1 1 課時分層訓練(四十七)　利用空間向量求空間角 A組　基礎達標 一、選擇題 1．在正方體A1B1C1D1­ABCD中，AC與B1D夾角的大小為(　　) A.　　　 B. C. D． D　[建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體邊長為1，則A(0,0,0)，C(1,1,0)，B1(1,0,1)，D(0,1,0)． ∴＝(1,1,0)， ＝(－1,1，－1)， ∵·＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0， ∴⊥， ∴AC與B1D的夾角為.] 2. (20xx·西安調研)如圖7­7­20，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為(　　) 圖7­7­20 A. B．－ C. D．－ A　[不妨設CB＝1，則B(0,0,1)，A(2,0,0)，C1＝(0,2,0)，B1(0,2,1)，∴＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)． cos〈，〉＝＝＝.] 3．(20xx·鄭州調研)在正方體ABCD­A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1夾角的正弦值為(　　) 【導學號：79140255】 A. B． C. D． B　[設正方體的棱長為1，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示．則B(1,1,0)，B1(1,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)， 所以1＝(0,0,1)，＝(－1,1,0)，1＝(－1,0,1)． 令平面ACD1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·＝－x＋y＝0，n·1＝－x＋z＝0，令x＝1，可得n＝(1,1,1)，所以sin θ＝|cos〈n，1〉|＝＝.] 4．已知正三棱柱ABC­A1B1C1的側棱長與底面邊長相等，則AB1與側面ACC1A1夾角的正弦值等于(　　) A. B． C. D． A　[ 如圖所示建立空間直角坐標系，設正三棱柱的棱長為2，則O(0,0,0)，B(，0,0)，A(0，－1,0)，B1(，0,2)，所以＝(，1,2)，由題知＝(－，0,0)為側面ACC1A1的法向量．即sin θ＝＝.故選A.] 5．在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為(　　) A. B． C. D． B　[以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A­xyz，設棱長為1，則A1(0,0,1)， E，D(0,1,0)，∴＝(0,1，－1)，＝. 設平面A1ED的一個法向量為n1＝(1，y，z)， ∴有即 解得 ∴n1＝(1,2,2)． ∵平面ABCD的一個法向量為n2＝(0,0,1)． ∴cos〈n1，n2〉＝＝， 即所成的銳二面角的余弦值為.] 二、填空題 6．在長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，則D1C1與平面A1BC1夾角的正弦值為________． 　[ 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，設n＝(x，y，z)為平面A1BC1的法向量， 則n·＝0，n·＝0， 即令z＝2，則y＝1，x＝2， 于是n＝(2,1,2)，＝(0,2,0)． 設所求線面角為α，則sin α＝|cos〈n，〉|＝.] 7．如圖7­7­21所示，二面角的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則該二面角的大小為________． 圖7­7­21 60°　[∵＝＋＋， ∴||＝ ＝ ＝＝2. ∴·＝||·||·cos〈，〉＝－24. ∴cos〈，〉＝－. 又所求二面角與〈，〉互補， ∴所求的二面角為60°.] 8．在一直角坐標系中，已知A(－1,6)，B(3，－8)，現沿x軸將坐標平面折成60°的二面角，則折疊后A，B兩點間的距離為________. 【導學號：79140256】 2　[如圖為折疊后的圖形，其中作AC⊥CD，BD⊥CD， 則AC＝6，BD＝8，CD＝4， 兩異面直線AC，BD夾角為60°. 故由＝＋＋， 得||2＝|＋＋|2＝68， 所以||＝2.] 三、解答題 9．(20xx·合肥一檢)如圖7­7­22，在四棱臺ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2. 圖7­7­22 (1)若M為CD的中點，求證：AM⊥平面AA1B1B； (2)求直線DD1與平面A1BD夾角的正弦值． [解]　(1)證明：∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°，連接AC，則△ACD為等邊三角形， 又∵M為CD的中點，∴AM⊥CD， 由CD∥AB得AM⊥AB. ∵AA1⊥底面ABCD，AM底面ABCD， ∴AM⊥AA1，又∵AB∩AA1＝A， ∴AM⊥平面AA1B1B. (2)∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝120°， AB＝AA1＝2A1B1＝2， 得DM＝1，AM＝，∴∠AMD＝∠BAM＝90°， 又∵AA1⊥底面ABCD， ∴以點A為原點，分別以AB，AM，AA1所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系A­xyz， A1(0,0,2)，B(2,0,0)，D(－1，，0)，D1， ∴1＝，＝(－3，，0)， ＝(2,0，－2)． 設平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)， 則有? 令x＝1，則n＝(1，，1)． ∴直線DD1與平面A1BD夾角θ的正弦值 sin θ＝|cos〈n，1〉|＝＝. 10．(20xx·江蘇高考)如圖7­7­23，在平行六面體ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°. 圖7­7­23 (1)求異面直線A1B與AC1夾角的余弦值； (2)求二面角B­A1D­A的正弦值． [解]　在平面ABCD內，過點A作AE⊥AD，交BC于點E. 因為AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AE，AA1⊥AD. 如圖，以{，，}為正交基底， 建立空間直角坐標系A­xyz. 因為AB＝AD＝2，AA1＝，∠BAD＝120°， 則A(0,0,0)，B(，－1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)， A1(0,0，)，C1(，1，)． (1)＝(，－1，－)，＝(，1，)， 則cos〈，〉＝ ＝＝－， 因此異面直線A1B與AC1夾角的余弦值為. (2)平面A1DA的一個法向量為＝(，0,0)． 設m＝(x，y，z)為平面BA1D的一個法向量， 又＝(，－1，－)，＝(－，3,0)， 則即 不妨取x＝3，則y＝，z＝2， 所以m＝(3，，2)為平面BA1D的一個法向量． 從而cos〈，m〉＝＝＝. 設二面角B­A1D­A的大小為θ，則|cos θ|＝. 因為θ∈[0，π]，所以sin θ＝＝. 因此二面角B­A1D­A的正弦值為. B組　能力提升 11．(20xx·河南百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知斜四棱柱ABCD­A1B1C1D1的各棱長均為2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD夾角的正切值為(　　) 【導學號：79140257】 A. B． C. D． C　[取AD中點O，連接OA1，易證A1O⊥平面ABCD.建立如圖所示的空間直角坐標系， 得B(2，－1,0)，D1(0,2，)，＝(－2,3，)，平面ABCD的一個法向量為n＝(0,0,1)，設BD1與平面ABCD的夾角為θ，∴sin θ＝＝， ∴tan θ＝.] 12．已知點E，F分別在正方體ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值等于________． 　[延長FE，CB相交于點G，連接AG，如圖所示． 設正方體的棱長為3，則GB＝BC＝3，作BH⊥AG于點H，連接EH，則∠EHB為所求二面角的平面角． ∵BH＝，EB＝1，∴tan∠EHB＝＝.] 13．(20xx·全國卷Ⅱ)如圖7­7­24，四棱錐P­ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中點． 圖7­7­24 (1)證明：直線CE∥平面PAB； (2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M­AB­D的余弦值. 【導學號：79140258】 [解]　(1)證明：取PA的中點F，連接EF，BF. 因為E是PD的中點，所以EF∥AD，EF＝AD. 由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD， 又BC＝AD，所以EFBC， 四邊形BCEF是平行四邊形，CE∥BF. 又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE∥平面PAB. (2)由已知得BA⊥AD，以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，||為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標系A­xyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)． 設M(x，y，z)(0<x<1)，則 ＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)． 因為BM與底面ABCD的夾角為45°， 而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量， 所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，＝， 即(x－1)2＋y2－z2＝0.① 又M在棱PC上，設＝λ，則 x＝λ，y＝1，z＝－λ.② 由①②解得(舍去)，或 所以M，從而＝. 設m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則 即 所以可取m＝(0，－，2)． 于是cos〈m，n〉＝＝. 因此二面角M­AB­D的余弦值為.