2019-2020年人教版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)上《點(diǎn)到直線的距離》說(shuō)課教案 課題：點(diǎn)到直線的距離 教材：人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）《數(shù)學(xué)》第二冊(cè)（上）第七章第3節(jié) 教學(xué)目標(biāo)： (1) 至少掌握點(diǎn)到直線的距離公式的一種推導(dǎo)方法，能用公式來(lái)求點(diǎn)到直線距離。 (2) 培養(yǎng)學(xué)生探究能力和由特殊到一般的研究問(wèn)題的能力。 (3) 認(rèn)識(shí)事物（知識(shí)）之間相互聯(lián)系、互相轉(zhuǎn)化的辯證法思想，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想和綜合應(yīng)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。 (4) 培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作精神，培養(yǎng)學(xué)生個(gè)性品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探究的科學(xué)精神。 教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式推導(dǎo)及公式的應(yīng)用 教學(xué)難點(diǎn)：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo) 教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法、討論法 學(xué)習(xí)方法：任務(wù)驅(qū)動(dòng)下的研究性學(xué)習(xí) 教學(xué)時(shí)間：45分鐘 教學(xué)過(guò)程： 1 .教師提出問(wèn)題，引發(fā)認(rèn)知沖突（約5分鐘） 問(wèn)題：假定在直角坐標(biāo)系上，已知一個(gè)定點(diǎn)P（x0 ,y0）和一條定直線l： Ax+By+C=0，那么如何求點(diǎn)P到直線l的距離d？請(qǐng)學(xué)生思考并回答。 學(xué)生1：先過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為Q，則|PQ|就是點(diǎn)P到直線l的距離d；然后用點(diǎn)斜式寫出垂線方程，并與原直線方程聯(lián)立方程組，此方程組的解就是點(diǎn)Q的坐標(biāo)；最后利用兩點(diǎn)間距離公式求出|PQ|。 接著，教師用投影出示下列5道題(嘗試性題組)，請(qǐng)5位學(xué)生上黑板練習(xí)（第（4）題請(qǐng)一位運(yùn)算能力強(qiáng)的同學(xué)，其余學(xué)生在下面自己練習(xí)，每做完一題立即講評(píng)）： (1)求P（1 ,2）到直線l：x=3的距離d;（答案：d=2） (2)求P（x0 ,y0）到直線l：By+C=0（B≠0）的距離d；（答案：） (3) 求P（x0 ,y0）到直線l：Ax+C=0（A≠0）的距離d；（答案：） (4) 求P（6 ,7）到直線l：3x-4y+5=0的距離d；（答案：d=1） (5) 求P（x0 ,y0）到直線l：Ax+By+C=0（AB≠0）的距離d。 第（1）容易、（2）和（3）題雖然含有字母參數(shù)，但由于直線的位置比較特殊，學(xué)生不難得出正確結(jié)論；第（4）題雖然運(yùn)算量較大，但按照剛才學(xué)生1回答的方法與步驟，也能順利解出正確答案；第（5）題雖然思路清晰，但由于字母參數(shù)過(guò)多、運(yùn)算量太大行不通。學(xué)生們陷入了困境。 2．教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生走出困境（約8分鐘） 教師：根據(jù)以上5位學(xué)生的運(yùn)算結(jié)果，你能得到什么啟示？ 學(xué)生2：當(dāng)直線的位置比較特殊（水平或豎直）時(shí)，點(diǎn)到直線的距離容易求得，而當(dāng)直線是傾斜位置時(shí)則較難；含有多個(gè)字母時(shí)雖然想起來(lái)思路很自然，但具體操作起來(lái)因計(jì)算量很大而無(wú)法得出結(jié)果。 P(x0,y0) Q 圖1 教師：那么，練習(xí)（5）有沒(méi)有運(yùn)算量小一點(diǎn)的推導(dǎo)方法呢？我們能不能根據(jù)剛才的第（2）、（3）的啟示，借助水平、豎直情形和平面幾何知識(shí)來(lái)解決傾斜即一般情況呢？請(qǐng)同學(xué)們思考。 學(xué)生3：能！如圖1，過(guò)點(diǎn)P作x、y 軸的垂線分別交直線l于S、R，則由三角形面積公式可得 |PQ|=（|PR||PS|）/|RS| 教師：|PR|怎么求？|PS|又怎么求？ 學(xué)生3：設(shè)R（x1 ,y0），則由Ax1+By0+C=0， 得x1= —（By0+C）／A， ∴|PR|=| x0- x1|=|Ax0+By0+C|／|A|； 同理：|PS|=|Ax0+By0+C|／|B|。 教師：|RS|怎么求？ 學(xué)生3：|RS|==（/|AB|）|Ax0+By0+C|。 教師：|PQ|結(jié)果是什么？ 學(xué)生3：|PQ|=。 教師：公式的這種推導(dǎo)方法是否需要作補(bǔ)充說(shuō)明？ 學(xué)生4：當(dāng)A=0或B=0時(shí)，ΔPRS不存在，故應(yīng)說(shuō)明公式當(dāng)A=0或B=0時(shí)是否適用？ 由（2）、（3）檢驗(yàn)可知公式依然成立，即公式對(duì)任意直線都適用。 3 .教師提出問(wèn)題，學(xué)生分組討論（約10分鐘） 教師：推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式的方法不少。前面我們學(xué)了函數(shù)、三角函數(shù)、向量、不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)，你能用所學(xué)過(guò)的知識(shí)從不同角度、采用不同方法來(lái)推導(dǎo)這個(gè)公式嗎？請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立思考，然后在小組上進(jìn)行討論交流，由組長(zhǎng)負(fù)責(zé)記錄。10分鐘后每組推選一名代表對(duì)本組找到的最好的一種推導(dǎo)方法通過(guò)實(shí)物投影進(jìn)行“成果”交流。 學(xué)生們積極探討；教師來(lái)回巡視，回答各研究小組的詢問(wèn)…… 4.學(xué)生交流“成果”，教師點(diǎn)評(píng)小結(jié)（約16分鐘） 經(jīng)過(guò)約十分鐘的研討，各小組都找到了新的推導(dǎo)方法。于是教師請(qǐng)4名代表依次上講臺(tái)（讓準(zhǔn)備成熟的先講），借助實(shí)物投影介紹本組的“成果”。由于時(shí)間關(guān)系，每組只要求講一種方法，用時(shí)不超過(guò)4分鐘，且各組的方法不能重復(fù)。 學(xué)生5：我們用的是“設(shè)而不求，整體代換”的數(shù)學(xué)思想。請(qǐng)看投影屏幕： 設(shè)Q的坐標(biāo)為（x1 ,y1），則直線PQ的斜率k1=，又直線l的斜率k= -，于是由PQ⊥ l得, k1k= -1即B(x1- x0)-A(y1- y0)=0 ① 又因?yàn)锳x1+By1+C=0， 即Ax1+By1=-C 兩邊同減Ax0+By0得 A(x1-x0)+B(y1-y0)= - (Ax0+By0+C) ②　 于是①2+②2得, (A2+B2)[(x1-x0)2+(y1-y0)2]= (Ax0+By0+C)2, 即 (A2+B2) d2= (Ax0+By0+C)2 　　　　　所以 d=。 教師：“設(shè)而不求，整體代換”，真是奧妙無(wú)窮，這是解析幾何減少運(yùn)算量的有效途徑，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，妙不可言。 學(xué)生6：我們小組向大家介紹一種獨(dú)特的方法——向量法，請(qǐng)看投影屏幕： T(x1,y1) P(x0,y0) Q 圖2 如圖2，設(shè)T（x1 ,y1）為直線l上的任意一點(diǎn)，則Ax1+By1+C=0，=（x1-x0，y1-y0） ∵PQ⊥直線l ， ∴平行于直線l的法向量=（A，B） 另設(shè)與的夾角為θ，則=cosθ 即|A(x1-x0)+B(y1-y0)|= ||| cosθ| 即|Ax0+By0+C|=d ∴d=。 教師：向量是數(shù)量與圖形的有機(jī)結(jié)合，解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，兩者都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，第三小組的推導(dǎo)方法證明了這一點(diǎn)，也再次說(shuō)明了向量具有很強(qiáng)的實(shí)用性與工具性，用向量法解解析幾何題確實(shí)行之有效。 學(xué)生7：：我們小組向大家介紹向量的另一種方法，妙用向量數(shù)量積的性質(zhì)．請(qǐng)看投影屏幕： 如圖3，設(shè)垂足是點(diǎn)H(m,n)， 直線l的法向量共線， 這是相當(dāng)簡(jiǎn)單的方法了。 教師：巧妙利用向量數(shù)量積的性質(zhì)來(lái)求距離，簡(jiǎn)直是“巧奪天工”，與其他方法相比，這種方法有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，我們必須重視對(duì)向量工具性的研究和應(yīng)用。 學(xué)生8：剛才三個(gè)小組的證明方法確實(shí)精彩，我們也發(fā)現(xiàn)了一種巧妙的方法，把它稱為“柯西不等式法”，請(qǐng)看投影屏幕： 我們知道，P點(diǎn)到直線l的距離,實(shí)質(zhì)上是點(diǎn)P與直線l上任意一點(diǎn)T的距離的最小值，于是我們?cè)O(shè)T（x1 ,y1）為直線l上的任一點(diǎn)（如圖2），則Ax1+By1+C=0， 而d=|PT|min，于是|PT|= =， 利用柯西不等式，便有|PT|≥=， 所以d=，此時(shí)，即PT垂直于直線l。 教師：這一證法果然十分巧妙，包含的數(shù)學(xué)思想十分豐富。由點(diǎn)到直線的距想到最小值，又由最小值想到不等式，在一步步“轉(zhuǎn)化”中問(wèn)題得到圓滿解決。同時(shí)也體現(xiàn)了不等式的工具作用。 5.公式應(yīng)用（學(xué)生練習(xí)，約3分鐘） （1） 求P（6 ,7）到直線l：3x-4y+5=0的距離d. （直接代公式得答案：d=1，檢驗(yàn)嘗試性題組第（4）的答案） （2）求P（-1,1）到直線l：的距離d. （先化直線方程為一般式再代公式得答案：） 6.教師小結(jié)并布置作業(yè)（約1分鐘） 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了點(diǎn)到直線的距離公式，在公式的推導(dǎo)中學(xué)到了許多重要的數(shù)學(xué)思想和方法，感受到了數(shù)學(xué)的奧妙，也感受到了成功的喜悅。其實(shí)這個(gè)公式的推導(dǎo)方法不下十種，由于課堂上時(shí)間緊，許多同學(xué)有創(chuàng)造性的推導(dǎo)方法不能進(jìn)行展示、交流，請(qǐng)同學(xué)們撰寫一篇題為《點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法》的數(shù)學(xué)小論文，作為本節(jié)課的作業(yè)，允許三到四人合作完成。 設(shè)計(jì)說(shuō)明： 數(shù)學(xué)公式的教學(xué)應(yīng)包含兩個(gè)部分：公式的推導(dǎo)和公式的運(yùn)用。由于受應(yīng)試教育的影響，前者往往被“輕描淡寫”，而后者卻搞得“轟轟烈烈”，這顯然與“重結(jié)論，但更重過(guò)程”的現(xiàn)代教育理念相違背。其實(shí)數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)都蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，誰(shuí)忽視了這個(gè)“產(chǎn)生過(guò)程”，誰(shuí)就忽視了數(shù)學(xué)的“精髓”，誰(shuí)就忽視了學(xué)生探究性思維品質(zhì)的培養(yǎng)。 這節(jié)課把研究性學(xué)習(xí)引入公式的教學(xué)，讓學(xué)生真正成為課堂的主人。在推導(dǎo)公式的過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)克服困難的經(jīng)歷，以及獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉了意志，增強(qiáng)了信心。其實(shí)所有公式的教學(xué)、定理的教學(xué)都應(yīng)向這個(gè)方向努力。 數(shù)學(xué)教學(xué)，從根本上講就是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的有效途徑有二：其一，使學(xué)生善于總結(jié)，使零亂的知識(shí)系統(tǒng)化、綜合化；其二，使學(xué)生善于聯(lián)想，培養(yǎng)發(fā)散性思維。本節(jié)課使學(xué)會(huì)從不同的角度思考問(wèn)題，加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，正是鍛練、提高學(xué)生運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，從而提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。 通過(guò)公式求點(diǎn)到直線的距離并不困難，但這個(gè)公式的推導(dǎo)方法不下十種，且各種推導(dǎo)都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想、方法，由于課堂上時(shí)間緊，許多同學(xué)的有創(chuàng)造性的推導(dǎo)方法不能進(jìn)行展示、交流，故課外請(qǐng)同學(xué)們撰寫一篇題為《點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法》的數(shù)學(xué)小論文作為本節(jié)課的作業(yè)?？紤]到同學(xué)的個(gè)體差異，故允許三到四人合作完成。同時(shí)通過(guò)學(xué)生小論文的完成情況對(duì)這節(jié)課的教學(xué)效果作出評(píng)價(jià)。 本課設(shè)計(jì)有一定的彈性，實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生想到的推導(dǎo)方法不一定是上述幾種，我將針對(duì)每一種方法的特點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)。進(jìn)行交流的學(xué)生不一定是四人，若時(shí)間不夠，公式應(yīng)用留到下節(jié)課，本節(jié)課只完成公式推導(dǎo)。