1 1 熱點(diǎn)探究課(二)　三角函數(shù)與解三角形中的高考熱點(diǎn)問(wèn)題 (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第55頁(yè)) [命題解讀]　從近五年全國(guó)卷高考試題來(lái)看，解答題第1題(全國(guó)卷T17)交替考查三角函數(shù)、解三角形與數(shù)列，本專(zhuān)題的熱點(diǎn)題型有：一是三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；二是解三角形；三是三角恒等變換與解三角形的綜合問(wèn)題，中檔難度，在解題過(guò)程中應(yīng)挖掘題目的隱含條件，注意公式的內(nèi)在聯(lián)系，靈活地正用、逆用、變形應(yīng)用公式，并注重轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 熱點(diǎn)1　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(答題模板) 要進(jìn)行五點(diǎn)法作圖、圖像變換，研究三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱(chēng)性，求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值等，都應(yīng)先進(jìn)行三角恒等變換，將其化為一個(gè)角的一種三角函數(shù)，求解這類(lèi)問(wèn)題，要靈活利用兩角和(差)公式、倍角公式、輔助角公式以及同角關(guān)系進(jìn)行三角恒等變換． 　(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)． (1)求f(x)的最小正周期； (2)若將f(x)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖像，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值和最小值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090117】 [思路點(diǎn)撥]　(1)先逆用倍角公式，再利用誘導(dǎo)公式、輔助角公式將f(x)化為正弦型函數(shù)，然后求其周期． (2)先利用平移變換求出g(x)的解析式，再求其在給定區(qū)間上的最值． [規(guī)范解答]　(1)f(x)＝2sin·cos－sin(x＋π)＝sin－(－sin x) 3分 ＝cos x＋sin x＝2sin， 5分 于是T＝＝2π. 6分 (2)由已知得g(x)＝f＝2sin. 8分 ∵x∈[0，π]，∴x＋∈， ∴sin∈， 10分 ∴g(x)＝2sin∈[－1,2]. 11分 故函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，π]上的最大值為2，最小值為－1. 12分 [答題模板]　解決三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合問(wèn)題的一般步驟為： 第一步(化簡(jiǎn))：將f(x)化為asin x＋bcos x的形式． 第二步(用輔助角公式)：構(gòu)造f(x)＝·sin x·＋cos x·. 第三步(求性質(zhì))：利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函數(shù)的性質(zhì)． 第四步(反思)：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范． [溫馨提示]　1.在第(1)問(wèn)的解法中，使用輔助角公式asin α＋bcos α＝ sin (α＋φ)，在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，幾乎年年使用到、考查到，應(yīng)特別加以關(guān)注. 2．求g(x)的最值一定要重視定義域，可以結(jié)合三角函數(shù)圖像進(jìn)行求解． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1]　(20xx·秦皇島模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin ωx＋Bcos ωx(A，B，ω是常數(shù)，ω>0)的最小正周期為2，并且當(dāng)x＝時(shí)，f(x)max＝2. (1)求f(x)的解析式； (2)在閉區(qū)間上是否存在f(x)的對(duì)稱(chēng)軸？如果存在，求出其對(duì)稱(chēng)軸方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． [解]　(1)因?yàn)閒(x)＝sin(ωx＋φ)，由它的最小正周期為2，知＝2，ω＝π. 2分 又由當(dāng)x＝時(shí)，f(x)max＝2，可知π＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，φ＝2kπ＋(k∈Z)， 4分 所以f(x)＝2sin＝2sin(k∈Z)． 故f(x)的解析式為f(x)＝2sin. 5分 (2)當(dāng)垂直于x軸的直線過(guò)正弦曲線的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)時(shí)，該直線就是正弦曲線的對(duì)稱(chēng)軸，令πx＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝k＋(k∈Z). 7分 由≤k＋≤，解得≤k≤， 9分 又k∈Z，知k＝5， 10分 由此可知在閉區(qū)間上存在f(x)的對(duì)稱(chēng)軸，其方程為x＝. 12分 熱點(diǎn)2　解三角形 從近幾年全國(guó)卷來(lái)看，高考命題強(qiáng)化了解三角形的考查力度，著重考查正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是實(shí)施邊角互化，同時(shí)結(jié)合三角恒等變換進(jìn)行化簡(jiǎn)與求值． 　(20xx·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，△ABD面積是△ADC面積的2倍． (1)求； (2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的長(zhǎng)． [解]　(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝AC·ADsin∠CAD． 2分 因?yàn)镾△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC． 由正弦定理，得＝＝. 5分 (2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC＝BD∶DC， 所以BD＝. 7分 在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC． 9分 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1. 12分 [規(guī)律方法]　解三角形問(wèn)題要關(guān)注正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式，要適時(shí)、適度進(jìn)行“角化邊”或“邊化角”，要抓住能用某個(gè)定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則兩個(gè)定理都有可能用到． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2]　在△ABC中，已知A＝45°，cos B＝. (1)求sin C的值； (2)若BC＝10，求△ABC的面積. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090118】 [解]　(1)因?yàn)閏os B＝，且B＝(0°，180°)， 所以sin B＝＝. sin C＝sin(180°－A－B)＝sin(135°－B)＝sin 135°cos B－cos 135°sin B＝×－×＝. (2)由正弦定理，得＝，即＝，解得AB＝14， 則△ABC的面積S＝AB·BC·sin B＝×14×10×＝42. 熱點(diǎn)3　三角恒等變換與解三角形的綜合問(wèn)題 以三角形為載體，三角恒等變換與解三角形交匯命題，是近幾年高考試題的一大亮點(diǎn)，主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的綜合應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是根據(jù)題目提供的信息，恰當(dāng)?shù)貙?shí)施邊角互化． 　(20xx·哈爾濱模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知＝. (1)求的值； (2)若角A是鈍角，且c＝3，求b的取值范圍． [解]　(1)由題意及正弦定理得sin Ccos B－2sin Ccos A＝2sin Acos C－sin Bcos C， 2分 ∴sin Ccos B＋sin Bcos C＝2(sin Ccos A＋sin Acos C)． ∴sin(B＋C)＝2sin(A＋C)． ∵A＋B＋C＝π， ∴sin A＝2sin B，∴＝2. 5分 (2)由余弦定理得cos A＝＝＝<0， ∴b>.?、? 7分 ∵b＋c>a，即b＋3>2b，∴b<3，　② 由①②得b的范圍是(，3). 12分 [規(guī)律方法]　1.以三角形為載體，實(shí)質(zhì)考查三角形中的邊角轉(zhuǎn)化，求解的關(guān)鍵是抓住邊角間的關(guān)系，恰當(dāng)選擇正、余弦定理． 2．解三角形常與三角變換交匯在一起(以解三角形的某一結(jié)論作為條件)，此時(shí)應(yīng)首先確定三角形的邊角關(guān)系，然后靈活運(yùn)用三角函數(shù)的和、差、倍角公式化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化． [對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3]　在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，C．已知tan ＝2. (1)求的值； (2)若B＝，a＝3，求△ABC的面積． [解]　(1)由tan＝2，得tan A＝， 所以＝＝. 5分 (2)由tan A＝，A∈(0，π)，得 sin A＝，cos A＝. 7分 由a＝3，B＝及正弦定理＝，得b＝3. 9分 由sin C＝sin(A＋B)＝sin，得sin C＝. 設(shè)△ABC的面積為S，則S＝absin C＝9. 12分