1.3.2　“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì) [教材研讀] 預(yù)習(xí)教材P32～35，思考以下問題 1．楊輝三角具有哪些特點？ 　 　 2．二項式系數(shù)的性質(zhì)有哪些？ 　 　 [要點梳理] 1．楊輝三角的特點 (1)在同一行中每行兩端都是1，與這兩個1等距離的項的系數(shù)相等． (2)在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即C＝C＋C. 2．二項式系數(shù)的性質(zhì) [自我診斷] 判斷(正確的打“√”，錯誤的打“”) 1．楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個等差數(shù)列．(　　) 2．二項式展開式的二項式系數(shù)和為C＋C＋…＋C.(　　) 3．二項式展開式中系數(shù)最大項與二項式系數(shù)最大項相同．(　　) [答案]　1.√　2.　3. 思考：楊輝三角的第n行數(shù)字規(guī)律與二項展開式有何聯(lián)系？ 提示：楊輝三角的第n行數(shù)字規(guī)律是二項式(a＋b)n展開式的二項式系數(shù)，即(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn. 如圖在“楊輝三角”中，斜線AB的上方，從1開始箭頭所示的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，記其前n項和為Sn，求S19的值． [解]　由圖知，數(shù)列中的首項是C，第2項是C，第3項是C，第4項是C，…，第17項是C，第18項是C，第19項是C. ∴S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝C＋C＋C＋…＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋…＋C－1＋C＝C－1＋C＝274. 　解決與楊輝三角有關(guān)的問題的一般思路 (1)觀察：對題目進行多角度觀察，找出每一行的數(shù)與數(shù)之間，行與行之間的數(shù)的規(guī)律． (2)表達：將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用數(shù)學(xué)式子表達． (3)結(jié)論：由數(shù)學(xué)表達式得出結(jié)論． 【溫馨提示】　楊輝三角的作用 (1)直觀地看出或探究二項式系數(shù)的性質(zhì)； (2)當(dāng)二項式系數(shù)不大時，可借助它直接寫出各項的二項式系數(shù)． [跟蹤訓(xùn)練] 如圖，在由二項式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第________行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3. [解析]　由楊輝三角知，第一行中的數(shù)是C，C；第2行中的數(shù)是C，C，C；第3行中的數(shù)是C，C，C，C，…，第n行中的數(shù)是C，C，C，…，C，設(shè)第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為2∶3，則C∶C＝2∶3，解之得n＝34. [答案]　34 題型二　求展開式的系數(shù)和 思考：(a＋b)n的展開式的二次項系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時可以表示成如下形式： 計算每一行的系數(shù)和，你能看出什么規(guī)律？ 提示：2,4,8,16,32,64，…，其系數(shù)和為2n. 若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. [思路導(dǎo)引]　解決此類問題常用賦值法，對x賦特殊的值，從而求解． [解]　(1)令x＝0，則a0＝－1， 令x＝1，則a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① 所以a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1， 則－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由得：a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8256. (3)由得：a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8128. (4)解法一：∵(3x－1)7展開式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| ＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)＝8256－(－8128)＝16384. 解法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| 即為(1＋3x)7展開式中各項的系數(shù)和， 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16384. “賦值法”是解決二項展開式中項的系數(shù)常用的方法，根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同值．一般地，要使展開式中項的關(guān)系變?yōu)橄禂?shù)的關(guān)系，令x＝0可得常數(shù)項，令x＝1可得所有項系數(shù)之和，令x＝－1可得偶次項系數(shù)之和與奇次項系數(shù)之和的差． [跟蹤訓(xùn)練] 已知(1－3x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8.求： (1)a0＋a1＋…＋a8； (2)a0＋a2＋a4＋a6＋a8； (3)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|. [解]　(1)令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝28＝256.① (2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＋a8＝48.② ①＋②，得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝28＋48， ∴a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝(28＋48)＝32896. (3)由于(1－3x)8＝C＋C(－3x)＋C(－3x)2＋…＋C(－3x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8， 故a0，a2，a4，a6，a8>0，a1，a3，a5，a7<0， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a8|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝48＝65536. 思考：二項展開式中系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項)，這種說法對嗎？ 提示：錯誤．二項展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的，二項式系數(shù)最大項是中間一項(共奇數(shù)項)或中間兩項(共偶數(shù)項)，但是項的系數(shù)的最大值與項其他數(shù)字因數(shù)的大小有關(guān)． 已知f(x)＝n展開式中各項的系數(shù)和比各項的二項式系數(shù)和大992. (1)求展開式中二項式系數(shù)最大的項； (2)求展開式中系數(shù)最大的項． [思路導(dǎo)引]　令x＝1，求得各項系數(shù)和，而二項式系數(shù)之和為2n，依題意可解得n的值． [解]　(1)令x＝1，則二項式各項系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開式中各項的二項式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)，或2n＝32， ∴n＝5. 由于n＝5為奇數(shù)，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，它們分別是 T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6， T4＝C(x)2(3x2)3＝270x. (2)展開式的通項公式為Tr＋1＝C3rx(5＋2r)． 假設(shè)Tr＋1項系數(shù)最大，則有 ∴ ∴ ∴≤r≤.∵r∈N，∴r＝4. ∴展開式中系數(shù)最大的項為T5＝C34x＝405x. (1)求二項式系數(shù)最大的項，要依據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)對(a＋b)n中的n進行討論，n為奇數(shù)時中間兩項的二項式系數(shù)最大；n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大． (2)求展開式中系數(shù)最大項與求二項式系數(shù)最大項是不同的．求展開式系數(shù)最大的項，如求(a＋bx)n(a、b∈R展開式中系數(shù)最大的項，一般是采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第r＋1項系數(shù)最大，應(yīng)用解出r來，即得系數(shù)最大的項． [跟蹤訓(xùn)練] 在8的展開式中， (1)求二項式系數(shù)最大的項； (2)系數(shù)的絕對值最大的項是第幾項？ [解]　Tr＋1＝C()8－rr＝(－1)rC2rx. (1)二項式系數(shù)最大的項為中間項，即為第5項， 故T5＝C24x＝1120x－6. (2)設(shè)第r＋1項系數(shù)的絕對值最大， 則即 整理得于是r＝5或6. 故系數(shù)絕對值最大的項是第6項和第7項． 1.本節(jié)課的重點是二項式系數(shù)的性質(zhì)及展開式的系數(shù)和問題，難點是二項式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用． 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)與楊輝三角有關(guān)的問題，見典例1； (2)求展開式的系數(shù)和，見典例2； (3)展開式中的最大值問題，見典例3. 3．要重點關(guān)注以下幾個易錯點 (1)若展開式的系數(shù)的絕對值與對應(yīng)二項式系數(shù)相等，可轉(zhuǎn)化為確定二項式系數(shù)的最值來解決． (2)一般地，二項展開式f(x)中的各項系數(shù)和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)和為[f(1)＋f(－1)]，偶數(shù)項系數(shù)和為[f(1)－f(－1)]． (3)“賦值法”是求二項展開式系數(shù)問題的常用方法，賦值就是對展開式中的字母用具體數(shù)值代替，注意賦的值要有利于問題的解決，賦值時可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況．