2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四章 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 4.1 數(shù)學(xué)歸納法試題 新人教A版選修4-5.doc
一 數(shù)學(xué)歸納法
課后篇鞏固探究
1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)時,在驗證n=1成立時,左邊所得的代數(shù)式為 ( )
A.1 B.1+3
C.1+2+3 D.1+2+3+4
解析當(dāng)n=1時,左邊有2n+1=21+1=3,所以左邊所得的代數(shù)式為1+2+3.
答案C
2.已知n是正奇數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明時,若已假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,且為奇數(shù))時命題為真,則還需證明( )
A.當(dāng)n=k+1時命題成立
B.當(dāng)n=k+2時命題成立
C.當(dāng)n=2k+2時命題成立
D.當(dāng)n=2(k+2)時命題成立
解析因為n是正奇數(shù),所以只需證明等式對所有奇數(shù)都成立即可.又k的下一個奇數(shù)是k+2,故選B.
答案B
3.用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=n(2n2+1)3時,由n=k(k≥1)的假設(shè)到證明n=k+1時,等式左邊應(yīng)添加的式子是( )
A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)2+k2
C.(k+1)2 D.13(k+1)[2(k+1)2+1]
解析當(dāng)n=k(k≥1)時,左邊為12+22+…+(k-1)2+k2+(k-1)2+…+22+12,當(dāng)n=k+1時,左邊為12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12,分析等式變化規(guī)律可知左邊實際增加的是(k+1)2+k2.
答案B
4.導(dǎo)學(xué)號26394063下列代數(shù)式(其中k∈N+)能被9整除的是( )
A.6+67k B.2+7k-1
C.2(2+7k+1) D.3(2+7k)
解析(1)當(dāng)k=1時,顯然只有3(2+7k)能被9整除.
(2)假設(shè)當(dāng)k=n(n∈N+,n≥1)時命題成立,
即3(2+7k)能被9整除.
當(dāng)k=n+1時,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除.這就是說,當(dāng)k=n+1時命題也成立.
由(1)(2)可知,3(2+7k)能被9整除對任何k∈N+都成立.
答案D
5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n,第一步應(yīng)驗證的等式是 .
解析當(dāng)n=1時,等式的左邊為1-12=12,右邊=12,所以左邊=右邊.
答案1-12=12
6.若凸n(n≥4)邊形有f(n)條對角線,則凸(n+1)邊形的對角線條數(shù)f(n+1)為 .
解析由題意知f(n+1)-f(n)=n-1,
則f(n+1)=f(n)+n-1.
答案f(n)+n-1
7.若s(n)=1+12+13+…+13n-1(n∈N+),則s(5)-s(4)= .
解析依題意,s(5)=1+12+13+…+114,
s(4)=1+12+13+…+111,
于是s(5)-s(4)=112+113+114.
答案112+113+114
8.已知f(n)=(2n+7)3n+9(n∈N+),用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)能被36整除.
證明(1)當(dāng)n=1時,f(1)=(2+7)3+9=36,能被36整除,命題成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時命題成立,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除.
當(dāng)n=k+1時,f(k+1)=[2(k+1)+7]3k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9
=(2k+7)3k3+23k+1+9=3[(2k+7)3k+9]-27+23k+1+9
=3[(2k+7)3k+9]+18(3k-1-1).
由于3k-1-1是2的倍數(shù),則18(3k-1-1)能被36整除,
即當(dāng)n=k+1時命題也成立.
由(1)(2)可知,對一切正整數(shù)n,都有f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除.
9.導(dǎo)學(xué)號26394064用數(shù)學(xué)歸納法證明:12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1n(n+1)2(n∈N+).
證明(1)當(dāng)n=1時,左邊=12=1,右邊=(-1)01(1+1)2=1,左邊=右邊,命題成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時命題成立,即12-22+32-42+…+(-1)k-1k2=(-1)k-1k(k+1)2.
當(dāng)n=k+1時,
12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2
=(-1)k-1k(k+1)2+(-1)k(k+1)2
=(-1)k(k+1)(k+1)-k2
=(-1)k(k+1)[(k+1)+1]2.
因此,當(dāng)n=k+1時命題也成立,
根據(jù)(1)(2)可知,命題對于任何n∈N+等式成立.
10.導(dǎo)學(xué)號26394065已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且an2+2an=4Sn.
(1)計算a1,a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列{an}的通項公式;
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中猜想的結(jié)論.
解(1)當(dāng)n=1時,a12+2a1=4S1,即a12+2a1=4a1,
整理,得a12-2a1=0,
解得a1=2(a1=0舍去).
當(dāng)n=2時,a22+2a2=4S2,即a22+2a2=4(2+a2),
整理,得a22-2a2-8=0,
解得a2=4(a2=-2舍去).
當(dāng)n=3時,a32+2a3=4S3,即a32+2a3=4(2+4+a3),
整理,得a32-2a3-24=0,
解得a3=6(a3=-4舍去).
當(dāng)n=4時,a42+2a4=4S4,即a42+2a4=4(2+4+6+a4),
整理,得a42-2a4-48=0,
解得a4=8(a4=-6舍去).
由以上結(jié)果猜想數(shù)列{an}的通項公式為an=2n.
(2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項公式為an=2n.
①當(dāng)n=1時,a1=2,由(1)知,猜想成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時猜想成立,即ak=2k,
這時有ak2+2ak=4Sk,即Sk=k2+k.
當(dāng)n=k+1時,ak+12+2ak+1=4Sk+1,
即ak+12+2ak+1=4(Sk+ak+1),
所以ak+12-2ak+1=4k2+4k,
解得ak+1=2k+2(ak+1=-2k舍去).
故當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.
由①②可知,猜想對任意n∈N+都成立.
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