11．(2013陜西(文))觀察下列等式： (1＋1)＝21 (2＋1)(2＋2)＝2213 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23135 按此規(guī)律，第n個等式可為________． 答案　(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n135…(2n－1) 12．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，經(jīng)計算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推測當(dāng)n≥2時，有________． 答案　f(2n)>(n≥2) 解析　觀測f(n)中n的規(guī)律為2k(k＝1,2，…) 不等式右側(cè)分別為，k＝1,2，…， ∴f(2n)>(n≥2)． 13．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋＝時，由n＝k到n＝k＋1左邊需要添加的項是 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由n＝k到n＝k＋1時，左邊需要添加的項是＝.故選D. 14．觀察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根據(jù)上述規(guī)律，第五個等式為________． 答案　13＋23＋33＋43＋53＋63＝212 解析　由所給等式可得：等式兩邊的冪式指數(shù)規(guī)律明顯，底數(shù)關(guān)系如下： 1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，即左邊底數(shù)的和等于右邊的底數(shù)．故第五個等式為：13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212. 三、解答題 15．已知a、b、c是互不相等的非零實數(shù)．求證三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個方程有兩個相異實根． 證明　反證法： 假設(shè)三個方程中都沒有兩個相異實根， 則Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0， (a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0. ① 由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立． ∴假設(shè)不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根． 16．設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和． (1)求證：數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列； (2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？ (1)證明　假設(shè)數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，則S＝S1S3， 即a(1＋q)2＝a1a1(1＋q＋q2)， 因為a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2， 即q＝0，這與公比q≠0矛盾， 所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列． (2)解　當(dāng)q＝1時，Sn＝na1，故{Sn}是等差數(shù)列； 當(dāng)q≠1時，{Sn}不是等差數(shù)列，否則2S2＝S1＋S3， 即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)， 得q＝0，這與公比q≠0矛盾． 17．如圖所示為m行m＋1列的士兵方陣(m∈N＋，m≥2)． (1)寫出一個數(shù)列，用它表示當(dāng)m分別是2,3,4,5，…時，方陣中士兵的人數(shù)； (2)若把(1)中的數(shù)列記為{an}，歸納該數(shù)列的通項公式； (3)求a10，并說明a10表示的實際意義； (4)已知an＝9 900，問an是數(shù)列的第幾項？ 解　(1)當(dāng)m＝2時，表示一個2行3列的士兵方陣，共有6人，依次可以得到當(dāng)m＝3、4、5，…時的士兵人數(shù)分別為12,20,30，….故所求數(shù)列為6,12,20,30，…. (2)因為a1＝23，a2＝34，a3＝45，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*. (3)a10＝1112＝132.a10表示有11行12列的士兵方陣的人數(shù)為132. (4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即an是數(shù)列的第98項，此時方陣有99行100列． 18．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋，是否存在關(guān)于自然數(shù)n的函數(shù)g(n)，使等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝g(n)[f(n)－1]對于n≥2的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論． 解　當(dāng)n＝2時，由f(1)＝g(2)[f(2)－1]， 得g(2)＝＝＝2， 當(dāng)n＝3時，由f(1)＋f(2)＝g(3)[f(3)－1]， 得g(3)＝＝＝3， 猜想g(n)＝n(n≥2)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n≥2時，等式f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝ n[f(n)－1]恒成立． ①當(dāng)n＝2時，由上面計算可知，等式成立．②假設(shè)n＝k(k∈N*且k≥2)時，等式成立，即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1](k≥2)成立， 那么當(dāng)n＝k＋1時， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)＝k[f(k)－1]＋f(k)＝(k＋1)f(k)－k ＝(k＋1)－k＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立． 由①②知，對一切n≥2的自然數(shù)n等式都成立，故存在函數(shù)g(n)＝n，使等式成立．