二 一般形式的柯西不等式 名稱 形式 等號成立條件 三維形式的柯西不等式　　 設(shè)a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，則(a＋a＋a)(b＋b＋b)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 當且僅當b1＝b2＝b3＝0或存在一個實數(shù)k使得ai＝kbi(i＝1,2,3) 一般形式的柯西不等式　　 設(shè)a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 當且僅當bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一個實數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n) [點睛]　一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣，其特點可類比二維形式的柯西不等式來總結(jié)，左邊是平方和的積，右邊是積的和的平方．在使用時，關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式． 利用柯西不等式證明不等式 [例1]　設(shè)x1，x2，…，xn都是正數(shù)，求證：＋＋…＋≥. [思路點撥]　根據(jù)一般柯西不等式的特點，構(gòu)造兩組數(shù)的積的形式，利用柯西不等式證明． [證明]　∵(x1＋x2＋…＋xn) ＝[(1)2＋()2＋…＋()2]≥ 2＝n2， ∴＋＋…＋≥. 柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征可以記為： (a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(＋ ＋…＋)2. 其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式時要善于從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，正確地配湊出公式兩側(cè)的數(shù)是解決問題的關(guān)鍵． 1．設(shè)a，b，c為正數(shù)，且不全相等． 求證：＋＋>. 證明：構(gòu)造兩組數(shù)，，；，，，則由柯西不等式得 (a＋b＋b＋c＋c＋a)≥(1＋1＋1)2，①即2(a＋b＋c)≥9， 于是＋＋≥. 由柯西不等式知，①中有等號成立?＝＝ ?a＋b＝b＋c＝c＋a?a＝b＝c. 因為a，b，c不全相等，故①中等號不成立， 于是＋＋>. 利用柯西不等式求最值 [例2]　(1)已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1. 求 ＋ ＋ 的最小值； (2)設(shè)2x＋3y＋5z＝29， 求函數(shù)μ＝＋＋的最大值． [思路點撥]　(1)利用＋＋ ＝(x＋y＋z)． (2)利用(＋＋)2＝ (1＋1＋1)2. [解]　(1)∵x＋y＋z＝1， ∴＋＋＝(x＋y＋z)； ≥2 ＝(1＋2＋3)2＝36. 當且僅當x＝＝， 即x＝，y＝，z＝時取等號． 所以＋＋的最小值為36. (2)根據(jù)柯西不等式，有 (1＋1＋1)2 ≤[(2x＋1)＋(3y＋4)＋(5z＋6)](1＋1＋1) ＝3(2x＋3y＋5z＋11) ＝340＝120. 故＋＋≤2， 當且僅當2x＋1＝3y＋4＝5z＋6， 即x＝，y＝，z＝時等號成立． 此時μmax＝2. 利用柯西不等式求最值時，關(guān)鍵是對原目標函數(shù)進行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果．同時，要注意等號成立的條件． 2．已知x，y，z∈R，且x－2y＋2z＝5，則(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是(　　) A．20　　　　　　　　　 B．25 C．36 D．47 解析：選C　∵[(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x＋5)＋(－2)(y－1)＋2(z＋3)]2＝324，當且僅當＝＝，即x＝－3，y＝－3，z＝1時取等號．故(x＋5)2＋(y－1)2＋(z＋3)2的最小值是36. 3．若2x＋3y＋4z＝11，則x2＋y2＋z2的最小值為________． 解析：∵2x＋3y＋4z＝11，∴由柯西不等式，得 (x2＋y2＋z2)(4＋9＋16)≥(2x＋3y＋4z)2， 故x2＋y2＋z2≥， 當且僅當＝＝，即x＝， y＝，z＝時取等號． 答案： 4．把一根長為12 m的細繩截成三段，各圍成三個正方形．問：怎樣截法，才能使圍成的三個正方形面積之和S最小，并求此最小值． 解：設(shè)三段繩子的長分別為x，y，z，則x＋y＋z＝12，三個正方形的邊長分別為，，均為正數(shù)，三個正方形面積之和：S＝2＋2＋2＝(x2＋y2＋z2)． ∵(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝122， 即x2＋y2＋z2≥48.從而S≥48＝3. 當且僅當＝＝時取等號， 又x＋y＋z＝12， ∴x＝y(tǒng)＝z＝4時，Smin＝3. 故把繩子三等分時，圍成的三個正方形面積之和最小，最小面積為3 m2. 1．已知a2＋b2＋c2＋d2＝5，則ab＋bc＋cd＋ad的最小值為(　　) A．5 B．－5 C．25 D．－25 解析：選B　(ab＋bc＋cd＋ad)2≤(a2＋b2＋c2＋d2)(b2＋c2＋d2＋a2)＝25，當且僅當a＝b＝c＝d＝時，等號成立． ∴ab＋bc＋cd＋bd的最小值為－5. 2．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，則a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選A　(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝11＝1，當且僅當＝＝…＝＝1時取等號． ∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1. 3．已知x，y，z∈R＋，且＋＋＝1，則x＋＋的最小值是(　　) A．5 B．6 C．8 D．9 解析：選D　x＋＋＝＋＋≥＋ ＋ 2＝9，當且僅當＝＝＝時等號成立． 4．設(shè)a，b，c，x，y，z是正數(shù)，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：選C　由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，當且僅當＝＝＝時取等號，因此有＝. 5．已知2x＋3y＋z＝8，則x2＋y2＋z2取得最小值時，x，y，z形成的點(x，y，z)＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x2＋y2＋z2)≥(2x＋3y＋z)2，即x2＋y2＋z2≥. 當且僅當＝＝z時等號成立． 又2x＋3y＋z＝8， 解得x＝，y＝，z＝， 故所求點為. 答案： 6．設(shè)a，b，c為正數(shù)，則(a＋b＋c)的最小值是________． 解析：(a＋b＋c) ＝[()2＋()2＋()2] ≥2 ＝(2＋3＋6)2＝121. 當且僅當＝＝＝k(k為正實數(shù))時，等號成立． 答案：121 7．已知實數(shù)x，y，z滿足3x＋2y＋z＝1，則x2＋2y2＋3z2的最小值為________． 解析：由柯西不等式，得[x2＋(y)2＋(z)2]≥(3x＋2y＋z)2＝1， 所以x2＋2y2＋3z2≥， 當且僅當＝＝，即x＝，y＝，z＝時，等號成立，所以x2＋2y2＋3z2的最小值為. 答案： 8．在△ABC中，設(shè)其各邊長為a，b，c，外接圓半徑為R，求證：(a2＋b2＋c2)≥36R2. 證明：∵＝＝＝2R， ∴(a2＋b2＋c2) ≥2＝36R2. 9．在直線5x＋3y＝2上求一點，使(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2取得最小值． 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2]≥[2(x＋2y－1)＋(3x－y＋3)]2＝(5x＋3y＋1)2＝9. ∴(x＋2y－1)2＋(3x－y＋3)2≥. 當且僅當x＋2y－1＝2(3x－y＋3) 即5x－4y＋7＝0時取等號． 解方程組 得故所求點的坐標為. 10．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c為正實數(shù)，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. 解：(1)因為f(x＋2)＝m－|x|， 所以f(x＋2)≥0等價于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}， 又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1. (2)證明：由(1)知＋＋＝1， 所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ≥2＝9.